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Morris等式在统计和量子物理中都有很广泛的应用。它等价于Selberg积分,而Selberg积分是著名的欧拉beta积分的一个n维推广。Selberg积分被用于证明Macdonald的一些猜想和随机矩阵中著名的Mehta-Dyson猜想。随后兴起了关于其的q-模拟研究。1988年Habsieger和Kadell分别独立的证明了由Askey猜测的q-Morris等式。
1962年,基于粒子物理中的问题,Dyson猜测某Laurent多项式的常数项为一个多项式系数,此常数项恒等式被称为Dyson猜想。这个猜想很快于当年由Gunson和Wilson分别独立证明。二十年后Wilson因为用重正规化群的方法研究临界现象而获得诺贝尔物理学奖,而证明Dyson猜想的文章是他的第一篇学术论文。1970年Good应用Lagrange插值给出了Dyson猜想的一个优美的递归证明。1982年,运用Vandermonde行列式恒等式与多重竞赛图,Zeilberger给出了一个组合证明。1975年Andrews提出了Dyson猜想的q-模拟形式。Andrews的q-Dyson猜想吸引了很多杰出的数学家,但是直到1985年才由Zeilberger和Bressoud通过组合的方法证明。最近,Gessel和Xin应用迭代级数和多项式的性质给出了一个完全不同的代数证明。在参数都相等的情形下,q-Dyson猜想就简化为Macdonald的关于根系的类型A的常数项猜想。
本论文给出了关于q-Morris和q-Dyson类常数项等式的三个主要结果。我们的主要研究工具是Xin在他的博士论文中所建立的迭代级数域的理论。
这个理论有很多应用领域,其中一个主要的应用是用来证明常数项等式。本论文主要研究利用迭代级数域的工具证明q-Morris和q-Dyson类常数项等式。
首先,运用Gessel和Xin证明q-Dyson猜想的方法,我们给出了q-Morris等式的一个简洁的证明。证明的思想是将等式两边看作某一变元的多项式。要证明两个次数为d的多项式相等,只需证明它们在d+1个点上相等即可。不同于Gessel和Xin证明q-Dyson猜想的是我们需要处理重根问题。应用多项式的观点我们证明了没有重根的情况。基于q-Dyson类常数项在参数相等情形下的有理性(即q-Morris常数项可以看作关于所有参数的有理函数),我们将其无重根的情况推广到了一般情形。同时,我们还介绍了q-Morris等式与q-Selberg积分的等价性。特别地,当q趋近于1时我们就得到了Morris等式与Selberg积分等价。
接着,我们推广了Gessel和Xin的迭代级数的方法从而建立了一系列的q-Dyson类常数项等式,这些等式被称为q-Dyson乘积项的第一层公式。这些公式给出了q-Dyson乘积项的一类系数的精确公式,包含了Sills的三个猜想为特例,并推广了Stembridge的特殊线性群的特征的第一层公式。对于这些新的公式,基于Gessel和Xin的工作的自然推广我们发展了一套新的方法,不仅能够证明,而且能够计算此类常数项。
最后,通过扩展我们得到的关于q-Dyson乘积项的第一层公式,我们首次证明了Kadell关于Dyson乘积项的猜想,同时推翻了Kadell关于此猜想的q-模拟。在证明Kadell猜想的过程中,我们发现有大量的互相抵消。由此启发,利用扩展公式我们给出并证明了Kadell关于Dyson乘积项的猜想的一个q-模拟。