【摘 要】
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分拆函数最早由Euler提出,它是q-级数中的一个重要部分。随着q-级数的不断发展,人们对分拆函数的研究也在不断的深入。提到分拆函数,大家会联想到由Euler最早给出的P(n)的生
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分拆函数最早由Euler提出,它是q-级数中的一个重要部分。随着q-级数的不断发展,人们对分拆函数的研究也在不断的深入。提到分拆函数,大家会联想到由Euler最早给出的P(n)的生成函数(或称为母函数)∑n∞=0P(n)qn=∏n∞=0(1-qn)-1,解释一下P(n)的含义：首先将正整数n写成正整数和的形式,共有k种写法,若两种写法数字相同只是顺序不同记为一种写法,我们记:P(n)=k。例如：3=3=2+1=1+1+1,P(3)=3;5=5=1+4=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1=2+2+1=2+3,P(5)=7。
上述生成函数恒等式的推广形式是本文的重点内容,本文主要内容有四部分：
一,引进了新的分拆函数P△m+c(n),dP△m+c(n),P△m(n)和dP△m(n)的定义。
二,给出并证明了新定义分拆函数的生成函数恒等式：
∞∑n=0P△m+c(n)qn=1/(qc;qm)∞,∞∑n=0dP△m+c(n)qn=(-qc;qm)∞,∞∑n=0P△m(n)qn=1/(q;qm)∞(q2;qm)∞……(qm-1;qm)∞,∞∑n=0dP△m(n)qn=(-q;qm)∞(-q2;qm)∞……(-qm-1;qm)∞.
三,给出了上述恒等式的一些应用和性质。
四,本文最后采用了符号代替复杂式子的方法给出了Fn(1-Ф4(-q)/Ф4(q))=F(1-Ф4(-qn)/Ф4(qn))的新证明。
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