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在孤立子理论发展中,KdV方程和非线性Schr(o)dinger方程起了举足轻重的作用,它们一直是研究非线性方程理论的典型例子.现在已经知道,除了流体力学中的KdV方程和铁磁体,离子晶体中的Schr(o)dinger非线性方程,物理学中其他领域广泛存在着孤立子解的非线性方程.而正是为了解决这些非线性方程,才逐步发展了现在系统的孤立子理论,因而可以说这个理论是物理学家和数学家共同努力的结果.
从数学的观点看,孤子是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解,归纳来讲,具有下列两种性质的特殊解称为孤子解:(1)能量有限,且分布在有限的空间内；(2)弹性碰撞(即在碰撞后能恢复到原来的波形和速度)。从物理学的观点来看,一般认为,具有性质(1)的特殊解就可以称为孤子。
人们广泛地研究了具有孤子解的各种非线性偏微分方程:KdV方程及其推广,非线性Klein-Gordon方程及正弦-Gordon方程,非线性薛定谔方程,广田(Hirota)方程,马布西尼斯(Boussinesq)方程,非线性格点方程,Burgers方程,Landau-Lifshitz方程,玻恩—英费尔德(Born-Infeld)方程,自透射方程,非线性LC网络方程等,并将这些方程应用于多种多样的领域。
由于非线性科学更接近物理实际,因此,各种非线性系统相继建立,而非线.性问题的求解也相应成为一件非常重要的工作。目前低维非线性中的孤子激发问题仍是凝聚态物理领域中的研究热点之一,而对孤子解的获得方法及结果也是非常重要的,因此,对非线性孤子激发的研究具有重大而积极的推动意义。
全文共分为四章:第一章主要介绍了孤子物理学的发展历史。第二章求解非线性方程的方法简单介绍。第三章用不同的方法对耦合KDV方程组和变系数Boussinesq方程组进行试探求解,最后得到了孤子解,并部分讨论了所得到的孤子的峰值、宽度。第四章是对本论文的总结和展望。