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一元一次不等式（组）是初中数学的重要内容之一，是各地中考的必考考点。老师以2020年中考试题为例，归纳出以下几个热门考点，以期帮助同学们更好地复习研究。
考点一：不等式的基本性质
例1 （2020·贵州贵阳）已知a A.a-1-2b
C.[12]a 1<[12]b 1 D.ma>mb
【解析】A选项在不等式a-2b。C选项在不等式amb;若m=0，则ma=mb，有三种可能。故选D。
【点评】解决此类问题的关键是先判断出选项中的不等式的两边是对已知不等式的两边如何变形的，再根据不等式的性质作出判断即可。
考点二：在数轴上表示不等式（组）的解集
例2（2020·湖南益阳）将不等式组[x 2≥0，x<1]的解集在数轴上表示，正确的是（ ）。
【解析】解不等式x 2≥0，得x≥-2，又x<1，∴不等式组的解集为-2≤x<1。故选A。
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集的方法。正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。同时，解集在数轴上表示时，我们还要注意临界点是空心点还是实心点。
考点三：求待定字母的取值范围
例3 （2020·甘肃天水）若关于x的不等式3x a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）。
A.-7 C.-7≤a<-4 D.-7 【解析】先解不等式。∵3x a≤2，∴3x≤2-a，则x≤[2-a3]。
∵不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为1、2，则2≤[2-a3]<3，解之可得-7 变式：若关于x的不等式组[2（x-1）>2，a-x<0]
的解集是x>a，则a的取值范围是（ ）。
A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2
【解析】先解关于x的不等式组[2（x-1）>2，a-x<0，]得[x>2，x>a。]由于不等式组的解集是同大取大，借助数轴，得出答案a≥2。临界值a能否等于2，可将a=2代入不等式组中进行验证。故選D。
【点评】解决这类问题的思路是先求出不等式（组）的解集，有待定字母的不等式用含待定字母的代数式表示，再由解集的特征要求来确定待定字母的取值范围。同时可以借助数轴进行逆向分析。在特殊值或边界值的取舍上，一定要仔细甄别。
考点四：一元一次不等式与一次函数的综合应用
例4 （2020·湖南湘潭）如图，直线y=kx b（k<0）经过点P（1，1），当kx b≥x时，则x的取值范围为（ ）。
A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1
【解析】本题可以直接用代数方法求解。将P（1，1）代入y=kx b（k<0），可得k=1-b，再代入kx b≥x变形整理，得-bx b≥0。由图像可知b>0，∴x-1≤0，∴x≤1。故选A。
由于直线y=x也经过P点，所以我们如果从数形结合的角度来看一元一次不等式kx b≥x的解集，就是找出直线y=kx b落在直线y=x上方的部分，也就是直线y=kx b上位于点P的左侧部分的点的横坐标所对应的自变量的取值范围。
变式：已知关于x的函数y=kx 3的图像经过点（2，0），则关于x的不等式kx 3>0的解集是 。
【解析】从数形结合的角度来看不等式kx 3>0的解集，实际上就是一次函数y=kx 3的图像在x轴上方部分所对应的自变量的取值范围。故答案为x<2。
【点评】这类不等式与函数相结合的题型可以说不是解出来的，而是看出来的。我们要深刻理解不等式（组）的本质，准确把握函数值与方程的解、不等式（组）的解或解集之间的内在联系，才能灵活快速地解决相关问题。
考点五：一元一次不等式组的应用
例5 （2020·山东济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱。
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资。
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元。若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少。最少费用是多少？
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资。由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”可列方程组，得[2x 3y=600，5x 6y=1350，]
解得[x=150，y=100。]
（2）设有a辆大货车，（12-a）辆小货车。由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，得
∴6≤a<9，
∴整数a=6，7，8。
当有6辆大货车、6辆小货车时，费用=5000×6 3000×6=48000元;
当有7辆大货车、5辆小货车时，费用=5000×7 3000×5=50000元;
