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摘 要：针对高中学生学习数学的一些现象，笔者从教师应该坚守课堂“阵地”这个角度切入，结合自身在教学中的一些做法，阐述了要把握好契机，全面催发出学生的知识生长、能力生长，乃至于数学学习情感的生长.
关键词：把握契机；教材例题；习题解法；学习评价；知识生长；能力生长；学习情感生长
[?] 问题的提出
学生学习数学中经常出现一些现象：上课听懂了，但自己做题的时候就错；简单的题目会模仿，稍微复杂点的就不知如何入手了；部分学生学习数学热情不高，数学成绩很糟糕，进而对数学很没信心甚至于畏惧.
学生是否主动学习，学习方法是否科学，有无构建良好的知识体系等都是原因，但还有一个更重要的原因来源于教师. 由于教师在对教材的整体把握上存在较大差异，而班级学生人数太多，教师有很多精力也被分散在批改作业、管理学生上等等，诸多因素导致教师没能深入钻研教材、仔细研究教法，一些课的教学设计也较粗犷. 课堂上很多能让学生知识生长、能力生长、数学情感生长的契机，由于教师的疏忽或者备课不充分，轻易“滑”过去了. 如果我们教师能把课堂这块“阵地”坚守好，用心做好学生学习的引导者、组织者、合作者，在课堂上催发出学生的知识、能力、学习情感的生长点，学生学习数学的热情将被积极调动起来，学好数学的信心也将得到大大的增强. 本文笔者结合自身的一些教学实践，简单谈谈自己的认识与理解.
[?] 实践
1. 用好教材例题，把握契机，增加例题的信息承载厚度，催发出知识的生长点
例1 （苏教版必修4 教材115页例3）如图1，三个相同的正方形相接，求证：α β=.
课本的解答：首先通过两角和的正切公式，计算出tan（α β）=1的值. 然后由α，β∈0
，，得到α β∈（0，π），从而得到α β=.
笔者在讲解完书上解答过程，强调了要计算α β∈（0，π），才能得到α β=. 然后提问：还可以怎么做？
学生（众）：通过计算sin（α β）或者cos（α β）的值，来求α β的大小.
教师：好的，大家动手试试.
5分钟后，学生基本算好了.
结果呈现：通过计算cos（α β）的学生，得到答案是α β=；而通过计算sin（α β）的学生，得到答案是α β=或. 为此，学生感到很困惑，甚至对后者的做法产生了质疑.
教师：那是不是可以缩小α β的取值范围呢？
点评：如此一来，在教师的引导下，学生至少多收获了两点：
（1）还可以通过计算sin（α β），cos（α β）的值，来求α β的大小.
（2）在某些情况下，必须给角的取值范围重新界定.
由于教师把握了例题教学中的契机，增加了例题的信息承载厚度，学生无需多练多少题，就能接受到了更多的知识，达到解一题、通一片、提高一步的目的. 在某种程度上说，提高了教学效率，也减轻了学生的负担.
2. 加强习题解法的探究，把握契机，引导学生构建良好的认知结构，催发出能力的生长点
例2 设a=（cos25°，sin25°），b=（sin20°，cos20°），若t是实数，且μ=a tb，求
教师投影展示了学生1的解题过程：
教师：在计算a tb时，也可以将a，b的坐标代入，得到μ=a tb的坐标（含参数t），再用坐标表示出
教师：很好. 说明大家很有函数思想啊. 那么还有其他解法吗？
这时看见有人举手，笔者示意他站起来说.
学生2：老师，是不是可以用数形结合方法来做？
（更多的学生表示出了明显的兴趣）
教师笑着问：其他同学看可以吗？
学生3：应该可以，因为向量是沟通“数”与“形”的“桥梁”，但怎么作图呢？
（学生思考中……）
教师：条件对应的图怎么作，所求的图又怎样作呢？
学生4自告奋勇上黑板，作图如下：
学生4：作=a，=b，其中∠xOA=25°，∠xOB=20°. （不好意思地笑了一下）不过原本我做错了，后来经下面的同学提醒，发现
相等，都为1，我修改了下.
