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摘 要:由于物理与数学两门基础学科的相互渗透性和交叉性,本文论述了极值问题、正负号问题、数学图像等在力学、热学、电学中的应用,以启发利用有关的数学知识解决物理问题,培养运用数学工具解决物理问题的能力。
关键词:数学方法 正负号 物理量 图像
中图分类号:G712 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)07(b)-0108-01
在物理学中,物理量之间的关系,物理变化规律,除了用文字叙述外,还可以用方程、方程组、不等式、比例式、三角函数、三角方程以及相应的图像来描述。数学不仅可做为计算公式贯穿其中,广泛用于推导公式,表达关系,描述规律,而且它以本身的逻辑作用和抽象作用来辅助物理概念和物理规律的形成。掌握物理学中的数学方法,是学好物理的关键之一。本文仅就极值问题、正负号问题、数学图像等在力学、热学、电学中的应用做简单论述。
1 物理学中的正、负号
数学中的正与负反映了数的大小,但在物理学中正和负反映的物理意义大不相同。
(1)矢量中的正和负反映了方向。在同一直线上,一般先规定某方向为正方向,与其同向的矢量为正值,反之为负值。这样把矢量运算化为标量运算。例如,在直线运算中,若选初速度v0的方向为正方向,则加速度为负值时物体做减速运动。又如,在竖直上抛运动中,以抛点为原点,上方位移为正,下方位移则为负,向上的速度为正,向下的速度为负,这样就可把有往返的运动当做一直向上的运动处理。
例1:在离地10m高度以5m/s的速度向上抛出一物,不计阻力,问经几秒此物落地？
析解:以抛出点为原点,向上为正,所以v0=5m/s,a=10m/s2,代入位移式s= v0t+at2,有-10=5t-5t2,求出t=2s。
(2)正和负反映物体能量的增和减。当能量增加量为正值时,能量在增加;当能量增加量为负值时,说明能量在减少。例如,由动能定理可知:当合外力对物体做正功时,物体动能在增加,当合外力对物体做负功时,物体动能减少。
(3)在势能大小的表示中,正和负表示势能与标准点相比的大小。例如我们以桌面为势能的零点,那么桌面以上的各点势能均为正,而桌面以下的各处势能均为负,在这种情况下正和负表示大小。
(4)在光学中,正和负表示虚和实。凸透镜的焦距为正,凹透镜的焦距为负;实像的像距为正值,虚像的像距为负值。
(5)在功的概念中,借用数学中的正、负号表示功的性质,正号表示力对物体做功,负号表示物体克服阻力做功。
2 用数学方法定义物理量
物理量分为基本量和导出量两种,从定义形式来看,都可用数学形式来表示。大概可以用以下几种数学方法来定义。
(1)比值定义法:就是用几个物理量的“比值”定义一个新的物理量的方法。例如,反映物质属性或物质特征的密度(ρ=m/V),电场强度(E=F/q),运动速度(v=s/t),功率(P=W/t)等,都是用比值定义法定义的物理量。
(2)多因子乘积定义法:用几个物理量的乘积定义一个新的物理量的方法。其中相乘的几个物理量均为被定义物理量的决定因素。例如,功的定义W=FScosθ。
(3)公式变形定义法:即用已有的公式变形定义一个新的物理量的方法。例如,根据电阻定律(R=ρ),胡克定律(f=kx),摩擦定律(f=μN),自感电动势(ε=L),得到电阻率ρ,倔强系数k,摩擦系数μ,自感系数L。
(4)和差定义法:即用物理量的和差来定义一个新的物理量。例如,动能的增量ΔEK=EK2-EK1,动能的增量ΔP=P2-P1等。
(5)数学推导法:根据已知的概念和规律,借助于数学推导定义物理量。例如,动能、重力势能等物理量,都是借助数学推导定义的。
3 极值在物理学中的应用
在物理学中经常遇到极值和最值问题,有时用到一元二次方程的关系,有时则是三角函数的极值等。此类题的解题特点是:在物理机理的基础上,其解题关键要依赖数学手段和方法,借助于数学技能和技巧。
例2:把电量q0分配给两个相距为r的质点,使之成为两个带电体q1和q2,则当电量如何分配时,两个带电体之间的库仑力最大？
析解:两个带电体之间的库仑力为F=k。根据题意,q1+q2=q0为一定值,因此当q1=q2=时,q1和q2有最大值。所以电量平均分配给两个质点时,它们之间的库仑力最大,最大值Fmax=k。
4 图像在物理学中的应用
图像是物理学研究和学习的重要工具,利用图像可以直观地反映物理量之间相互依赖的关系,形象地表述物理规律。应用图像解题,常常使一些复杂的问题变得简单明了,对提高我们分析问题、解决问题的能力大有益处。
例3:气缸中理想气体的状态变化过程如图所示,通过对各阶段的变化分析可以得出气缸中气体在一个循环过程中对外所作的功为W=Q1-Q2(如图1）。
综上所述,在物理学中应用数学的求解方法是多种多样的,同一个物理过程可以用两种或两种以上的方法求解,关键在于把物理意义和数学方法巧妙地揉和为一体,才能收到较好的效果。由于事物的多样性、复杂性及物理与数学两门基础学科之间的相互渗透与交叉,故在学习中应注意利用有关的数学知识解决物理问题,以培养自己正确分析物理过程和运用数学工具解决物理问题的能力。
