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应用量子力学原理构建计算机器使人们对计算科学的理解发生了巨大的变化,也对微观量子世界的可操控特性产生了极大的兴趣.从计算的角度看,人们认为量子计算机与经典计算机(主要是Turing机模型)相比具有本质上的优越性,其中最重要的是对于一些经典上的困难问题,量子算法有可能提供更高的效率,有时甚至是指数加速的.目前已经发展出的量子算法技术大部分是解决一些重要的数论以及代数问题的.理解量子算法是如何提供运算加速是量子计算领域最重大的挑战之一.而由于已知的量子算法还比较少,且绝大部分都可归入隐子群问题类,因此寻找新类型的量子算法就成了十分有意义的一个方向.另一方面,从控制的角度看,建造量子计算机当前最核心的问题是如何在实验物理体系下实现大规模量子计算.在量子信息科学的快速发展的背景下,精密操控微观世界(比如原子、光子、核、电子、离子等实验体系)愈显其重要性,这促使人们去发展量子系统的控制论.量子控制的目标就是在有环境影响的情况下设计控制方法去高精度地完成特定控制任务.规模化的量子计算要求在时间上尽可能抑制退相干效应、在空间上尽可能在更多比特数目体系上去实现更复杂的量子网络.因此在核磁共振实验体系中,特别关键的挑战就在于如何应用控制论的思想方法去：(i)在有弛豫效应、控制不完美等噪声影响的自旋系综中,实现包括量子态的制备与保持、高保真度量子门操作等重要量子信息处理任务；(ii)在更多比特数的自旋体系上实现复杂的量子线路.基于这样的研究背景,本文围绕量子算法与核磁共振量子控制,介绍本人在攻读博士学位期间进行的一些理论、实验与数值计算方面的工作：(1).在第一部分提出了新的有效量子算法.该算法能够在多项式时间内解决square-freeness判定问题和square-free分解问题.而这两个数论问题与整数分解问题类似,至今人们还没有找到有效的经典算法.我们通过详细分析Gauss sum的求和公式,发现了其与square-free性质的巧妙联系.基于此我们构建了有效的Gauss sum量子算法,还给出了实现整个算法的量子线路构造.我们发现：(i)虽然Shor算法也能够对所考虑的数论问题提供多项式加速的解决,但Gauss sum算法具有更高的计算效率；(ii)虽然Gauss sum算法应用了量子Fourier变换,但它并不属于通常熟悉的隐子群问题量子算法类别.因此我们的工作丰富了量子计算的算法库,对探索量子计算机器的计算潜力具有重要的研究价值.(2).在第二部分主要从开放量子动力学控制的角度研究核自旋系综的相干调控.我们分析了受控的Markovian量子动力学(由Lindblad方程描述)的系统可达状态集的界的问题.可达集的刻划只在单比特的情形有成熟的结论,而在多比特情形仍然是困难的问题.我们的方式是通过考察相干控制下系统纯度函数的动力学演化,以其上界来界定系统可达状态集.进一步,我们以核磁共振体系为实验手段,测试具体的样品的弛豫参数、建立弛豫演化方程并设计相干控制方案,然后根据纯度界分析的结果(i)发现Overhauser实验提供了比封闭控制手段更高的极化转移效率；(ii)实现了更高强度的赝纯态制备.我们的工作表明,对于开放系统的一些重要控制任务,环境影响(在核磁体系即弛豫效应)并不总是有害的,相反如果加以利用还可能实现更高的控制性能指标.(3).在附录C中,还介绍了在比特数较多(≈6—12)的样品上的脉冲编译程序改进工作.脉冲设计是核磁多比特量子计算实验的关键难题之一.我们在加拿大滑铁卢大学量子计算研究所Raymond Laflamme小组的pulse compiler程序的基础上进行改进,完成了7、12比特样品上的初态(赝纯态)制备的数值计算.该工作对朝向更大比特数的核磁量子计算具有十分实用的技术意义.