（说明：原本学生4作的是图2，修改后的图即图3）
教师：大家觉得图还有问题吗？
学生5：向量b画错了，应该∠xOB=70°. 按学生4作的图，b的坐标应该是（cos20°，sin20°），而不是（sin20°，cos20°），而（sin20°，cos20°）即为（cos70°，sin70°）.
于是，教师把图3修改成了正确的图4.
这时，下面好多学生反应过来了，纷纷赞同.
教师：这个几何背景熟悉吗？角和坐标的关系？
学生6：我知道，几何背景是任意三角函数的定义式：
设P（x，y）是角α的终边上任意一点，则sinα=，cosα=（其中r=）.
当r=1，点P（x，y）即为角α的终边与单位圆的交点.
此时sinα=y，cosα=x，即x=cosα，y=sinα，
所以P（cosα，sinα）.
教师：很好，所以A、B分别为角25°、70°的终边与单位圆的交点，其坐标分别为（cos25°，sin25°）和（cos70°，sin70°），亦即，的坐标.
教师：本道题的几何背景是单位圆、向量及任意角的三角函数定义的综合，将它们结合起来考查分析问题、解决问题、综合运用知识的能力，是今后高考命题的方向. 所以，本道题研究几何方法，还是很有价值的. 另外，向量是沟通三角、几何、函数的工具，应好好感受. 教师：那么接下来呢？
μ
的最小值怎么求呢？
学生7（插话）：首先要把μ=a tb在图中作出来啊.
教师：那你试一试.
学生7上黑板画好，解释：作=t，以，为邻边作平行四边形，则对角线即为μ=a tb.
学生8：他作的是t>0时的μ，但t还可以小于0或者等于0. 作=t，以，为邻边作平行四边形，则对角线即为t<0时的μ. 另外，当t=0时的μ=a，此时
教师：我们把关键部分图象抽出来，如图6. 观察哪些是定量，哪些是变量.
几分钟后，学生9举手发言.
学生9：向量已知，大小未知，但方向与平行，随着变化而变化.还有∠BOA=70°-25°=45°.
教师：也就是说点B、C为动点，但动中有定吗？
学生10：动点C在与平行的过点O的直线l上.
教师：能观察出
点评：教师要鼓励学生善于观察比较、抽象概括、大胆猜想、勇于实践，引导学生自主构建良好的知识体系，强化学生的数学应用意识，引导学生换个角度来思考问题，把问题的面想得更宽广些，方法的触角伸得更远些，催发出数学能力的生长.
3. 重视学生学习过程评价，把握契机，催发学生学习情感的生长点
.
笔者刚刚讲解完，下面有一个学生举手，以下是他的解题过程：
，则以a，b为邻边作平行四边形为正方形，所以和向量a b所在的直线为对角线. 经分析，所求的c即为与a b平行的单位向量.
刚展示完，下面爆发了雷鸣般的掌声，大家很振奋……
教师：非常好！因为要求的单位向量在a，b夹角的角平分线或其方向延长线上，他发现以a，b为邻边的平行四边形为正方形，a，b夹角的角平分线即为和向量a b所在的直线，充分利用了向量的几何意义，由此得到很巧妙的方法，大大减少了计算量. 我们要像他学习，善于观察、比较、发现，多角度、多层次的分析问题，寻求多种解题思路.
事后表明，该学生对数学的兴趣更浓，在后面的学习中表现更突出，在随后的一次阶段性考试中，一跃从班上30几名进入前10名.
点评：美国著名数学史学家M·克莱因（M.Klein）一针见血地指出：“数学教育的最大缺陷之一正是缺乏情感的投入.” 因此，现代数学教学方法特别重视情感的投入. 教师若能在课堂上把握契机，重视对学生学习过程中的评价，赏识学生，让学生在轻松愉快的情境中学习，定能催发出学习情感的生长点.
