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微分方程解的存在性与多解性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对非线性微分方程,尤其是非线性偏微分方程进行了研究.例如利用变分法和临界点理论研究了二阶和四阶椭圆方程、Schrodinger方程、Schrodinger一Pcfisson系统、Kirchhoff型方程、拟线性Schr6dinger·方程等各类方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文主要利用变分法、临界点理论、Morse理论、拓扑度理论等方法研究Schrodinger一Pcfisson系统、Kirchhoff型方程、二阶sturm—Liouville边值问题这三类微分方程解的存在性与多解性。 本文分为四章。 在第一章中,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果。 在第二章的第一节中,我们对以下带有参数的一般的Schrodinger一Pcfisson系统进行了研究。 当非线性项,在0点和无穷远点共振或跨特征值时,我们讨论以上二阶Sturm—Liouville边值问题多个解尤其多个变号解的存在性.其中,非线性项,满足以下条件 其中,非线性项.,在零点关于奇特征值共振(H2),在无穷远点共振(H3)或跨偶特征值(H4).非线性项的假设是受到文献[39]的启发.我们通过将Morse理论,拓扑度以及不动点指数理论很好的结合在一起得到了问题多个解尤其是多个变号解的存在性.在证明的过程中三种关系起了很重要的作用:不同空间的拓扑度的关系,拓扑度和不动点指数的关系,拓扑度和临界群的关系.这一章的内容己发表,见[68](Applied Mathematics and Computation219(2012):1061—1072).这章的主要结果如下。 定理4.1.1.假设条件(H1),(H2),(H5)成立,(H3)和(H4)有一个成立.则问题(4—1—1)至少存在六个非平凡解,其中两个正解,两个负解,以及两个变号解。