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本文主要研究几类非线性Kirchhoff型方程正解的存在性与多解.本文共分为五章: 在第一章中，我们将对本文研究问题的背景和国内外Kirchhoff方程的研究现状做概述，并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号. 在第二章中，我们首先考虑一类带一对竞争位势的Kirchhoff型问题:{-(a+b∫R3|▽u|2)△u+V(x)u=Q(x)up,x∈R3，u∈H1(R3)，u＞0，x∈R3，其中常数a，b＞0，非线性指标3＜p＜5，位势V(x)和Q(x)属于Cγloc（R3）∩L∞(R3)，0＜γ＜1.我们研究这对竞争位势在无穷远处各自的渐进性质如何影响方程基态解的存在性.若把两个位势表示为V(x)=V∞+λh(x)和Q(x)=Q∞+q(x)，且满足V∞，Q∞＞0，λ≥0，lim|x|→∞h(x)=lim|x|→∞q(x)=0，我们证明下面三个结果成立:(1)当h(x)，q(x)≥0，并且在无穷远处h(x)衰减得比q(x)“快”，则对任意的λ＞0方程都存在正基态解;(2)当h(x)，q(x)≥0，并且在无穷远处h(x)衰减得比q(x)“慢”，则存在λ*＞0，如果0＜λ＜λ*方程存在正基态解;(3)当h(x)≥0，q(x)≤0并且q(x)的最大值满足某些条件，则存在λ*＞0，如果0＜λ＜λ*方程有一个束缚态解.考虑基态解的存在性问题时，我们利用方程的变分结构，采用直接变分方法研究相应的能量泛函在Nehari流形上的约束极小问题是否可达.另外，结合重心映射我们在Nehari流形上构造了一种环绕结构，并利用环绕定理得到能量泛函的一个极小极大水平和落在这个水平集上的方程的束缚态解. 在第三章中，我们考虑一类奇异扰动Kirchhoff型问题:{-(ε2a+εb∫R3|▽u|2dx)△u+u=Q(x)|u|p-2u，x∈R3，u∈H1(R3），u＞0，x∈R3，其中ε＞0是一个小参数，常数a，b＞0，非线性指标p∈(2，6)，Q(x)∈C（R3）是一个非负函数.我们研究参数ε＞0充分小的时候，函数Q(x)的形状如何影响方程解的个数.事实上当ε＞0充分小，Q(x)有多少个全局极大值点，我们就能找到多少个方程的正解使得这些解的重心分别落在Q(x)的各个极大值点附近.类似地，我们在第四章中考虑一类含Sobolev临界非线性项的奇异扰动Kirchhoff问题:{-(ε2a+εb∫R3|▽u|2dx)△u+u=Q(x)|u|4u+λ|u|p-2u，x∈R3，u∈H1(R3)，u＞0，x∈R3，其中p∈(4，6)，λ＞0.我们证明当p充分靠近Sobolev临界指数或者λ＞0充分小，奇异扰动问题存在多解.为证明这些结论，我们结合重心映射构造Nehari流形的几个闭子集，研究相应能量泛函在这些闭子集上的极小值能否在闭子集的内部达到. 在第五章中，我们研究下面这类Kirchhoff型问题极小能量解的存在性:-（a+b∫R3|▽u|2）△u+(1+λh(x))u=|u|p-2u在R3，其中常数a，b＞0，参数λ＞0，非线性指标p∈(2，6)，正函数h(x)属于C2（R3）且在无穷远处以代数衰减收敛到零.我们证明当h(x)在无穷远处的衰减速度满足一些条件时，存在λ0＞0使得对任意的λ∈（0，λ0）方程都有极小能量解.利用Ekeland变分原理，我们率先证明相应能量泛函在Nehar-Poho(z)aev流形上的极小化序列是Palais-Smale序列.再通过集中紧性讨论，我们证明极小化序列是列紧的.