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拓扑材料分为拓扑绝缘体、拓扑半金属和拓扑超导体等等。由于这些材料中新奇的量子态、深刻的物理内涵和潜在的应用前景，拓扑材料是当前材料学和凝聚态物理研究的热点问题之一。本论文利用第一性原理计算方法、严格对角化方法以及矩阵乘积态等方法研究二维和三维拓扑半金属。得到的主要结果归纳如下: ·利用Fortran程序语言开发了一套计算声子拓扑的程序包TPHONON，实现通过力常量计算和分析声子谱、声子态密度、声子能带的拓扑性质（包括贝里曲率、瓦尼尔中心演化、拓扑荷）和拓扑表面声子态等等，并且可以进行图形化输出。 ·利用第一性原理方法计算了WC型材料的声子谱，发现在布里渊区沿着路径KH上的能带交点为外尔点。利用Wilson-loop方法确定了所有外尔点的拓扑荷。在晶体的(1010)和(0110)面上观察到了开放的费米弧表面态(open Fermi arc surface state)，并且这些费米弧总是连接两个相反拓扑荷的外尔点。通过对称性分析，构建一阶和二阶k·p模型来描述每个外尔点。发现在很多由二阶k·p模型描述的外尔点附近，还隐藏着与之拓扑荷相反的三个外尔点。这些点在布里渊区里很接近。因此在用Wilson-loop方法求拓扑荷时，所得的拓扑荷与Wilson-loop方法中的半径r有关。 ·计算了MgB2以及具有相同结构AlB2型材料的声子谱。由于这些结构具有中心对称性，外尔点不可能存在。但是却发现了声子拓扑外尔直线态。这些外尔直线可以看成无穷多的外尔点紧密排列在一起。更特别的是，这些节线沿着布里渊区的一条直线而穿过整个布里渊区，这样在两条节线限定的矩形区域内，都能观察到了鼓膜型的表面念。 ·提出了两种简单有效的构造二维碳结构的方法。利用该方法构造了10多种新颖的二维碳结构。利用第一性原理计算，研究了它们的基态能量、动力学稳定性、电子结构和态密度等性质。发现三-八环C38是半导体，能隙大小为～1.04eV。发现四种新结构的低能激发是狄拉克费米子，其中三种碳结构并不具备六角对称性。这和石墨烯是完全不同的，说明了狄拉克费米子能存在于非六角对称的二维碳结构中。 ·利用严格对角化方法研究了二维Star晶格中拓扑平带上的相互作用模型。找到了费米型和玻色型的分数陈绝缘体态(Fractional Chern insulator，FCI)，费米型FCI出现在平带的占据因子是1/3、1/5和1/7时，玻色型FCI出现在平带的占据因子是1/2和1/4时。另外在陈数为2的拓扑平带上，当占据数为1/5时观察到了费米型FCI态，当占据数为1/3时观察到了玻色型FCI态。 ·YbMgGaO4是最近被实验合成出来的一种可能的新型量子自旋液体(quan-tum spin liquid，QSL)。利用矩阵乘积态(matrix product state，MPS)方法研究了二维三角晶格上各向异性自旋模型的基态磁相图。然而并没有找到充分证据证明在有序相的边界存在量子自旋液体相。由于该自旋模型为各向异性模型，导致MPS可处理的系统尺寸受限（～36个格点），如果增大系统尺寸（＞100格点），则截断误差过大(～103)，不能得到准确的基态。