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Hamilton-Jacobi方程出现于最优控制、计算流体力学、计算机图形图像、微分几何、晶体生长、网格生成等许多领域.近些年来,许多学者对它给予了越来越多的关注和研究.一般来说,Hamilton-Jacobi方程的解析解是难以求出的,其弱解不唯一且解的导数会出现间断.该文的主要工作是研究Hamilton-Jacobi方程的数值格式以及格式的稳定性、收敛性和对尖点(解出现奇性的地方)的分辨能力等问题.该文共分五章.第一章作为绪言,简要介绍Hamilton-Jacobi方程理论与数值方法的研究状况,以及Hamilton-Jacobi方程的一些应用背景.第二章讨论解一维Hamilton-Jacobi方程的高次有限元方法.使用三种不同类型的基函数,得到了三类有限元数值格式,这些格式均属于TVD型.对于具有连续基函数的半离散数值格式,其数值解收敛于Hamilton-Jacobi方程的粘性解.通过数值实例,比较了三类格式的精度、稳定性和对尖点的分辨能力.第二章研究非结构网格上解二维Hamilton-Jacobi方程的有限元方法.首先将有限元方法应用于Hamilton-Jacobi方程的粘性方程,得到一种解Hamilton-Jacobi方程的数值格式.该格式的收敛性依赖于网格的一些特殊限制.通过对这种格式的改进,构造了另一种单调的数值格式.此格式的数值解同样收敛于Hamilton-Jacobi方程的粘性解,但不需要对网格附加任何特殊限制.通过数值算例,考察了两种格式的稳定性、收敛性以及对网格的敏感性.第四章讨论非结构网格上解二维Hamilton-Jacobi方程的高精度格式.基于第三章的数值格式,构造三角形网格上的building block,得到解Hamilton-Jacobi方程的一类ENO和两类WENO格式.由于在格式中选取胜合理的权重因子,使得一类WENO格式,虽然它的模板与二阶ENO格式的模板相同,而精度却比ENO格式高出一阶.该章的数值模拟检验了ENO、WENO格式的精度和对尖点的分辨能力.第五章研究在结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的无振荡自适应局部加密方法.借助于前一章的非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的ENO思想,构造结构网格上的无振荡数值格式,并研究与这种格式相匹配的自适应局部加密方法.这种局部加密方法的优点是加密网格能够跟踪尖点的移动且只须增加少量的结点数目和计算量,却能改善格式的计算精度和对尖点的分辨能力.该章最后的数值实验证实了这些优点.