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2010年镇江市中考试卷中有这样一道试题：
在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A、C始终在x轴的正半轴上，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，点B在直线OD上方移动，AB与OD相交于E．当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为■．试解决下列问题：
（1）填空：D点坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时， 判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
本题难度系数为0.35，从学生得分情况看，绝大部分同学被卡在了第（2）小题的运算上.事实上，本题考查的就是完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的灵活运用.
不难得到，D点坐标为■，■；而由Rt△OAB的面积为■，得Bt，■.
∵BD2=AC2+（AB-CD）2，
∴BD2=t-■2+■-■2=t2-2■t+2+■-■+2
=t2+■-2■t+■+4=t+■2-2■t+■+2=t+■-■2．
∴BD=t+■-■=t+■-■．下略．
题中逆向使用了t+■2=t2+■+2，从而转化为以t+■为“元”的二次三项式，并再次逆用完全平方公式.
笔者认为学生之所以没能灵活运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是因为没真正理解公式.完全平方公式的核心内容是两项式a与b的和的二次方展开与配方，这里a与b的内涵非常丰富，可以是数、字母甚至是代数式（如本题中的t、■、t+■）等，在平时的训练中要注重变式训练，培养捕捉a、b的慧眼和转化、创设a、b的能力.常见的变形有：
a2+b2=（a-b）2+2ab，t2+■=t+■2-2，
a2+b2+c2-ab-bc-ac=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c2）]．
链接：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2.（你能推导吗？）
精彩案例：
（1）若△ABC的三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，判断△ABC的形状.
解： 将三式相加，得a2+b2+c2-ab-bc-ac=0．
配方，得（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，从而a=b=c．所以△ABC是等边三角形.
（2）已知非零实数a、b满足ab=a-b，求证：■+■-ab=2.
证明：■+■-ab=■-ab=■-ab=■-ab=2.
（3）已知m=1+■，n=1-■，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于多少？
分析：对于二次三项式7m2-14m+a，可联想到7（m2-2m）+a，进而由完全平方公式想到（m-1）2的形式，从而将条件转化为（m-1）2=2，（n-1）2=2，得到m2-2m=1，n2-2n=1，用整体代换的方法得到结果．
（4）已知a、b、c、d满足a+b=c+d≠0，a2+b2+ab=c2+d2+cd，
求证：a2010+b2010=c2010+d2010．
证明：∵a2+b2+ab=c2+d2+cd，
（a+b）2-ab=（c+d）2-cd，∴ab=cd．
（a+b）2-4ab=（c+d）2-4cd．
即（a-b）2＝（c-d）2，∴a-b＝±（c-d）．
又a+b＝c+d，得a＝c，b＝d，或a＝d，b＝c．∴a2010+b2010=c2010+d2010成立.
（5）已知实数满足条件x+y+z=3，x2+y2+z2=21，xyz=-5.求x4+y4+z4的值.
解：∵（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz＝-6，
（xy+yz+xz）2＝36，
x2y2+y2z2+x2z2+2xyz（x+y+z）＝36，
x2y2+y2z2+x2z2＝66，
x4+y4+z4＝（x2+y2+z2）2-2（x2y2+y2z2+x2z2）＝441-2×66＝309.
聪明的你一定也可以用类似的方法计算■+■+■的值，不妨试一试.
小试牛刀：
请用完全平方公式的知识完成：
（1） 已知x-■＝n，用含n的代数式表示x2+■+3.
（2） 若x2-（k-2）x+9是一个完全平方式，则k 等于.
（3） 设x=■，y=■，则x2-xy+y2＝.
（4） 解方程：（x2-x-2）2+（2x2+3x－5）2＝（3x2+2x－7）2.
（5） 已知■-m＝3，那么代数式■+m的值等于.
（6） 已知a，b，k都是有理数，且b＝ak+■.
试证明：关于x的二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根都是有理根.
答案：（1）n2+5．（2）k＝8或k＝－4．（3）321． 提示：x+y＝18，xy＝1，所以x2
-xy+y2＝321.（4）2，-1，1，-■．提示：令x2-x-2＝a，2x2+3x-5＝b，所以a2+b2＝（a+b）2，化简，得ab＝0， 即x2-x-2＝0或2x2+3x-5＝0.（5） ■.提示：■-m＝3，所以■＝m+3＞0，则■-m＝3，两边平方，得■+m2-2＝9，所以■+m2＝13.（6）提示：先证明c是有理数，再证明△＝b2-4ac＝ak+■2-4ac=a2k2+2ac+■-4ac=ak-■2是一个完全平方数.
