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与平几有关的最值问题是中考题和数学竞赛题中的常见题型.此类问题涉及的知识面广、综合性强，解法颇具技巧性.本文结合近几年的中考题和竞赛题介绍几种常用解法，供参考.
一、利用图形的变换
例1 （2006年河南中考题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.
解析：如图2，以AB所在的直线将△ABC翻折得△ABF.
又因为AC=BC，∠ACB=90°，
所以四边形ACBF是正方形.
连结DF交AB于E′，连结CE′.
因为点C、点F关于AB对称，
所以CE′=FE′.
又因为两点之间线段最短，所以线段FD的长即为EC+ED的最小值.
此时，FD=BD2+BF2
=12+22=5.
评注：此类问题的解法是利用图形的轴对称变换，把两条线段和的问题转化为求某一条线段的长度问题，从而使问题获解.
二、利用图形中的不变量
例2 （2001年山东省初中数学竞赛题）如图3，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的长度的最小值是（ ）
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 5（5-1）
解析：如图4，过C作CE⊥AP于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G.
显然DG=EF=12AB=5，CD≥DG.当P为AB中点时，有CD=DG=5，所以CD长度的最小值为5，故选（B）.
评注：本题利用了图形中的不变量DG=EF=12AB=5，又因CD≥DG，于是问题获解.
三、利用基本不等式
例3 （2002年天津中考题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（ ）
（A） 21 （B） 25 （C） 26 （D） 36
解析：如图5，设S△AOD=x，S△BOC=y，则
S=13+x+y.
由同高的两个三角形面积之比等于对应底边之比，得
S△AOD∶S△AOB=S△COD∶S△BOC，
所以 x∶4=9∶y，
所以 xy=36，
所以 S=x+y+13
≥2xy+13
=25.
所以S的最小值为25，故选（B）.
评注：此类问题通过挖掘题中的隐含条件，利用 a+b≥2ab（a≥0，b≥0）这个基本不等式，求出其最小值.
四、利用根的判别式
例4 （2000年山东省初中数学竞赛题）已知矩形A的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于 k，求 k 的最小值.
解析：设矩形B的边长分别为 x、y，据题意得：
x+y=k（a+b），xy=kab.
所以 x、y 可看作一元二次方程 m2-k（a+b）m+kab=0的两个实数根.
则Δ=k2（a+b）2-4kab≥0.
因为 k＞0，
所以 k（a+b）2-4ab≥0，
所以 k≥4ab（a+b）2.
又因为 k（a+b）＞0，kab＞0，
所以 x＞0，y＞0，
所以 k 的最小值为4ab（a+b）2.
评注：解决此类题的一般思路是，由题设找出图形中两线段之和与积的关系，构造出一元二次方程，再结合判别式求出最值.
五、利用函数性质
例5 （2007年南充市中考题）如图6，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动.
（1）设ND的长为 x，用 x 表示出点N到AB的距离，并写出 x 的取值范围；
（2）当五边形BCDNM的面积最小时，请判断△AMN的形状.
解：（1）如图7，过点N作NP⊥BA，交BA的延长线于P.
由已知得：
AM=ND=x，AN=20-x.
因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠C=30°，
所以∠D=∠C，∠PAN=∠D，
所以∠PAN=30°.
在Rt△APN中，PN=12（20-x）.
即点N到AB的距离为12（20-x）.
因为点N在AD上，AD=20，
所以0≤x≤20.
又点M在AB上，AD=15，
所以0≤x≤15，
所以 x 的取值范围是0≤x≤15.
（2）据（1）得：S△AMN=12AM·NP
=14x（20-x）
=-14x2+5x.
所以当 x=-52×（-14）=10时，
S△AMN有最大值.
又因为S五边形BCDNM=S梯形ABCD-S△AMN，且S梯形ABCD为定值.
所以当 x=10时，S五边形BCDNM有最小值.
当 x=10时，有ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN.
所以当五边形BCDNM的面积最小时，△AMN为等腰三角形.
