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摘要：本文以城市轨道交通钢轨为钢构件研究对象，采用模态分析方法建立车辆－轨道垂向耦合动力计算模型，使用Wilson-θ数值积分方法，得到了列车运行时轨底的应力时程曲线。基于累积损伤破坏理论，对不同应力极值分布条件下钢轨疲劳寿命进行了预测比较。结果表明，钢轨轨底应力分布的概率密度函数对钢轨疲劳寿命预测结果影响很大，并提出了一些有益的建议。
关键词：随机过程；累积损伤；疲劳寿命
1概述
金属构件在交变应力作用下发生的破坏，习惯上称为疲劳破坏。在工程结构和机械设备中，疲劳破坏的现象极为广泛，它普遍存在于每个承受反复荷载的结构部件中，因此疲劳问题是轨道结构中一个古老而又基础的问题。而钢轨是轨道结构中一个重要部件，是轮轨接触中的直接承重部分，承受列车荷载反复作用并将重量传到轨枕和道床，在铁路运输中起着承上启下的作用。在交变荷载的重复作用下，钢轨会因为疲劳而引起剥离、掉块、核伤、孔裂、轨头裂纹等疲劳重伤，严重影响行车安全。
对于材料的疲劳机理，目前一般的解释是：材料在交变应力作用下，虽然最大应力值低于屈服极限，但由于材料的不均匀性，在其薄弱处将产生细微的裂纹，形成所谓的裂纹源，而裂纹的两端是应力集中的区域。随着应力循环次数的增加，这些裂纹逐渐扩展，发展成为宏观裂缝，削弱了构件截面的有效面积，于是，当截面面积小到难以承受荷载时，在偶然的振动或冲击下，即发生突然的断裂。
综上所述，材料的疲劳破坏是在交变应力作用下，疲劳裂纹形成和扩展的结果，而材料微观组织的缺陷和应力集中是产生裂纹的主要原因。
疲劳分析的最终目的，就是要确定结构构件的疲劳寿命。目前钢轨疲劳寿命预测方法是根据疲劳实验中求出的S-N曲线和列车荷载引起的钢轨弯曲应力，利用Miner线性累积伤损等疲劳损伤法则预测寿命。
2线性疲劳累积损伤理论
线性疲劳累积损伤理论是指在循环荷载作用下，疲劳损伤是可以线性地累加的，各个应力之间相互独立和互不相关，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构件就发生疲劳破坏。线性累积损伤理论中典型的是Palmgren-Miner理论，简称Miner理论。
当结构反应为确定性周期振动时，疲劳破坏的控制式由应力幅值S和循环次数N表示为：
(1)
式中， ， 为大于零的常数。
当应力幅值不是常数时，Miner等提出了著名的线性累积损伤公式：
(2)
式中， 是在應力幅值 下循环次数为 时的累积损伤，当 时，结构发生疲劳破坏。将式(2)代入式(1)得：
(3)
对于结构的应力反应为随机过程时的疲劳破坏问题，以 表示由于随机应力 在单位时间造成的疲劳损伤，则有：
(4)
式中， 是峰值总数为 时，峰值为 的条件概率密度函数； 为单位时间内峰值总数 的概率密度函数；上式中后一积分则是在幅值为 下的单位时间内峰值总数的期望值。
假定峰值总数与应力幅值是相互独立的随机变量，则：
(5)
式中， 为单位时间内峰值总数的期望值，将式(5)代入式(4)得：
(6)
在时间[0,T]内累积损伤 的期望值为：
(7)
当随机反应 为平稳过程时， 为常数，故有：
(8)
上式表明，计算累积损伤期望值的关键在于求得峰值概率密度 和峰值总数的期望值 。
假定 的峰值概率密度函数近似服从瑞利分布
(9)
以正斜率与零线交差次数的期望值 来代替峰值总数的期望值，则有：
(10)
简化可得：
(11)
式中， 为伽玛函数，
若假定 的峰值概率密度函数服从高斯分布，同理可以解出单位时间内结构累积损伤的期望值：
(12)
令：
(13)
则由式(13)解出的 就是结构的疲劳寿命。由于列车荷载是间断的作用于结构上，则可由疲劳寿命算出结构的使用寿命。
当随机反应 为平稳过程时，则疲劳寿命为：
(14)
3轨道结构时域响应求解
3.1 基本假设与计算模型
