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非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注.其中，非线性脉冲方程解的存在唯一问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一.本文利用锥理论，不动点理论等方法在无穷区间上研究了几类脉冲方程解的存在唯一问题，得到了一些新成果.
根据内容本文分为三章.本文第一章中，给出了无穷区间上一类抽象连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，并应用它获得了二阶微分方程终值问题解的存在性.其主要内容是：引理1.2.4设E为Banach空间，un(t)∶J→E(n=1，2…)连续，若存在函数ρ∈L[0，∞)使‖un(t)‖≤ρ(t)，t∈J,n=1，2…，则α({un(t)∶n=1，2…})在J上可积，且α({∫∞0un(t)dt∶n=1，2…})≤2∫∞0α({un(t)∶n=1，2…})dt.(1.2.1)注1.2.1引理1.2.4将引理1.2.3推广到了无穷区间，它对研究无穷区间上的微分方程起到重要作用(见§1.4节).
注1.2.2引理1.2.4的证明在相关文献中没有见到.
定理1.3.1集H()C10[J,E]相对紧的充分必要条件是：(i)任意的b＞a，H′={x′∶x∈H}中的函数在[a，b]上等度连续，且任给t∈J，H′(t)={x′(t)∶x∈H}在E中相对紧；(ii)存在t0∈J，使得H(t0)是E中的相对紧集；(iii)当t→∞时，x(t)→θ，x′(t)→θ对所有x∈H一致.
定理1.3.2集H()Cm0[J,E]相对紧的充分必要条件是：(a)任意的b＞a，H(m)中的函数在[a，b]上等度连续，且任给t∈J，H(m)(t)={x′(t)∶x∈H}在E中相对紧；(b)任意的k(k=0，1，…，m-1)存在tk∈J，使得H(k)(tk)是E中的相对紧集；(c)当t→∞时，x(t)→θ，x′(t)→θ，…，x(m)(t)→θ对所有x∈H一致.
注1.3.1定理1.3.1，1.3.2将定理1.1.2推广到无穷区间上，扩大了它的使用范围.
应用到抽象空间上微分方程的终值问题x″=f(t，x，x′)，t∈R+；x(∞)=x′(∞)=0；(1.4.1)其中f∈C[R+×E×E，E]，R+=[0,∞)，E为Banach空间，x(∞)=limt→∞x(t)，x′(∞)=limt→∞x′(t).
使用以下假设：(H1)存在非负函数α(t)，β(t)，γ(t)，tα(t)，tβ(t)，tγ(t)∈L(R+)，使得任意的t∈R+，x(t)，y(t)∈C[R+，E]有‖f(t，x，y)‖≤α(t)+β(t)‖x(t)‖+γ(t)‖y(t)‖，∫∞0(β(t)+γ(t))dt＜1，∫∞0t(β(t)+γ(t))dt＜1；(H2)对于任意有界集B1，B2()E，f(t，B1，B2)相对紧.得到下面一个结论定理1.4.1假设条件(H1)与(H2)成立，则方程(1.4.1)在C2[R+，E]中有解.
注1.4.1此问题应用文[22]的结论不能解决，可见推广了文[22]的结果并验证了定理1.3.1在微分方程中的作用.
本文第二章中，通过应用使用单调迭代技巧与比较原理，在无穷区间上得到了一阶脉冲积-微分方程的初值问题{x′=f(t，x，Tx)，t∈J,t≠tk，△x|t=tk=Ik(x(tk))，k=1，2，…，(2.1.1)x(t0)=x0，的最大最小解的存在性.使用下列条件与引理引理2.2.1设m(t)∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]满足{m′(t)≤-M(t)m(t)-N(t)(Tm)(t)，t∈J,t≠tk，△m|t=tk≤-Lkm(tk)，k=1，2，…，(2.2.1)m(0)≤θ，其中M(t)，N(t)非负有界可积函数，Li＜1(i=1，2，…)且∑∞i=0Li，∏∞i=1(1-Li)都是收敛的.如果下列两个条件之一满足则m(t)≤θ∶(a)M*+N*K*+∑∞i=1Li≤1；(b)M*+N*K*≤1+∏∞i=1(1-Li)/1+∑∞l=1∏∞i=l(1-Li)，其中M*=∫∞0M(t)dt，N*=∫∞0N(t)dt，K*=SUPt∈J{∫∞0k(t，s)ds}.(2.2.2)引理2.2.2设σ，η∈BPC[J,E]，M*+N*K*＜1.那么，线性脉冲积-微分方程{x′(t)=-M(t)x(t)-N(t)(Tx)(t)+σ(t)，t∈J,t≠tk，△x|t=tk=Ik(η(tk))-Lk[x(tk)-η(tk)]，k=1，2，…，(2.2.9)x(0)=x0，有一个解x∈BPC[J,E]∩C1[J′，E].
