【摘 要】
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该文主要研究具五次和导数项目的非线性Schrodinger方程同宿轨道的存在性,其基本思想方法是基于整体可积理论、Melnikov方法和奇异扰动理论的综合运用.具五次和导数项的非线
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该文主要研究具五次和导数项目的非线性Schrodinger方程同宿轨道的存在性,其基本思想方法是基于整体可积理论、Melnikov方法和奇异扰动理论的综合运用.具五次和导数项的非线性Schrodinger方程具有广泛的物理应用背景,可视为非线性Schrodinger(NLS)方程的扰动,进而可作为近可积系统进行较为精细的研究.在第一章绪论中,我们简要介绍了近可积系统的相关内容,给出了具五次和导数项的非线性Schrodinger方程的物理背景,数值实验结果,研究状况以及该文所讨论的基本内容.第二章研究三次—五次非线性Schrodinger(CQS)方程同宿轨道的不变性.首先,我们在常值平面上对扰动和未扰动系统进行相平面分析;然后利用奇异扰动理论讨论不变流形的保持性,并给出不变流形的纤维表示;借助于未扰动系统的可积结构和Melnikov测度,我们得到了三次—五次非线性Schrodinger方程在参数满足一定条件时同宿轨道的存在性.第三章讨论了含有三阶色散项的导数非线性Schrodinger(DNLS)方程,通过采用三模Fourier截断,我们得到一个六维模型,利用Melnikov分析和几何奇异扰动理论证明了这个六维模型同宿轨道的保持性.在讨论CQS方程的同宿轨道时,五次非线性项被作为NLS方程的扰动项.若五次项置于主项位置,即未扰动系统是一个五次非线性Schrodinger(QNLS)方程,此时的CQS方程不再是近可积系统,而仅是一个Hamiltonian系统的扰动.在这种情况下,我们对方程作了一些相平面分析,并得到了在扰动之后不变流行的保持性.对于某些既有五次项又有导数的NLS方程,Kundu等利用规范变换得到了它们的可积性.我们采用古典的方法并借助于一定技巧,得到了这些方程的Lax对,从而应证了Kundu等人的结论.
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