采用车辆－轨道耦合动力学计算模型，在模型中仅考虑轮轨垂向动力效应；车辆部分为附有二系弹簧系统的整车模型，具有车体沉浮和点头、前后转向架沉浮和点头以及轮对等10个自由度；轮轨间的接触刚度由赫兹公式得出；钢轨被视为支承在双层弹性基础上的欧拉梁，其计算长度可取车辆定距加上前后各10跨轨枕的长度；枕木和道床均简化为集中质量处理，并且仅考虑垂向动力效应。
由于车辆－轨道耦合模型是一个大型强非线性系统，所以研究其随机振动的最有效方法是数值积分法。其基本原理是通过时频转换方法将轨道不平顺功率谱转换为时域样本，在轨道不平顺各态历经的假设下，可以模拟一段足够长的时域样本来代表整个随机过程。在进行求解时，只需将轨道不平顺的时域样本输入系统，通过数值积分即可获得系统响应的时间历程，再求出相应的轨道响应统计特征值，最后计算结构的疲劳寿命。
3.2 随机振动响应求解
钢轨在车辆荷载作用下的垂向振动方程可表示为：
（15）
式中， 、 、 分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵； 为系统转换矩阵； 为轨道不平顺输入向量； 为系统广义位移向量。
3.3 数值积分计算
采用Wilson-θ逐步积分方法[3]，计算步骤如下：
（1）形成质量矩阵 、阻尼矩阵 和刚度矩阵 ；
（2）给出初值 、 和 ；
（3）选择时间步长 ，取 ，并计算积分常数：
； ； ； ； ； ；
； ； ；
（4）形成等效刚度矩阵 ；
（5）计算 时刻的等效荷载：
（6）计算 时刻的位移：
（7）计算 时刻的位移、速度、加速度：
3.4 轨底弯曲应力计算
要预测钢轨的疲劳寿命，首先要得到钢轨底部的弯曲应力概率分布情况以及概率统计特征值 等等。因为：
(16)
上式中 为钢轨垂向位移，进行振型分解：
(17)
上式中， 为振型函数，则：
(18)
式中， 为广义位移向量，可以根据式(15)求得。
轨底应力可以根据轨底弯距求得：
(19)
上式 为钢轨截面系数， 。
以武汉轻轨系统为计算实例，计算参数：钢轨50kg/m，弹性模量E=210GPa,惯性矩I=3.0217×10-5m4；轮对轴重1.4t；轨下垫板弹性系数7.8×107 N/m，阻尼系数5.0×104N•m/s；采用弹性短枕式整体道床，道床垂向刚度2.4×108 N/m，阻尼系数5.88×104N•m/s；道床剪切刚度7.8×107 N/m，阻尼系数8×104N•m/s；列车自重35.5t；最高时速80km/h；采用DTVⅢ型扣件；截取模态阶数 ＝30；轨道不平顺输入采用美国六级线路谱。轨底应力计算结果如图1所示。
图1 轨底应力时程曲线图2 钢轨疲劳S-N曲线
4钢轨疲劳寿命预测
S-N曲线是从钢轨疲劳实验中统计出的钢轨性能曲线，是进行钢轨疲劳寿命预测所必须的。由于条件所限，本文采用西南交通大学做的50kg/m钢轨焊接部位的S-N曲线[8]，如图2所示，系数取值b=1.9350，c=0.996505×108。计算疲劳的方法主要是采用Miner线性累积伤损法则。
根据式(11)和式(12)进行钢轨疲劳寿命计算，结果如下表所示：
行车密度：263对/天；最大运行速度80km/h；应力标准差：
从表中可以看出，对于不同的应力分布函数，钢轨的疲劳寿命差别很大，因此，能否准确的统计钢轨轨底应力的概率密度函数是钢轨疲劳寿命预测的关键因素。由于Miner线性累积伤损法则通常适合于应力大于疲劳极限(200MPa)的情况，而在列车荷载作用下，钢轨的弯曲应力绝大部分都低于200MPa，因此，该法计算结果是偏于安全的。
5结论与建议
考虑到以下因素：
(1) 计算模型与钢轨实际线路情况有一定区别；
(2) 本文钢轨寿命预测没有考虑偏载系数和横向水平力系数的影响；
(3) 本文采用的S-N曲线并不是武汉轻轨钢轨的实际疲劳曲线。
所以，虽然該计算结果并不能作为武汉轻轨系统钢轨疲劳寿命预测的标准值，但是对于城市轨道交通钢轨损伤的评价分析仍然有一定的合理性和可参考性。
钢轨损伤与防治是一项复杂的系统工程，减少钢轨伤损、延长钢轨寿命、保证行车安全主要应注意以下几个方面：
(1) 保证城市轨道交通选用钢材的质量；
(2) 对于无缝线路，严格执行钢轨焊接标准，控制焊接质量，改善焊接工艺，以减少焊接对钢轨造成的伤损；