(H1)存在u0，v0∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]满足u0(t)≤v0(t)(t∈J)且{u′0≤f(t，u0，Tu0)，t∈J,t≠tk，△u0|t=tk≤Ik(u0(tk))，k=1，2，…，u0(0)≤x0，{v′0≥f(t，v0，Tv0)，t∈J,t≠tk，△v0|t=tk≥Ik(v0(tk))，k=1，2，…，v0(0)≥x0，即，u0和v0分别是IVP(1.1)的上下解；(H2)存在非负可积有界M(t)与N(t)满足引理2.1的条件(a)，(b)之一，使得f(t，x，Tx)-f(t，y，Ty)≥-M(t)(x-y)-N(t)(Tx-Ty)，其中t∈J，u0≤y≤x≤v0，Tu0≤Ty≤Tx≤Tv0；(H3)存在常数0≤Lk＜1，k=1，2，…，使得Ik(x)-Ik(y)≥-Lk(x-y)，此时u0≤y≤x≤v0(k=1，2，…)且∞∑i=0Li，∞∏i=0(1-Li)是收敛的；(H4)对于任意的t∈J和任意的在每个Jk有界等度连续的单调序列B={un}c[u0，v0]，存在非负常数c，c*及ck(k=1，2，…)使得α(f(t，B(t)，(TB)(t))≤cα(B(t))+c*α((TB)(t))，与α(Ik(B(t)))≤ckα(B(t))，k=1，2，….
得到下面主要结果如下定理2.3.1设P是正规的且条件(H1)-(H4)满足.那么存在单调序列{un}，{vn}()BPC[J,E]∩C1[J′，E]在J上分别一致收敛于IVP(2.1.1)的最小与最大解x*，x*∈BPC[J,E]∩C1[J′,E]于是，如果x∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]是IVP(2.1.1)的任意一个解满足x∈[u0，v0]，那么对于任意的t∈J，我们有u0(t)≤u1(t)≤…≤un(t)≤…≤x*(t)≤x(t)≤x*(t)≤…≤vn(t)≤…≤v1(t)≤v0(t).(2.3.1)注2.3.1本文中的J是一个无界区域.因此，本文的结论改进和推广了文[7],[9],[10],[28]中的结论.
定理2.3.2设P是正则的且满足条件(H1)-(H3).那么定理2.3.1的结论成立.
注2.3.2显然，定理2.3.2改进了文[10]，[28]中的相应的定理.
例2.4.1考虑一阶非线性积-微分方程的初值问题{x′(t)=e-t-e-7tx(t)-e-5t∫t0e-(t+s)x(s)ds;△x|t=tk=1/(n+2)(n+3)x(tk),k=1,2,…；(2.4.1)x(0)=x0，其中tk=1/1+1/k2.显然，x(t)≡0不是IVP(2.4.1)的解.
结论IVP(2.4.1)有在J′上连续可微的最小最大解且满足0≤x(t)≤{t+1，t∈[0,1/2]；t+1/2，t∈(1/2,4/5]；t+1/k+1，t∈(1/1+1/k2,1/1+1/(k+1)2]；注2.4.1应用[28]的结论，我们无法解决例2.4.1.这表示本文改进推广了文[28]的结果.
在第三章中，利用Schauder不动点原理得出了Banach空间中一阶微分方程组{x′=f(t，x，y)，y′=g(t，x，y)，t∈[0，∞)，(3.1.1)x(∞)=βx(0)，y(∞)=δy(0)，的无穷边值问题解存在的判定定理，其中β，δ＞1.使用下列条件(C1)f(t，x，y)，g(t，x，y)∈C[J×P×P,P]，且‖f(t，x，y)‖≤a1(t)+a2(t)‖x‖+a3(t)‖y‖，‖g(t，x，y)‖≤b1(t)+b2(t)‖x‖+b3(t)‖y‖，其中ai(t)，bi(t)在J上可积(i=1，2，3)；(C2)f(t，B1，B2)，g(t，B1，B2)是相对紧的，其中Bi()E有界集(i=1，2)；
得到下面主要结果如下：定理3.3.1若条件(C1)，(C2)成立，且有γ=β/β-1(a*2+a*3)+δ/δ-1(b*2+b*3)＜1，其中a*i=∫∞aai(t)dt,b*i=∫∞abi(t)dt,i=1，2，3.则方程组(3.1.1)在X中有解.
注3.3.1定理3.3.1利用Schauder不动点定理建立了解决一阶二元方程组无穷边值问题的判定定理，是利用其他定理所不能解决的.