论文部分内容阅读
【摘要】<正>二次函数问题是初中数学竞赛中十分常见的一类问题.解这类问题时所用的专门知识并不多，但因综合性、灵活性强，有些题目的难度较大（如：含字母参数问题与最值问题）.本文拟通过二次函数问题的四种主要题型的解题研究，揭示二次函数问题的一般解题规律：从基础知识出发
关键词：二次函数、对称轴
【中图分类号】：G633.6
摘要二次函数是初中代数的一个重要知识点，在历年中考试题中起着举足轻重的作用。本文就二次函数中有关问题作一些解题探讨。
一、 通过图象确定系数的正负
的图象是抛物线。如果已知抛物线在直角坐标系中的位置，如何解决 等代数式的大小呢？
方法：
①开口方向由 来决定：开口向上， ；开口向下， 。
②对称轴由 决定：“左同右异”，即对称轴在 轴左侧，则 同号；对称轴在 轴右侧，则 异号。
③抛物线与 轴的交点由 决定：交点在 轴上方，则 ；交点在 轴下方，则 ；通过原点，则 。
④抛物线与 轴的交点个数由 来决定：当 时，则抛物线与 轴有两个交点；当 时，则抛物线与 轴无交点；当 时，则抛物线与 轴只有一个交点。
⑤当出现如求代数式 ， ， 的值。一般只需看 时 的值。
例题（1）
二次函数 的图象如图所示，则
解答：开口向下，则 ；对称轴在 轴左侧，“左同”，则 ；抛物线与 轴的交点在 轴下方，则 ；抛物线与 轴有两个交点，则 ；当 时， ，则 .
例题（2）
如图为 与 的图象，那一个是正确的？
AB
CD
解答：A中图象二次函数 ，一次函数 ，不成立；
B中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；
C中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；
D中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，成立.
二、 求二次函数解析式
二次函数解析式有三种表示方法，分别是一般式 ，顶点式 ，交点式 。我们要根据不同的已知条件尽可能选择较为简单的设法。
（1）已知条件中出现没有规律的三点坐标，通常用一般式来解决。
例题（3）
已知二次函数图象通过 ，求二次函數解析式.
解答：出现的三点没有规律，宜用一般式来求解析式。
设解析式为 .
，解得 ，
∴二次函数解析式为 .
（2）已知条件中出现顶点或最值、对称轴坐标，通常用顶点式来解决。
例题（4）
已知二次函数图象通过 ，且顶点为 ，求二次函数解析式.
解：设二次函数解析式为 ，过 .
则 ，∴ ，
∴ .
例题（5）
已知二次函数的对称轴为 ，且经过 ，求二次函数解析式.
解答：设二次函数解析式为 .
，解得 ，
∴ .
例题（6）
二次函数图象与 轴相交于 ，且经过（2，5），求解析式.
解答：设抛物线解析式为 ，经过（2，5）.
则 ，∴ ，
∴ ，
即 .
需要说明的是，一般式 是“万能钥匙”，是我们必须掌握的。求二次函数解析式均可通过一般式来解决，但（4）、（5）.（6）两种情况用顶点式，交点式则更为简便。
三、 二次函数综合题
二次函数综合题一般是指与几何、方程等相结合，体现知识点的整合，需要我们通过识图探索、归纳来解决，具有较高的要求。现举一例说明。
如图， 图象与 轴相交于A、C，与 轴相交于B，且 ， ，求 .
解题思路：关键在于 的应用。本题中隐含条件 ，则图中存在相似三角形，从而把 、 、 三点坐标之间关系紧密相连。
本题关键在于抓住 这个条件。学生也要注意 、 、 三点位置，从而才能得出 ，这样才能避免错误产生。
关键词：二次函数、对称轴
【中图分类号】：G633.6
摘要二次函数是初中代数的一个重要知识点，在历年中考试题中起着举足轻重的作用。本文就二次函数中有关问题作一些解题探讨。
一、 通过图象确定系数的正负
的图象是抛物线。如果已知抛物线在直角坐标系中的位置，如何解决 等代数式的大小呢？
方法：
①开口方向由 来决定：开口向上， ；开口向下， 。
②对称轴由 决定：“左同右异”，即对称轴在 轴左侧，则 同号；对称轴在 轴右侧，则 异号。
③抛物线与 轴的交点由 决定：交点在 轴上方，则 ；交点在 轴下方，则 ；通过原点，则 。
④抛物线与 轴的交点个数由 来决定：当 时，则抛物线与 轴有两个交点；当 时，则抛物线与 轴无交点；当 时，则抛物线与 轴只有一个交点。
⑤当出现如求代数式 ， ， 的值。一般只需看 时 的值。
例题（1）
二次函数 的图象如图所示，则
解答：开口向下，则 ；对称轴在 轴左侧，“左同”，则 ；抛物线与 轴的交点在 轴下方，则 ；抛物线与 轴有两个交点，则 ；当 时， ，则 .
例题（2）
如图为 与 的图象，那一个是正确的？
AB
CD
解答：A中图象二次函数 ，一次函数 ，不成立；
B中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；
C中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；
D中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，成立.
二、 求二次函数解析式
二次函数解析式有三种表示方法，分别是一般式 ，顶点式 ，交点式 。我们要根据不同的已知条件尽可能选择较为简单的设法。
（1）已知条件中出现没有规律的三点坐标，通常用一般式来解决。
例题（3）
已知二次函数图象通过 ，求二次函數解析式.
解答：出现的三点没有规律，宜用一般式来求解析式。
设解析式为 .
，解得 ，
∴二次函数解析式为 .
（2）已知条件中出现顶点或最值、对称轴坐标，通常用顶点式来解决。
例题（4）
已知二次函数图象通过 ，且顶点为 ，求二次函数解析式.
解：设二次函数解析式为 ，过 .
则 ，∴ ，
∴ .
例题（5）
已知二次函数的对称轴为 ，且经过 ，求二次函数解析式.
解答：设二次函数解析式为 .
，解得 ，
∴ .
例题（6）
二次函数图象与 轴相交于 ，且经过（2，5），求解析式.
解答：设抛物线解析式为 ，经过（2，5）.
则 ，∴ ，
∴ ，
即 .
需要说明的是，一般式 是“万能钥匙”，是我们必须掌握的。求二次函数解析式均可通过一般式来解决，但（4）、（5）.（6）两种情况用顶点式，交点式则更为简便。
三、 二次函数综合题
二次函数综合题一般是指与几何、方程等相结合，体现知识点的整合，需要我们通过识图探索、归纳来解决，具有较高的要求。现举一例说明。
如图， 图象与 轴相交于A、C，与 轴相交于B，且 ， ，求 .
解题思路：关键在于 的应用。本题中隐含条件 ，则图中存在相似三角形，从而把 、 、 三点坐标之间关系紧密相连。
本题关键在于抓住 这个条件。学生也要注意 、 、 三点位置，从而才能得出 ，这样才能避免错误产生。