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异方差是时间序列模型中客观存在的现象，为了准确地刻划方差波动的这一性质，Engle在1982年开创性地提出了自回归条件异方差模型，Guegan和Diebolt在1994年提出β-ARCH模型并介绍了其主要的统计性质.他们假设预测误差εt为某实值离散时间随机过程，并且是某随机过程的随机扰动，即yt=g(Xt，b)+εt，其中Xt是外生变量和yt的时滞组成的向量，b是均值参数向量.记Ft为截止时刻t的所有信息的信息集合，进一步假设εt是某线性回归方程的随机扰动.一般的β-ARCH模型的条件方差依赖于t时刻之前的误差的平方，而不是常数.对于当前时刻t来说，延迟小的数据对现在的影响比延迟大的要大或至少相等，故要求系数满足一定约束的β-ARCH模型更切合实际.这类问题在实际中很有意义.因此，设时间序列{Xt}满足平稳β-ARCH(0，q)模型，即{Xt=εt,{εt=εtht1/2{htα0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q,其中0≤β＜1，α∈θ2={0＜δ≤α0＜M，0＜αi＜M，i=1，2，…，q}，δ为充分小的正常数，M为一正常数；ξti.i.d.～N(0，1)，t=1，2，…，ξt与{Xs，s＜t}相互独立；对参数的约束为α1≥α2≥…≥αq，～α为参数真值.
文章第二节介绍了参数α的约束极大似然估计a*的强相合性，有以下若干引理和定理：
引理1设时间序列Xt满足模型(1)，那么对(∨)α∈θ2，～α是ELn(α)关于α的唯一极大值点.
引理2假设时间序列{Xt}满足模型(1)，EX4t＜+∞，α∈θ2，那么当n→+∞时，有In=sup|In(α)-ELn(α)|→0，a.s.
定理1设时间序列{Xt}服从模型(1)，EX4t＜+∞，～α∈θ°2，那么P{limn→∞(α)=～α}=1.即得到了(α)的强相合性.
同样的证明方法我们可以得到约束下参数α的极大似然估计(α)*的强相合性.即
P{limn→∞(α)*=～(α)}=1.文章第三节给出了序约束下参数α的极大似然估计(α)*的精确表达式，有以下若干引理和定理：
定理2设时间序列{Xt}服从模型(1)，EX4t＜+∞，～a∈θ°2，那么当n→+∞时，有supα∈θ2|(a)2Ln(α)/(α)αi(α)αj-E(a)2Ln(α)/(α)αi(α)αj|→0,a.s.0≤i,j≤q,(a)2Ln((a))/(a)α(a)α＇→E[(a)2lt(Xt;α)/(a)α(a)α＇]|α=(α)=-I((a)),a.s.定理3假设时间序列{Xt}满足模型r1)，参数(α)∈θ°2，那么有√n((α)-～α)e=I-1(～α)Vn(～α).
同样的证明方法用于约束下参数α的极大似然估计(α)*上，可得到同样的结论.即
√n((α)*-～α)e=I-1(～α)Vn(～α).
文章第四节的主要内容是对序约束下参数α的极大似然估计作假设检验，即对时间序列{Xt}考虑下面的检验问题
H0∶α1=α2=…=αqv.s.H1-H0.(2)定理4对于模型r1)，假设(α)φ=(α)，J=φ，和H1成立，那么从大样本角度看，一定存在J(与样本ω和n有关)，使得(α)*=(α)J，即，对几乎所有的ω，(E)n0(ω)，使得当n≥n0(ω)时，有(α)*=(α)J，J(∪){1，2，…，q-1}，其中J依赖于n和ω.
定理5假设上述定理的条件成立，那么从大样本的角度看，(α)*=(α)J，J(∪){1，2，…，q-1}的充要条件是(α)J满足如下条件：
i).(α)J∈Cε0.ii).对于(V)I(∪)J,有(α)I(∈)Cε0或(α)I=(α)J.iii).若J＇满足(α)J＇∈Cε0，(α)J＇≠(α)J，则有Ln((α)J)＞Ln((α)J＇).由以上两定理及A(α)J的定义可知当n充分大时，约束极大似然估计(α)*的精确表示式为：
(α)*(ω)=∑J(∩){1,2,…,q-1}(α)J(ω)IA(α)J(ω).下述定理给出了约束极大似然估计(α)*的极限性质：
定理6在H0下，I1/2((α))√n((α)*-～α)d→U*.进一步，由似然比检验统计量∧=maxfα∈H0(x1,x2,…,xn；α|F0)/maxfα∈H1(x1,x2x…,xn;α|F0),我们得到对数似然比检验统计量为lnA=n∑t=1[lt(xt；(α)H0)-lt(xt；(α)*)].令T=-2ln∧，下面的定理给出了检验统计量T的极限分布：
定理7在H0下，对于(V)t＞0，limn→+∞P{T≥t}=q-1∑κ=1P(κ，I((α))))P}χ2κ≥t}.在本文第五节，我们对约束下参数α1和α2的极大似然估计进行了随机模拟，并对1985年1月～1994年12月美元/英镑汇率的一阶差分值(2599个数据)建立了β-ARCH(1，2)模型.
提要
本文研究了β-ARCH的极大似然估计(α)的相合性、渐近性，给出了约束极大似然估计(α)*的表达式，并对β-ARCH模型参数序关系作假设检验.检验问题为
H0∶α1=α2=…=αqv.s.H1-H0H1∶α1≥α2≥…≥αq最后对β-ARCH(0，2)模型给定的初值进行模拟，并对1985.1～1994.12的美元/英镑汇率进行实证分析，建立了其一阶差分数据的β-ARCH(1，2)模型.