[?] 几点反思
1. 充分挖掘教材的功能
新课程改革有一个很明显的特点就是改“教教材”为“用教材教”. 然而，有些教师显然是对教材中的例、习题的功能认识不足或者重视不够，他们不太爱用教材，平日热衷于题海战术，学生学习负担很重，而且效果也不是很理想.殊不知教材本身就是个宝藏，课本中的例、习题是专家严格筛选配置的，里面蕴含了丰富的数学思想、方法，具有很高的学习研究价值.
教师应在充分理解教材编写者意图的基础上，对教材进行深入理解、挖掘，并进行加工；加工成可操作或可探究的问题，引导学生在解决问题的过程中进行资料收集、实验观察、猜想证明、类比推理，获取新知识，并能将知识按照内部联系进行有效整合，顺应到自己的认知结构中，知识联系更全面、解题能力更突出，从而促进数学素质的延伸与开发.
2. 做好习题教学中的选题工作
本文中例2的最大特点就是“切口小，视角新”. “切口小”体现在该题就是一道求可变向量模的最小值的题目，方法一强化了函数的思想. “视角新”主要体现在方法二（数形结合方法）的几何背景的建构，对于学生来说很新颖. 教师引导学生换个新的角度解决问题，将知识前后串联起来，构建出学生知识、能力的生长点. “切口小，视角新”的设计理念，符合华罗庚教授提出的“从另外一个角度进行复习”的经验，既能对原有知识内容进一步梳理和强化，又能在教师引导下进行“再创造”，带着学生螺旋上升，促使学生从多角度思考问题生发出更多的认知，优化自己的解题思路，促进学生良好的知识结构的自我构建.
总之，教师应该坚守好课堂“阵地”，做个善于研究、勇于创新的教育实践者：加强对教材、大纲的研究，充分挖掘教材的功能；重视过程教学，引导学生自主构建良好的知识体系；重视学习过程评价，关注学生的学习情感；全面催发出学生的知识、能力、学习情感的生长点，让更多的学生得到更好的发展.
关键词：把握契机；教材例题；习题解法；学习评价；知识生长；能力生长；学习情感生长
[?] 问题的提出
学生学习数学中经常出现一些现象：上课听懂了，但自己做题的时候就错；简单的题目会模仿，稍微复杂点的就不知如何入手了；部分学生学习数学热情不高，数学成绩很糟糕，进而对数学很没信心甚至于畏惧.
学生是否主动学习，学习方法是否科学，有无构建良好的知识体系等都是原因，但还有一个更重要的原因来源于教师. 由于教师在对教材的整体把握上存在较大差异，而班级学生人数太多，教师有很多精力也被分散在批改作业、管理学生上等等，诸多因素导致教师没能深入钻研教材、仔细研究教法，一些课的教学设计也较粗犷. 课堂上很多能让学生知识生长、能力生长、数学情感生长的契机，由于教师的疏忽或者备课不充分，轻易“滑”过去了. 如果我们教师能把课堂这块“阵地”坚守好，用心做好学生学习的引导者、组织者、合作者，在课堂上催发出学生的知识、能力、学习情感的生长点，学生学习数学的热情将被积极调动起来，学好数学的信心也将得到大大的增强. 本文笔者结合自身的一些教学实践，简单谈谈自己的认识与理解.
[?] 实践
1. 用好教材例题，把握契机，增加例题的信息承载厚度，催发出知识的生长点
例1 （苏教版必修4 教材115页例3）如图1，三个相同的正方形相接，求证：α β=.
课本的解答：首先通过两角和的正切公式，计算出tan（α β）=1的值. 然后由α，β∈0
，，得到α β∈（0，π），从而得到α β=.
笔者在讲解完书上解答过程，强调了要计算α β∈（0，π），才能得到α β=. 然后提问：还可以怎么做？
学生（众）：通过计算sin（α β）或者cos（α β）的值，来求α β的大小.
