拓宽思维，巧求通项

• 作 者: 徐安华
• 出 处: 考试周刊
• 发表日期: 2008年47期
• 关键词: 等比数列 通项公式 直观 运动 性质 基础 方法

　　数列的项体现了数列的性质，项是研究数列的基础，通项公式是项的一种重要的表现形式，有了通项公式就可直观、运动地研究数列。下面介绍几种求非等差、等比数列通项的方法。
　　方案一：构造差比，巧用定义
　　例1.数列{a }中，a =1，a =2a +3，求a 。
　　分析：由递推关系式知
　　a +3=2（a +3）
　　又a +3=4≠0
　　∴{a +3}是以a +3=4为首项，公比为2的等比数列
　　即a +3=（a +3）•2
　　∴a =2 -3
　　再如，数列{a }中a =1，a =2a +2 ，求a 。
　　分析：此题可化为 = +2，则{ }是以 为首项，公差为2的等差数列。
　　方案二：创造条件，叠加叠乘
　　例2.在正数{a }中，a =1，（n+1）a-na+a a =0，求a 。
　　分析：由题知［（n+1）a -na ）］（a +a ）=0
　　又a ＞0
　　∴ =
　　 = 　　　　（1）
　　 = 　　　　（2）
　　……
　　 = 　　　　（n-1）
　　（1）×（2）×...×（n-1）得 =
　　又a =1
　　∴a =
　　再如：数列a 中，满足a =1，a =a +2 ，求a 。
　　分析：此题可通过叠加的形式实现。
　　方案三：待定系数，回归定义
　　例3.在数列{a }中，a =1，a =2a +1+3n+3 ，求a 。
　　分析：由题设a +a+b（n+1）+c•3 =2（a +a+bn+c•3 ）
　　则a =2a +a-b+bn-c•3
　　∴a-b=1b=3-c=1
　　∴a=4b=3c=-1
　　即a +4+3（n+1）-3 =2（a +4+3n-3 ）
　　又a +4+3-3=5≠0
　　∴{a +4+3n-3 }是以5为首项，公比为2的等比数列
　　∴a +4+3n-3 =5×2
　　∴a =5•2 +3 -3n-4
　　方案四：运用公式里，注意条件
　　例4.在数列{a }中，a =1，，a = S ，求a 。
　　分析：当n=1时，a = ，S =
　　当n≥2时a = S
　　∴a -a = a
　　∴ = ☆
　　注：☆成立条件为n≥2
　　∴a =a •（ ） = ×（ ）
　　综上，a =1n=1 ×（ ）n≥2
　　方案五：巧用关系，递推迭代
　　例5.数列{a }中满足a -（α+β）a +αβa =0，α≠β≠0，且a =a =1，求a 。
　　分析：由题知
　　①a -αa =β（a -αa ）=β （a -a -3）=…=β （a -αa ）=（1-α）β
　　②a -βa =α（a -βa ）=α （a -a -3）=…=α （a -βa ）=（1-β）α
　　①×β-②×α得：
　　α =
　　方案六：类比结构，类比结论
　　例6.在数列{a }中，a =2，a = ，则a =　　　 　　。
　　分析：类比函数f（x）=tan（x+ ）= ，而f（x）周期π是 的4倍。
　　猜测：a 是周期为4的周期数列。
　　证明：a = = =-
　　∴a =- =a
　　∴a =a =2
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”