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在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A、C始终在x轴的正半轴上，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，点B在直线OD上方移动，AB与OD相交于E．当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为■．试解决下列问题：
（1）填空：D点坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时， 判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
本题难度系数为0.35，从学生得分情况看，绝大部分同学被卡在了第（2）小题的运算上.事实上，本题考查的就是完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的灵活运用.
不难得到，D点坐标为■，■；而由Rt△OAB的面积为■，得Bt，■.
∵BD2=AC2+（AB-CD）2，
∴BD2=t-■2+■-■2=t2-2■t+2+■-■+2
=t2+■-2■t+■+4=t+■2-2■t+■+2=t+■-■2．
∴BD=t+■-■=t+■-■．下略．
题中逆向使用了t+■2=t2+■+2，从而转化为以t+■为“元”的二次三项式，并再次逆用完全平方公式.
笔者认为学生之所以没能灵活运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是因为没真正理解公式.完全平方公式的核心内容是两项式a与b的和的二次方展开与配方，这里a与b的内涵非常丰富，可以是数、字母甚至是代数式（如本题中的t、■、t+■）等，在平时的训练中要注重变式训练，培养捕捉a、b的慧眼和转化、创设a、b的能力.常见的变形有：
a2+b2=（a-b）2+2ab，t2+■=t+■2-2，
a2+b2+c2-ab-bc-ac=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c2）]．
链接：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2.（你能推导吗？）
精彩案例：
（1）若△ABC的三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，判断△ABC的形状.
解： 将三式相加，得a2+b2+c2-ab-bc-ac=0．
配方，得（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，从而a=b=c．所以△ABC是等边三角形.
（2）已知非零实数a、b满足ab=a-b，求证：■+■-ab=2.
证明：■+■-ab=■-ab=■-ab=■-ab=2.
（3）已知m=1+■，n=1-■，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于多少？
分析：对于二次三项式7m2-14m+a，可联想到7（m2-2m）+a，进而由完全平方公式想到（m-1）2的形式，从而将条件转化为（m-1）2=2，（n-1）2=2，得到m2-2m=1，n2-2n=1，用整体代换的方法得到结果．
（4）已知a、b、c、d满足a+b=c+d≠0，a2+b2+ab=c2+d2+cd，
求证：a2010+b2010=c2010+d2010．
证明：∵a2+b2+ab=c2+d2+cd，
（a+b）2-ab=（c+d）2-cd，∴ab=cd．
（a+b）2-4ab=（c+d）2-4cd．
即（a-b）2＝（c-d）2，∴a-b＝±（c-d）．
又a+b＝c+d，得a＝c，b＝d，或a＝d，b＝c．∴a2010+b2010=c2010+d2010成立.
（5）已知实数满足条件x+y+z=3，x2+y2+z2=21，xyz=-5.求x4+y4+z4的值.
解：∵（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz＝-6，
（xy+yz+xz）2＝36，
x2y2+y2z2+x2z2+2xyz（x+y+z）＝36，
x2y2+y2z2+x2z2＝66，
x4+y4+z4＝（x2+y2+z2）2-2（x2y2+y2z2+x2z2）＝441-2×66＝309.
聪明的你一定也可以用类似的方法计算■+■+■的值，不妨试一试.
小试牛刀：
请用完全平方公式的知识完成：
（1） 已知x-■＝n，用含n的代数式表示x2+■+3.
（2） 若x2-（k-2）x+9是一个完全平方式，则k 等于.
（3） 设x=■，y=■，则x2-xy+y2＝.
（4） 解方程：（x2-x-2）2+（2x2+3x－5）2＝（3x2+2x－7）2.
（5） 已知■-m＝3，那么代数式■+m的值等于.
（6） 已知a，b，k都是有理数，且b＝ak+■.
试证明：关于x的二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根都是有理根.
答案：（1）n2+5．（2）k＝8或k＝－4．（3）321． 提示：x+y＝18，xy＝1，所以x2
-xy+y2＝321.（4）2，-1，1，-■．提示：令x2-x-2＝a，2x2+3x-5＝b，所以a2+b2＝（a+b）2，化简，得ab＝0， 即x2-x-2＝0或2x2+3x-5＝0.（5） ■.提示：■-m＝3，所以■＝m+3＞0，则■-m＝3，两边平方，得■+m2-2＝9，所以■+m2＝13.（6）提示：先证明c是有理数，再证明△＝b2-4ac＝ak+■2-4ac=a2k2+2ac+■-4ac=ak-■2是一个完全平方数.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”