教师：好的，大家动手试试.
5分钟后，学生基本算好了.
结果呈现：通过计算cos（α β）的学生，得到答案是α β=；而通过计算sin（α β）的学生，得到答案是α β=或. 为此，学生感到很困惑，甚至对后者的做法产生了质疑.
教师：那是不是可以缩小α β的取值范围呢？
点评：如此一来，在教师的引导下，学生至少多收获了两点：
（1）还可以通过计算sin（α β），cos（α β）的值，来求α β的大小.
（2）在某些情况下，必须给角的取值范围重新界定.
由于教师把握了例题教学中的契机，增加了例题的信息承载厚度，学生无需多练多少题，就能接受到了更多的知识，达到解一题、通一片、提高一步的目的. 在某种程度上说，提高了教学效率，也减轻了学生的负担.
2. 加强习题解法的探究，把握契机，引导学生构建良好的认知结构，催发出能力的生长点
例2 设a=（cos25°，sin25°），b=（sin20°，cos20°），若t是实数，且μ=a tb，求
教师投影展示了学生1的解题过程：
教师：在计算a tb时，也可以将a，b的坐标代入，得到μ=a tb的坐标（含参数t），再用坐标表示出
教师：很好. 说明大家很有函数思想啊. 那么还有其他解法吗？
这时看见有人举手，笔者示意他站起来说.
学生2：老师，是不是可以用数形结合方法来做？
（更多的学生表示出了明显的兴趣）
教师笑着问：其他同学看可以吗？
学生3：应该可以，因为向量是沟通“数”与“形”的“桥梁”，但怎么作图呢？
（学生思考中……）
教师：条件对应的图怎么作，所求的图又怎样作呢？
学生4自告奋勇上黑板，作图如下：
学生4：作=a，=b，其中∠xOA=25°，∠xOB=20°. （不好意思地笑了一下）不过原本我做错了，后来经下面的同学提醒，发现
相等，都为1，我修改了下.
（说明：原本学生4作的是图2，修改后的图即图3）
教师：大家觉得图还有问题吗？
学生5：向量b画错了，应该∠xOB=70°. 按学生4作的图，b的坐标应该是（cos20°，sin20°），而不是（sin20°，cos20°），而（sin20°，cos20°）即为（cos70°，sin70°）.
于是，教师把图3修改成了正确的图4.
这时，下面好多学生反应过来了，纷纷赞同.
教师：这个几何背景熟悉吗？角和坐标的关系？
学生6：我知道，几何背景是任意三角函数的定义式：
设P（x，y）是角α的终边上任意一点，则sinα=，cosα=（其中r=）.
当r=1，点P（x，y）即为角α的终边与单位圆的交点.
此时sinα=y，cosα=x，即x=cosα，y=sinα，
所以P（cosα，sinα）.
教师：很好，所以A、B分别为角25°、70°的终边与单位圆的交点，其坐标分别为（cos25°，sin25°）和（cos70°，sin70°），亦即，的坐标.
教师：本道题的几何背景是单位圆、向量及任意角的三角函数定义的综合，将它们结合起来考查分析问题、解决问题、综合运用知识的能力，是今后高考命题的方向. 所以，本道题研究几何方法，还是很有价值的. 另外，向量是沟通三角、几何、函数的工具，应好好感受. 教师：那么接下来呢？
μ
的最小值怎么求呢？
学生7（插话）：首先要把μ=a tb在图中作出来啊.
教师：那你试一试.
学生7上黑板画好，解释：作=t，以，为邻边作平行四边形，则对角线即为μ=a tb.
学生8：他作的是t>0时的μ，但t还可以小于0或者等于0. 作=t，以，为邻边作平行四边形，则对角线即为t<0时的μ. 另外，当t=0时的μ=a，此时
教师：我们把关键部分图象抽出来，如图6. 观察哪些是定量，哪些是变量.
几分钟后，学生9举手发言.
