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摘 要：在数学教学过程中，教师应激发学生自由思考，鼓励学生自信表达，让学生淋漓尽致地展现智慧和激情；教师应该用心去聆听，触摸教学，透视课堂，捕捉学生“意外”的思维和解法，让学生有更多的探索时间和空间，让“意外”生成更多的教学价值。
关键词：课堂“意外”；生成性；本质
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-071-2
课堂是一个动态的发展过程，具有生成性和不可预测性。无论课前预设怎么充分，课堂中难免会出现各种“意外”。但对待“意外”的发生，有的教师却因课堂时间仓促为借口放弃深入探究。殊不知，这些“意外”的产生正是学生独立思考后灵感的萌发，瞬间的创造。因此，对待这些“意外”，我们应该耐心聆听，进而灵活运用，激发学生数学学习激情，让“意外”演绎出独特的价值，提升学生创新思维能力，促进学生对知识本质的理解。笔者在苏科版七（下）《数学》第一章75节“多边形内角和和外角和”教学时，曾与学生共同面对一次课堂中的“意外”生成，现将具体过程阐述如下。
一、问题及其说明
问题：如图1，n边形可以分成多少个三角形？它的内角和是多少度？填表：
说明：学生在探究出“三角形内角和是180°”的基础上，进一步探究了四边形、五边形的内角和，学生已经掌握把多边形转化成三角形的方法，按照规律已能得出n边形内角和。教材为提高学生思维的灵活性、创新性，给出了另外两种计算方法。如图2，图3。（学生独立思考，再合作交流之后，展示学生的计算方法）
学生1：如图2（用实物投影仪展示）。
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An内时，连接A1P，A2P，…，AnP，共分成n个三角形，由于多计算了以点P为顶点的周角，所以多边形内角和应该是180°n-360°，可化为（n-2）·180°，结论相同。
学生2：如图3（用实物投影仪展示）。
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An的边A2A3上时，连接A1P，A4P，…，AnP，共分成（n-1）个三角形，由于多计算了以点P为顶点的平角，所以多边形内角和应该是180°（n-1）-180°，可化为（n-2）·180°，结论仍然相同。
接下来，师生共同分析学生1和学生2的思路，并结合原来的思路，共同概括出两种方案的本质是把多边形转化成三角形内角和问题，但区别在于所有分成的三角形的公共顶点的位置不同。
二、学生的“意外”生成
教师：结合以上思路，你还有别的方法吗？（教师试探性追问）
学生3：如图4（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外时，连接A1P，A2P，…，AnP，共分成（n-1）个三角形，由于多计算了△PA2A3的内角和，所以多边形内角和应该是180°（n-1）-180°，可化为（n-2）·180°，结论仍然相同。
（其他学生们都很佩服学生3，开始主动思考其它方法）
学生4：如图5（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外且在边A1A2的延长线上时，连接A3P，A4P，…，AnP，共分成（n-2）个三角形。此时，少计算多边形内角∠A1A2A3，同时多计算∠A2A3P和∠A2PA3，由三角形外角和得：∠A1A2A3=∠A3A2P ∠A2PA3，所以仍得多边形内角和为（n-2）·180°。
（学生争先恐后发言，课堂气氛异常活跃）
学生5：如图6（用实物投影仪展示）
当点P点在n边形A1A2A3…An外且在边A3A4延长线的交点，同理图5，易得多边形内角和为（n-2）·180°。
（陷入冷静思考中）
学生6：如图7（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外且是边A1A2、A1A2的延长线交点时，连接A2P，A3P，A5P，…，AnP，共分成（n-3）个三角形。此时，少计算多边形内角∠A1A2A3和∠A2A3A4，多计算∠A2PA3，由三角形外角和易得：∠A1A2A3 ∠A2A3A4=∠A2PA3 180°，所以仍得多边形内角和为（n-2）·180°。
学生7：图8、图9、图10、图11、图12都同理图7，易得多边形内角和为（n-2）·180°。
（此时，班级掌声雷动，学生激情高涨）
教师：二十世纪英国哲学家、数理逻辑学家伯特兰·罗素说：在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。经过大家不懈的努力，找到了更多的新方法，掌声是送给我们每个人。
三、教学启示
一道原本平淡的课本结论的证明，却引发了一次激情高涨，卓有成效的课堂研讨，的确让笔者感到“意外”。教学过程中，笔者没有花大量时间让学生对练习题进行机械重复的训练，而是注重知识的发生、形成和发展过程，让学生做到“知其然，知其所以然”，促进学生对知识本质的探究和理解，发挥教师的主导和学生的主体作用，笔者在教学过程中尽可能激发学生自由思考，鼓励学生自信表达，让学生淋漓尽致地展现了智慧和激情，也为他们今后进行创新思维活动注入了良好的情感体验。高效而精彩的课堂，在于教师能否唤起学生强烈的求知欲望，点燃学生思维的火花。总之，教师应该用心去聆听，触摸教学，透视课堂，捕捉学生“意外”的思维和解法，有效利用生成资源，灵活重组教学思路，让学生有更多的探索时间和空间，让“意外”生成更多的教学价值。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教学教学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]陳方勇.一道作图题引发的意外[J].中学数学参考，2016（12）.