(3) 加强线路维修养护和科学管理，减少线路病害，延长钢轨使用寿命；
(4) 做好钢轨探伤检查工作，引进先进的检测探伤技术和设备，更新检测维修手段，提高职工的技术水平，完善探伤检查工作。
注：文章内的图表及公式请到PDF格式下查看
关键词：随机过程；累积损伤；疲劳寿命
1概述
金属构件在交变应力作用下发生的破坏，习惯上称为疲劳破坏。在工程结构和机械设备中，疲劳破坏的现象极为广泛，它普遍存在于每个承受反复荷载的结构部件中，因此疲劳问题是轨道结构中一个古老而又基础的问题。而钢轨是轨道结构中一个重要部件，是轮轨接触中的直接承重部分，承受列车荷载反复作用并将重量传到轨枕和道床，在铁路运输中起着承上启下的作用。在交变荷载的重复作用下，钢轨会因为疲劳而引起剥离、掉块、核伤、孔裂、轨头裂纹等疲劳重伤，严重影响行车安全。
对于材料的疲劳机理，目前一般的解释是：材料在交变应力作用下，虽然最大应力值低于屈服极限，但由于材料的不均匀性，在其薄弱处将产生细微的裂纹，形成所谓的裂纹源，而裂纹的两端是应力集中的区域。随着应力循环次数的增加，这些裂纹逐渐扩展，发展成为宏观裂缝，削弱了构件截面的有效面积，于是，当截面面积小到难以承受荷载时，在偶然的振动或冲击下，即发生突然的断裂。
综上所述，材料的疲劳破坏是在交变应力作用下，疲劳裂纹形成和扩展的结果，而材料微观组织的缺陷和应力集中是产生裂纹的主要原因。
疲劳分析的最终目的，就是要确定结构构件的疲劳寿命。目前钢轨疲劳寿命预测方法是根据疲劳实验中求出的S-N曲线和列车荷载引起的钢轨弯曲应力，利用Miner线性累积伤损等疲劳损伤法则预测寿命。
2线性疲劳累积损伤理论
线性疲劳累积损伤理论是指在循环荷载作用下，疲劳损伤是可以线性地累加的，各个应力之间相互独立和互不相关，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构件就发生疲劳破坏。线性累积损伤理论中典型的是Palmgren-Miner理论，简称Miner理论。
当结构反应为确定性周期振动时，疲劳破坏的控制式由应力幅值S和循环次数N表示为：
(1)
式中， ， 为大于零的常数。
当应力幅值不是常数时，Miner等提出了著名的线性累积损伤公式：
(2)
式中， 是在應力幅值 下循环次数为 时的累积损伤，当 时，结构发生疲劳破坏。将式(2)代入式(1)得：
(3)
对于结构的应力反应为随机过程时的疲劳破坏问题，以 表示由于随机应力 在单位时间造成的疲劳损伤，则有：
(4)
式中， 是峰值总数为 时，峰值为 的条件概率密度函数； 为单位时间内峰值总数 的概率密度函数；上式中后一积分则是在幅值为 下的单位时间内峰值总数的期望值。
假定峰值总数与应力幅值是相互独立的随机变量，则：
(5)
式中， 为单位时间内峰值总数的期望值，将式(5)代入式(4)得：
(6)
在时间[0,T]内累积损伤 的期望值为：
(7)
当随机反应 为平稳过程时， 为常数，故有：
(8)
上式表明，计算累积损伤期望值的关键在于求得峰值概率密度 和峰值总数的期望值 。
假定 的峰值概率密度函数近似服从瑞利分布
(9)
以正斜率与零线交差次数的期望值 来代替峰值总数的期望值，则有：
(10)
简化可得：
(11)
式中， 为伽玛函数，
若假定 的峰值概率密度函数服从高斯分布，同理可以解出单位时间内结构累积损伤的期望值：
(12)
令：
(13)
则由式(13)解出的 就是结构的疲劳寿命。由于列车荷载是间断的作用于结构上，则可由疲劳寿命算出结构的使用寿命。
当随机反应 为平稳过程时，则疲劳寿命为：
(14)
3轨道结构时域响应求解
3.1 基本假设与计算模型
采用车辆－轨道耦合动力学计算模型，在模型中仅考虑轮轨垂向动力效应；车辆部分为附有二系弹簧系统的整车模型，具有车体沉浮和点头、前后转向架沉浮和点头以及轮对等10个自由度；轮轨间的接触刚度由赫兹公式得出；钢轨被视为支承在双层弹性基础上的欧拉梁，其计算长度可取车辆定距加上前后各10跨轨枕的长度；枕木和道床均简化为集中质量处理，并且仅考虑垂向动力效应。
