【摘 要】
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该文的主要目的是对有限维凸体的某些基本且重要的几何性质进行一些细致深入的研究,这些几何性质多少年一直吸引着一批数学工作者.通过总结历史的发展和已知的结果,我们建立
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该文的主要目的是对有限维凸体的某些基本且重要的几何性质进行一些细致深入的研究,这些几何性质多少年一直吸引着一批数学工作者.通过总结历史的发展和已知的结果,我们建立了一些新的定理,发现了凸体的一些新的奇异性质.文中证明的主要定理几乎都是新的,并由此提出了一些需进一步研究的问题.首先我们把Dvoretzky关于对称凸体低维近似椭球截面,或Banach空间低维近似欧氏子空间的存在性定理推广到了一般的凸体上.然后对某些已知的凸体非对称(测)度,特别是Minkowski对称度的基本性质与计算方法进行了仔细的研究.引进了凸体的非对称度函数的概念,发现了对称凸体非对称度函数的一个奇异的性质,这个性质可能暗示着凸体的一些更令人感兴趣的其它性质.文中定义了凸本的一种新的非对称度,这种非对称度具有便于计算的优点.关于这种新的非对称度建立了部分的稳定性定理.最后考虑了著名的关于凸体间的BanacH-Mazur距离上限的估计问题.利用非对称度,建立了两个关于这个上限的估计式.在某种意义下,这两种估计包含并改进了此前所有的已知结果.为得到这些估计,我们应用了两种完全不同的方法,其中一种是试着用线性的方法处理仿射问题,而另一种是先证明了一个非常一般的定理,然后作为简单应用得到了需要的估计.该文还涉及了其它一些问题,例如凸集的交性质等.
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