关键词：课堂“意外”；生成性；本质
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-071-2
课堂是一个动态的发展过程，具有生成性和不可预测性。无论课前预设怎么充分，课堂中难免会出现各种“意外”。但对待“意外”的发生，有的教师却因课堂时间仓促为借口放弃深入探究。殊不知，这些“意外”的产生正是学生独立思考后灵感的萌发，瞬间的创造。因此，对待这些“意外”，我们应该耐心聆听，进而灵活运用，激发学生数学学习激情，让“意外”演绎出独特的价值，提升学生创新思维能力，促进学生对知识本质的理解。笔者在苏科版七（下）《数学》第一章75节“多边形内角和和外角和”教学时，曾与学生共同面对一次课堂中的“意外”生成，现将具体过程阐述如下。
一、问题及其说明
问题：如图1，n边形可以分成多少个三角形？它的内角和是多少度？填表：
说明：学生在探究出“三角形内角和是180°”的基础上，进一步探究了四边形、五边形的内角和，学生已经掌握把多边形转化成三角形的方法，按照规律已能得出n边形内角和。教材为提高学生思维的灵活性、创新性，给出了另外两种计算方法。如图2，图3。（学生独立思考，再合作交流之后，展示学生的计算方法）
学生1：如图2（用实物投影仪展示）。
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An内时，连接A1P，A2P，…，AnP，共分成n个三角形，由于多计算了以点P为顶点的周角，所以多边形内角和应该是180°n-360°，可化为（n-2）·180°，结论相同。
学生2：如图3（用实物投影仪展示）。
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An的边A2A3上时，连接A1P，A4P，…，AnP，共分成（n-1）个三角形，由于多计算了以点P为顶点的平角，所以多边形内角和应该是180°（n-1）-180°，可化为（n-2）·180°，结论仍然相同。
接下来，师生共同分析学生1和学生2的思路，并结合原来的思路，共同概括出两种方案的本质是把多边形转化成三角形内角和问题，但区别在于所有分成的三角形的公共顶点的位置不同。
二、学生的“意外”生成
教师：结合以上思路，你还有别的方法吗？（教师试探性追问）
学生3：如图4（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外时，连接A1P，A2P，…，AnP，共分成（n-1）个三角形，由于多计算了△PA2A3的内角和，所以多边形内角和应该是180°（n-1）-180°，可化为（n-2）·180°，结论仍然相同。
（其他学生们都很佩服学生3，开始主动思考其它方法）
学生4：如图5（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外且在边A1A2的延长线上时，连接A3P，A4P，…，AnP，共分成（n-2）个三角形。此时，少计算多边形内角∠A1A2A3，同时多计算∠A2A3P和∠A2PA3，由三角形外角和得：∠A1A2A3=∠A3A2P ∠A2PA3，所以仍得多边形内角和为（n-2）·180°。
（学生争先恐后发言，课堂气氛异常活跃）
学生5：如图6（用实物投影仪展示）
当点P点在n边形A1A2A3…An外且在边A3A4延长线的交点，同理图5，易得多边形内角和为（n-2）·180°。
（陷入冷静思考中）
学生6：如图7（用实物投影仪展示）
当公共顶点P点在n边形A1A2A3…An外且是边A1A2、A1A2的延长线交点时，连接A2P，A3P，A5P，…，AnP，共分成（n-3）个三角形。此时，少计算多边形内角∠A1A2A3和∠A2A3A4，多计算∠A2PA3，由三角形外角和易得：∠A1A2A3 ∠A2A3A4=∠A2PA3 180°，所以仍得多边形内角和为（n-2）·180°。
学生7：图8、图9、图10、图11、图12都同理图7，易得多边形内角和为（n-2）·180°。
（此时，班级掌声雷动，学生激情高涨）
教师：二十世纪英国哲学家、数理逻辑学家伯特兰·罗素说：在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。经过大家不懈的努力，找到了更多的新方法，掌声是送给我们每个人。
三、教学启示
一道原本平淡的课本结论的证明，却引发了一次激情高涨，卓有成效的课堂研讨，的确让笔者感到“意外”。教学过程中，笔者没有花大量时间让学生对练习题进行机械重复的训练，而是注重知识的发生、形成和发展过程，让学生做到“知其然，知其所以然”，促进学生对知识本质的探究和理解，发挥教师的主导和学生的主体作用，笔者在教学过程中尽可能激发学生自由思考，鼓励学生自信表达，让学生淋漓尽致地展现了智慧和激情，也为他们今后进行创新思维活动注入了良好的情感体验。高效而精彩的课堂，在于教师能否唤起学生强烈的求知欲望，点燃学生思维的火花。总之，教师应该用心去聆听，触摸教学，透视课堂，捕捉学生“意外”的思维和解法，有效利用生成资源，灵活重组教学思路，让学生有更多的探索时间和空间，让“意外”生成更多的教学价值。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教学教学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]陳方勇.一道作图题引发的意外[J].中学数学参考，2016（12）.