超短激光脉冲模型的全局吸引子

• 作 者: 魏娟
• 出 处: 西南大学
• 发表日期: 2020年01期
• 关键词: 非线性Schr(?)dinger方程 全局吸引子 正则性 正交分解

本文主要研究带有非局部项非线性项的Schr(?)dinger方程在强拓扑H1(Ω)中全局吸引子的存在性问题,进一步研究了吸引子的正则性问题,即,当f∈ C2时,A(?)H2(Ω).该方程来源于超短激光脉冲模型.本文主要采用先验估计方法,分别证明了非线性Schr(?)dinger方程解的存在唯一,性和半群{S(t)}+t≥0的渐近一致紧,最终得到吸引子的存在性.全文共分为四个部分:·第一章,主要介绍Schr(?)dinger方程的背景来源,证明吸引子存在性相关的预备知识,以及本文的主要结果.·第二章,建立时间一致先验估计证明非线性Schr(?)dinger方程解的存在唯一性,进一步得到解算子半群{S(t)}t≥0在H1中吸收集的存在性.·第三章,引入非线性Schr(?)dinger方程解u(x,t)的分解,解u(x,t)的分解包含高频部分和低频部分.其中,高频部分又可分解为两个部分,包括正则部分和范数较小的部分.当t → ∞时,范数较小的部分在H1中趋于零.首先用Galerkin近似和Cauchy-Lipschitz定理可得Zm(x,t)在某个时间下存在,然后利用先验估计方法得到Zm(x,t)在全局时间下的存在性,再由m → ∞可得解u(x,t)正则部分的存在性.最后通过建立时间一致先验估计得到u(x,t)的高频部分和正则部分差的长时间渐近性.·第四章,建立S1(t)u0(x)=y(x,t)+Z(x,S2(t)u,S2(t)-Z(x,t)-Z(x,t),将u(x,t)分解成如下形式:u(x,t)=u(x,t)+w(x,t)=y(x,t)+Z(x,w(x,t),=z(x,t)-Z(x,t).其中,当t≥ t0时,t)是光滑的.当 t → ∞时,有w(x,t)→ 0,可得到{S(t)}t≥0是渐近一致紧的.最后可得由非线性Schr(?)dinger方程定义的半群{S(t)}t≥0在H1中有紧的全局吸引子A.