【摘 要】
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本文主要研究在空间Cn内单位球Bn上退化的二阶椭圆偏微分方程解的刚性与正则性问题.带有光滑系数的一致椭圆微分方程解的正则性已经得到解决,可参考(Evans’ book[2]and Trud
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本文主要研究在空间Cn内单位球Bn上退化的二阶椭圆偏微分方程解的刚性与正则性问题.带有光滑系数的一致椭圆微分方程解的正则性已经得到解决,可参考(Evans’ book[2]and Trudinger’s book[6]).然而,对于退化的偏微分方程,还有一些有趣的、待解决的问题值得研究.其中,跟单位球上Bergman度量有关的Laplace-Beltrami算子下的狄利克雷边界值问题是一个显著的例子.这篇文章具体内容分为三部分:在第一章中,主要介绍这篇文章用到的一些基本知识,包括一般椭圆算子解的存在性、唯一性和正则性理论,以及复空间Cn中单位球Bn上的Laplace-Beltrami算子的定义、Poisson核以及Green函数.在第二章中,着重研究了如下Kohn拉普拉斯算子的Dirichlet边界值问题解的刚性与正则性问题.其中 n我们刻画了使得Graham型定理成立的函数(?).特别地,我们得到一个更强的结论(u不仅是多重调和的而且是全纯的)(可见主要定理2.3.1).论文中我们还给出了一个正则性定理2.3.2.在第三章中,给出新算子的非齐次狄利克雷边值问题解的表达式.并刻画了一个简单的函教(?),给出齐次狄里克雷边界值问题解的表达式.
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