评注：由上例可看出，此类问题的一般解法是，建立几何量之间的函数关系，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题，充分体现了转化的数学思想.
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、利用图形的变换
例1 （2006年河南中考题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.
解析：如图2，以AB所在的直线将△ABC翻折得△ABF.
又因为AC=BC，∠ACB=90°，
所以四边形ACBF是正方形.
连结DF交AB于E′，连结CE′.
因为点C、点F关于AB对称，
所以CE′=FE′.
又因为两点之间线段最短，所以线段FD的长即为EC+ED的最小值.
此时，FD=BD2+BF2
=12+22=5.
评注：此类问题的解法是利用图形的轴对称变换，把两条线段和的问题转化为求某一条线段的长度问题，从而使问题获解.
二、利用图形中的不变量
例2 （2001年山东省初中数学竞赛题）如图3，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的长度的最小值是（ ）
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 5（5-1）
解析：如图4，过C作CE⊥AP于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G.
显然DG=EF=12AB=5，CD≥DG.当P为AB中点时，有CD=DG=5，所以CD长度的最小值为5，故选（B）.
评注：本题利用了图形中的不变量DG=EF=12AB=5，又因CD≥DG，于是问题获解.
三、利用基本不等式
例3 （2002年天津中考题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（ ）
（A） 21 （B） 25 （C） 26 （D） 36
解析：如图5，设S△AOD=x，S△BOC=y，则
S=13+x+y.
由同高的两个三角形面积之比等于对应底边之比，得
S△AOD∶S△AOB=S△COD∶S△BOC，
所以 x∶4=9∶y，
所以 xy=36，
所以 S=x+y+13
≥2xy+13
=25.
所以S的最小值为25，故选（B）.
评注：此类问题通过挖掘题中的隐含条件，利用 a+b≥2ab（a≥0，b≥0）这个基本不等式，求出其最小值.
四、利用根的判别式
例4 （2000年山东省初中数学竞赛题）已知矩形A的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于 k，求 k 的最小值.
解析：设矩形B的边长分别为 x、y，据题意得：
x+y=k（a+b），xy=kab.
所以 x、y 可看作一元二次方程 m2-k（a+b）m+kab=0的两个实数根.
则Δ=k2（a+b）2-4kab≥0.
因为 k＞0，
所以 k（a+b）2-4ab≥0，
所以 k≥4ab（a+b）2.
又因为 k（a+b）＞0，kab＞0，
所以 x＞0，y＞0，
所以 k 的最小值为4ab（a+b）2.
评注：解决此类题的一般思路是，由题设找出图形中两线段之和与积的关系，构造出一元二次方程，再结合判别式求出最值.
五、利用函数性质
例5 （2007年南充市中考题）如图6，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动.
（1）设ND的长为 x，用 x 表示出点N到AB的距离，并写出 x 的取值范围；
（2）当五边形BCDNM的面积最小时，请判断△AMN的形状.
解：（1）如图7，过点N作NP⊥BA，交BA的延长线于P.
由已知得：
AM=ND=x，AN=20-x.
因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠C=30°，
所以∠D=∠C，∠PAN=∠D，
所以∠PAN=30°.
在Rt△APN中，PN=12（20-x）.
即点N到AB的距离为12（20-x）.
因为点N在AD上，AD=20，
所以0≤x≤20.
又点M在AB上，AD=15，
所以0≤x≤15，
所以 x 的取值范围是0≤x≤15.
（2）据（1）得：S△AMN=12AM·NP
=14x（20-x）
=-14x2+5x.
所以当 x=-52×（-14）=10时，
S△AMN有最大值.
又因为S五边形BCDNM=S梯形ABCD-S△AMN，且S梯形ABCD为定值.
所以当 x=10时，S五边形BCDNM有最小值.
当 x=10时，有ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN.
所以当五边形BCDNM的面积最小时，△AMN为等腰三角形.
评注：由上例可看出，此类问题的一般解法是，建立几何量之间的函数关系，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题，充分体现了转化的数学思想.
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文