由于车辆－轨道耦合模型是一个大型强非线性系统，所以研究其随机振动的最有效方法是数值积分法。其基本原理是通过时频转换方法将轨道不平顺功率谱转换为时域样本，在轨道不平顺各态历经的假设下，可以模拟一段足够长的时域样本来代表整个随机过程。在进行求解时，只需将轨道不平顺的时域样本输入系统，通过数值积分即可获得系统响应的时间历程，再求出相应的轨道响应统计特征值，最后计算结构的疲劳寿命。
3.2 随机振动响应求解
钢轨在车辆荷载作用下的垂向振动方程可表示为：
（15）
式中， 、 、 分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵； 为系统转换矩阵； 为轨道不平顺输入向量； 为系统广义位移向量。
3.3 数值积分计算
采用Wilson-θ逐步积分方法[3]，计算步骤如下：
（1）形成质量矩阵 、阻尼矩阵 和刚度矩阵 ；
（2）给出初值 、 和 ；
（3）选择时间步长 ，取 ，并计算积分常数：
； ； ； ； ； ；
； ； ；
（4）形成等效刚度矩阵 ；
（5）计算 时刻的等效荷载：
（6）计算 时刻的位移：
（7）计算 时刻的位移、速度、加速度：
3.4 轨底弯曲应力计算
要预测钢轨的疲劳寿命，首先要得到钢轨底部的弯曲应力概率分布情况以及概率统计特征值 等等。因为：
(16)
上式中 为钢轨垂向位移，进行振型分解：
(17)
上式中， 为振型函数，则：
(18)
式中， 为广义位移向量，可以根据式(15)求得。
轨底应力可以根据轨底弯距求得：
(19)
上式 为钢轨截面系数， 。
以武汉轻轨系统为计算实例，计算参数：钢轨50kg/m，弹性模量E=210GPa,惯性矩I=3.0217×10-5m4；轮对轴重1.4t；轨下垫板弹性系数7.8×107 N/m，阻尼系数5.0×104N•m/s；采用弹性短枕式整体道床，道床垂向刚度2.4×108 N/m，阻尼系数5.88×104N•m/s；道床剪切刚度7.8×107 N/m，阻尼系数8×104N•m/s；列车自重35.5t；最高时速80km/h；采用DTVⅢ型扣件；截取模态阶数 ＝30；轨道不平顺输入采用美国六级线路谱。轨底应力计算结果如图1所示。
图1 轨底应力时程曲线图2 钢轨疲劳S-N曲线
4钢轨疲劳寿命预测
S-N曲线是从钢轨疲劳实验中统计出的钢轨性能曲线，是进行钢轨疲劳寿命预测所必须的。由于条件所限，本文采用西南交通大学做的50kg/m钢轨焊接部位的S-N曲线[8]，如图2所示，系数取值b=1.9350，c=0.996505×108。计算疲劳的方法主要是采用Miner线性累积伤损法则。
根据式(11)和式(12)进行钢轨疲劳寿命计算，结果如下表所示：
行车密度：263对/天；最大运行速度80km/h；应力标准差：
从表中可以看出，对于不同的应力分布函数，钢轨的疲劳寿命差别很大，因此，能否准确的统计钢轨轨底应力的概率密度函数是钢轨疲劳寿命预测的关键因素。由于Miner线性累积伤损法则通常适合于应力大于疲劳极限(200MPa)的情况，而在列车荷载作用下，钢轨的弯曲应力绝大部分都低于200MPa，因此，该法计算结果是偏于安全的。
5结论与建议
考虑到以下因素：
(1) 计算模型与钢轨实际线路情况有一定区别；
(2) 本文钢轨寿命预测没有考虑偏载系数和横向水平力系数的影响；
(3) 本文采用的S-N曲线并不是武汉轻轨钢轨的实际疲劳曲线。
所以，虽然該计算结果并不能作为武汉轻轨系统钢轨疲劳寿命预测的标准值，但是对于城市轨道交通钢轨损伤的评价分析仍然有一定的合理性和可参考性。
钢轨损伤与防治是一项复杂的系统工程，减少钢轨伤损、延长钢轨寿命、保证行车安全主要应注意以下几个方面：
(1) 保证城市轨道交通选用钢材的质量；
(2) 对于无缝线路，严格执行钢轨焊接标准，控制焊接质量，改善焊接工艺，以减少焊接对钢轨造成的伤损；
(3) 加强线路维修养护和科学管理，减少线路病害，延长钢轨使用寿命；
(4) 做好钢轨探伤检查工作，引进先进的检测探伤技术和设备，更新检测维修手段，提高职工的技术水平，完善探伤检查工作。
注：文章内的图表及公式请到PDF格式下查看