【摘 要】
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近几十年在物理、医学、地质、生物等很多科学领域中,都出现了“由输出结果反求输入数据”的反问题,统称为“数学物理反问题”。由于大部分的反问题无法解析求解,因此数值方
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近几十年在物理、医学、地质、生物等很多科学领域中,都出现了“由输出结果反求输入数据”的反问题,统称为“数学物理反问题”。由于大部分的反问题无法解析求解,因此数值方法在反问题的研究中至关重要。求解反问题的难度一方面来自于理论研究,另一方面来自于算法的实现。虽然在研究过程中困难重重,但因为它在许多工程技术领域具有重要的应用背景,从而使得数学物理反问题成为研究热点。本文主要针对医学图像中的生物发光断层成像问题,考虑了该问题的一种线性近似求解方法。与Tikhonov正则化方法不同在于,我们基于全变分正则化,引入同伦摄动的思想,构造了一种新的迭代法用于解决线性不适定问题。相比于传统正则化方法,所提的新方法能够在较少的迭代步数下,较好地反演待识别的参数。特别是其中所述的全变分正则化方法,对于边界是分段光滑的问题尤为有效。在理论上,通过引入Bregman距离来替代全变分罚项,证明了问题的偏差和误差都是单调递减的,从而说明了该算法的收敛性。在数值仿真方面,以生物发光断层成像为例,与2L-正则化方法进行了比较。数值结果表明用新方法重构的图像清晰,对于异常体边界的重构效果更好。
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