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复杂网络结构存在于各种各样的系统.例如，细胞可被描述为通过化学反应连接化学物的复杂网络；国际互联网可以被描述为通过各种的物理的或无线的连接由路由器和计算机连接在一起的复杂网络；万维网是一个通过网页超链接来连接的巨大的网络.在数学中复杂网络可以用图论来研究.例如思想和理念在社会网上传播，其节点表示人类，边就表示各种社会关系.在本文第二章，我们严格证明了在一定条件下，在度序列给定的随机图中，有一个渐近局部性质：在图中节点的总个数趋于∞时，随机选择一个点V，距离它不大于m的所有点形成的导出子图Tm(V)渐近无圈，即有限分支包含圈的概率趋于0，从而网络从局部来看呈现出一个树形结构，所以可用G-W分支过程的理论来讨论疾病在任意度分布网络中传播的性质.我们主要是用随机配置(randomconfiguration)模型来研究给定度序列的随机图的这一性质的，随机配置模型是由Bollobás引进的，并且它部分地受到Bender与Candield[3]，Wormald[10]等人工作的影响.
在本文第三章，我们研究了一类连续时间的随机图过程，因为现实世界中点的到达常常与时间有关，故我们研究在Bollobás模型基础上点是连续时间到达的随机图过程产生的网络的度分布情况，即考虑网络中点到达的过程是Poisson过程，且新加点按照偏好依附规则(Bollobás模型的连边规则)与网络中已有点连边，并得到网络中节点的度分布仍然服从幂律分布.在本文第四章第一部分，我们介绍了用复杂网络的理论来研究两个传染病模型：SIR模型和SIS模型，以及在这两个模型中如何计算疾病的传播阈值，由复杂网络的局部渐近性质可知SIR模型可以用分支过程理论来研究，从而根据母函数的方法可得到一些很好的性质.而SIS模型可以通过平均场的理论得以理解，且知不论在度相关Scale-Free网络中还是度不相关Scale-Free网络中都不存在非零传播阈值.
在第二部分，我们介绍了用随机点过程来研究疾病的传播，因现实中人类个体具有不同的个性和参数，比如人的身高，年龄，体重等，而这些量都与疾病的传播有很大关系，因此简单点过程不能如实地描述疾病传播过程.作为弥补，在[26]中已有人讨论了用多态分支过程来研究疾病的传播，在[27]中提出用多变点过程研究疾病传播的模型，并得到一些初步的研究结果，他们的研究表明了多变点过程可以较好地描述疾病传播传播动态系统.本节简单节介绍[27]中部分工作，主要结果就是给出了一些特殊情况下疾病的灭绝概率的具体表达式.