学生9：向量已知，大小未知，但方向与平行，随着变化而变化.还有∠BOA=70°-25°=45°.
教师：也就是说点B、C为动点，但动中有定吗？
学生10：动点C在与平行的过点O的直线l上.
教师：能观察出
点评：教师要鼓励学生善于观察比较、抽象概括、大胆猜想、勇于实践，引导学生自主构建良好的知识体系，强化学生的数学应用意识，引导学生换个角度来思考问题，把问题的面想得更宽广些，方法的触角伸得更远些，催发出数学能力的生长.
3. 重视学生学习过程评价，把握契机，催发学生学习情感的生长点
.
笔者刚刚讲解完，下面有一个学生举手，以下是他的解题过程：
，则以a，b为邻边作平行四边形为正方形，所以和向量a b所在的直线为对角线. 经分析，所求的c即为与a b平行的单位向量.
刚展示完，下面爆发了雷鸣般的掌声，大家很振奋……
教师：非常好！因为要求的单位向量在a，b夹角的角平分线或其方向延长线上，他发现以a，b为邻边的平行四边形为正方形，a，b夹角的角平分线即为和向量a b所在的直线，充分利用了向量的几何意义，由此得到很巧妙的方法，大大减少了计算量. 我们要像他学习，善于观察、比较、发现，多角度、多层次的分析问题，寻求多种解题思路.
事后表明，该学生对数学的兴趣更浓，在后面的学习中表现更突出，在随后的一次阶段性考试中，一跃从班上30几名进入前10名.
点评：美国著名数学史学家M·克莱因（M.Klein）一针见血地指出：“数学教育的最大缺陷之一正是缺乏情感的投入.” 因此，现代数学教学方法特别重视情感的投入. 教师若能在课堂上把握契机，重视对学生学习过程中的评价，赏识学生，让学生在轻松愉快的情境中学习，定能催发出学习情感的生长点.
[?] 几点反思
1. 充分挖掘教材的功能
新课程改革有一个很明显的特点就是改“教教材”为“用教材教”. 然而，有些教师显然是对教材中的例、习题的功能认识不足或者重视不够，他们不太爱用教材，平日热衷于题海战术，学生学习负担很重，而且效果也不是很理想.殊不知教材本身就是个宝藏，课本中的例、习题是专家严格筛选配置的，里面蕴含了丰富的数学思想、方法，具有很高的学习研究价值.
教师应在充分理解教材编写者意图的基础上，对教材进行深入理解、挖掘，并进行加工；加工成可操作或可探究的问题，引导学生在解决问题的过程中进行资料收集、实验观察、猜想证明、类比推理，获取新知识，并能将知识按照内部联系进行有效整合，顺应到自己的认知结构中，知识联系更全面、解题能力更突出，从而促进数学素质的延伸与开发.
2. 做好习题教学中的选题工作
本文中例2的最大特点就是“切口小，视角新”. “切口小”体现在该题就是一道求可变向量模的最小值的题目，方法一强化了函数的思想. “视角新”主要体现在方法二（数形结合方法）的几何背景的建构，对于学生来说很新颖. 教师引导学生换个新的角度解决问题，将知识前后串联起来，构建出学生知识、能力的生长点. “切口小，视角新”的设计理念，符合华罗庚教授提出的“从另外一个角度进行复习”的经验，既能对原有知识内容进一步梳理和强化，又能在教师引导下进行“再创造”，带着学生螺旋上升，促使学生从多角度思考问题生发出更多的认知，优化自己的解题思路，促进学生良好的知识结构的自我构建.
总之，教师应该坚守好课堂“阵地”，做个善于研究、勇于创新的教育实践者：加强对教材、大纲的研究，充分挖掘教材的功能；重视过程教学，引导学生自主构建良好的知识体系；重视学习过程评价，关注学生的学习情感；全面催发出学生的知识、能力、学习情感的生长点，让更多的学生得到更好的发展.