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随着计算机技术和计算方法的快速发展，人们已发展了许多计算确定性问题的高效数值方法。然而，在很多情形下，方程中的一些参数(如扩散项、边界条件以及求解区域等)带有不确定性。为了准确地对不确定性问题做出证明和检验等，需要设计高精度的数值方法求解随机微分方程。谱元法作为一种高阶的数值方法，结合了谱方法的高精度和有限元法灵活的网格剖分技术，在不可压流体的计算中已取得了很大的成功，并正成为计算随机微分方程的一个有力工具。
本文旨在利用随机Galerkin谱方法求解带有不确定性输入参数的微分方程。研究的算法基于随机方向上的Askey正交(混沌)多项式谱分解和物理空间方向上的谱方法。我们针对几个典型问题构造了有效的解法，并做了必要的算法分析和数值检验。具体研究内容如下：
-通过数值求解一个随机常微分方程，我们考察了参数的不确定性对数值解的扰动影响以及数值方法的收敛性质。
-以定常、非定常随机扩散方程为例，考察了一种随机Galerkin谱方法的具体实现方式，并用一些数值算例测试了算法的有效性。
-提出了有效的数值方法求解随机Stokes方程，并分析了算法的有效性。首先，通过随机方向上采用随机Galerkin谱方法，原随机Stokes方程转化为一组关于展开系数的确定性方程组；其次，对于所得到的方程组，我们用PN×PN-2谱方法并结合块Jacobi迭代格式进行数值求解。我们证明了连续问题的弱形式及其离散问题的适定性。另外，我们还给出了严格的误差分析，并用数值试验检验了理论结果。
-基于热传导方程的谱离散格式，讨论了利用变分伴随数据同化进行参数的优化确定问题。确切地说，我们采用离散型伴随同化求解热传导方程的初始条件的最优化问题。通过在空间方向上引入谱方法和时间方向上采用Crank-Nicolson差分格式先推得一个全离散问题。从这个全离散问题出发，结合全局或局部已知的观测数据，分别构造梯度下降算法求解相应的最优化问题。我们分析了采用不同方法计算梯度所需的代价，另外，还给出一种选择最优迭代步长的算法。数值试验验证了最优化算法的效率。