关键词:数学方法 正负号 物理量 图像
中图分类号:G712 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)07(b)-0108-01
在物理学中,物理量之间的关系,物理变化规律,除了用文字叙述外,还可以用方程、方程组、不等式、比例式、三角函数、三角方程以及相应的图像来描述。数学不仅可做为计算公式贯穿其中,广泛用于推导公式,表达关系,描述规律,而且它以本身的逻辑作用和抽象作用来辅助物理概念和物理规律的形成。掌握物理学中的数学方法,是学好物理的关键之一。本文仅就极值问题、正负号问题、数学图像等在力学、热学、电学中的应用做简单论述。
1 物理学中的正、负号
数学中的正与负反映了数的大小,但在物理学中正和负反映的物理意义大不相同。
(1)矢量中的正和负反映了方向。在同一直线上,一般先规定某方向为正方向,与其同向的矢量为正值,反之为负值。这样把矢量运算化为标量运算。例如,在直线运算中,若选初速度v0的方向为正方向,则加速度为负值时物体做减速运动。又如,在竖直上抛运动中,以抛点为原点,上方位移为正,下方位移则为负,向上的速度为正,向下的速度为负,这样就可把有往返的运动当做一直向上的运动处理。
例1:在离地10m高度以5m/s的速度向上抛出一物,不计阻力,问经几秒此物落地？
析解:以抛出点为原点,向上为正,所以v0=5m/s,a=10m/s2,代入位移式s= v0t+at2,有-10=5t-5t2,求出t=2s。
(2)正和负反映物体能量的增和减。当能量增加量为正值时,能量在增加;当能量增加量为负值时,说明能量在减少。例如,由动能定理可知:当合外力对物体做正功时,物体动能在增加,当合外力对物体做负功时,物体动能减少。
(3)在势能大小的表示中,正和负表示势能与标准点相比的大小。例如我们以桌面为势能的零点,那么桌面以上的各点势能均为正,而桌面以下的各处势能均为负,在这种情况下正和负表示大小。
(4)在光学中,正和负表示虚和实。凸透镜的焦距为正,凹透镜的焦距为负;实像的像距为正值,虚像的像距为负值。
(5)在功的概念中,借用数学中的正、负号表示功的性质,正号表示力对物体做功,负号表示物体克服阻力做功。
2 用数学方法定义物理量
物理量分为基本量和导出量两种,从定义形式来看,都可用数学形式来表示。大概可以用以下几种数学方法来定义。
(1)比值定义法:就是用几个物理量的“比值”定义一个新的物理量的方法。例如,反映物质属性或物质特征的密度(ρ=m/V),电场强度(E=F/q),运动速度(v=s/t),功率(P=W/t)等,都是用比值定义法定义的物理量。
(2)多因子乘积定义法:用几个物理量的乘积定义一个新的物理量的方法。其中相乘的几个物理量均为被定义物理量的决定因素。例如,功的定义W=FScosθ。
(3)公式变形定义法:即用已有的公式变形定义一个新的物理量的方法。例如,根据电阻定律(R=ρ),胡克定律(f=kx),摩擦定律(f=μN),自感电动势(ε=L),得到电阻率ρ,倔强系数k,摩擦系数μ,自感系数L。
(4)和差定义法:即用物理量的和差来定义一个新的物理量。例如,动能的增量ΔEK=EK2-EK1,动能的增量ΔP=P2-P1等。
(5)数学推导法:根据已知的概念和规律,借助于数学推导定义物理量。例如,动能、重力势能等物理量,都是借助数学推导定义的。
3 极值在物理学中的应用
在物理学中经常遇到极值和最值问题,有时用到一元二次方程的关系,有时则是三角函数的极值等。此类题的解题特点是:在物理机理的基础上,其解题关键要依赖数学手段和方法,借助于数学技能和技巧。
例2:把电量q0分配给两个相距为r的质点,使之成为两个带电体q1和q2,则当电量如何分配时,两个带电体之间的库仑力最大？
析解:两个带电体之间的库仑力为F=k。根据题意,q1+q2=q0为一定值,因此当q1=q2=时,q1和q2有最大值。所以电量平均分配给两个质点时,它们之间的库仑力最大,最大值Fmax=k。
4 图像在物理学中的应用
图像是物理学研究和学习的重要工具,利用图像可以直观地反映物理量之间相互依赖的关系,形象地表述物理规律。应用图像解题,常常使一些复杂的问题变得简单明了,对提高我们分析问题、解决问题的能力大有益处。
例3:气缸中理想气体的状态变化过程如图所示,通过对各阶段的变化分析可以得出气缸中气体在一个循环过程中对外所作的功为W=Q1-Q2(如图1）。
综上所述,在物理学中应用数学的求解方法是多种多样的,同一个物理过程可以用两种或两种以上的方法求解,关键在于把物理意义和数学方法巧妙地揉和为一体,才能收到较好的效果。由于事物的多样性、复杂性及物理与数学两门基础学科之间的相互渗透与交叉,故在学习中应注意利用有关的数学知识解决物理问题,以培养自己正确分析物理过程和运用数学工具解决物理问题的能力。