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正则代数，本文也称之为Artin-Schelter正则代数，最早是在1987年由Artin和Schelter定义的.它被看作是非交换射影空间的齐次坐标环，也被人们认为是多项式环的非交换推广.自此，关于它的分类一直是非交换射影几何领域里的一个重要问题。
Artin，Tate和Van den Bergh利用几何的方法最终完全分类了三维的正则代数.至于四维正则代数，则主要分成(12221)，(13431)和(14641)三种类型.有很多学者从不同的角度和方法去研究了每一种类型.特别地，Lu，Palmieri，Wu和Zhang对(12221)型进行了分类.Rogalski和Zhang则考虑了(13431)型的分类.(14641)型则由Zhang和Zhang利用double ore扩张以及pushout的方法去研究分类问题。
本文主要考虑的是具有两个一次生成元的五维正则代数的分类.由Floystad和Vatne的工作可知，当这样的五维正则代数是Gelfand－Kirillov维数大于等于四的整环时，则只可能有三类：(123321)型，(124421)型和(125521)型.在此基础上，本文具体考虑了(123321)型的五维正则代数.利用A∞-代数的方法，在假定是整环且满足一个generic条件下，我们完全分类了具有两个一次生成元和三个四次关系的五维正则代数。
本文主要的结果是在上述条件下，证明了共有九族这样的代数，即代数A，B，C，D，E，F，G，H，I.通过对每一族代数的具体分析，我们证明了这九族代数都是强noetherian，Artin－Schelter正则，Auslander正则以及Cohen-Macaulay的。
最后，我们考虑了最近由Floystad和Vatne给出的一个例子，即所谓的extremal代数.通过精确地构造平凡模的极小分解，他们证明了这个extremal代数是Artin－Schelter正则的，而且这个代数的Hilbert级数类型不能通过分次李代数的包络代数得到.在本文中，我们重新详细地计算了这个例子，证明了该extremal代数也是强noetherian，Auslander正则以及Cohen-Macaulay的.我们还计算了它上面的点模，证明了extremal代数上总共有9个点模的同构类。