当有8辆大货车、4辆小货车时，费用=5000×8 3000×4=52000元。
∵48000<50000<52000，
∴当有6辆大货车、6辆小货车时，费用最少。最少费用为48000元。
【点评】利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，是中考中最常见的题型。本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组;（2）根据各数量之间的不等关系，正确列出一元一次不等式组。在利用不等式（组）解决问题时，求得不等式（组）的解集后，要善于根据实际问题的常规要求及附加要求，全面而完整地对解进行取舍。
（作者单位：江苏省仪征市实验中学）
考点一：不等式的基本性质
例1 （2020·贵州贵阳）已知a
C.[12]a 1<[12]b 1 D.ma>mb
【解析】A选项在不等式a
【点评】解决此类问题的关键是先判断出选项中的不等式的两边是对已知不等式的两边如何变形的，再根据不等式的性质作出判断即可。
考点二：在数轴上表示不等式（组）的解集
例2（2020·湖南益阳）将不等式组[x 2≥0，x<1]的解集在数轴上表示，正确的是（ ）。
【解析】解不等式x 2≥0，得x≥-2，又x<1，∴不等式组的解集为-2≤x<1。故选A。
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集的方法。正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。同时，解集在数轴上表示时，我们还要注意临界点是空心点还是实心点。
考点三：求待定字母的取值范围
例3 （2020·甘肃天水）若关于x的不等式3x a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）。
A.-7
∵不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为1、2，则2≤[2-a3]<3，解之可得-7
的解集是x>a，则a的取值范围是（ ）。
A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2
【解析】先解关于x的不等式组[2（x-1）>2，a-x<0，]得[x>2，x>a。]由于不等式组的解集是同大取大，借助数轴，得出答案a≥2。临界值a能否等于2，可将a=2代入不等式组中进行验证。故選D。
【点评】解决这类问题的思路是先求出不等式（组）的解集，有待定字母的不等式用含待定字母的代数式表示，再由解集的特征要求来确定待定字母的取值范围。同时可以借助数轴进行逆向分析。在特殊值或边界值的取舍上，一定要仔细甄别。
考点四：一元一次不等式与一次函数的综合应用
例4 （2020·湖南湘潭）如图，直线y=kx b（k<0）经过点P（1，1），当kx b≥x时，则x的取值范围为（ ）。
A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1
【解析】本题可以直接用代数方法求解。将P（1，1）代入y=kx b（k<0），可得k=1-b，再代入kx b≥x变形整理，得-bx b≥0。由图像可知b>0，∴x-1≤0，∴x≤1。故选A。
由于直线y=x也经过P点，所以我们如果从数形结合的角度来看一元一次不等式kx b≥x的解集，就是找出直线y=kx b落在直线y=x上方的部分，也就是直线y=kx b上位于点P的左侧部分的点的横坐标所对应的自变量的取值范围。
变式：已知关于x的函数y=kx 3的图像经过点（2，0），则关于x的不等式kx 3>0的解集是 。
【解析】从数形结合的角度来看不等式kx 3>0的解集，实际上就是一次函数y=kx 3的图像在x轴上方部分所对应的自变量的取值范围。故答案为x<2。
【点评】这类不等式与函数相结合的题型可以说不是解出来的，而是看出来的。我们要深刻理解不等式（组）的本质，准确把握函数值与方程的解、不等式（组）的解或解集之间的内在联系，才能灵活快速地解决相关问题。
考点五：一元一次不等式组的应用
例5 （2020·山东济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱。
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资。
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元。若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少。最少费用是多少？
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资。由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”可列方程组，得[2x 3y=600，5x 6y=1350，]
解得[x=150，y=100。]
（2）设有a辆大货车，（12-a）辆小货车。由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，得
∴6≤a<9，
∴整数a=6，7，8。
当有6辆大货车、6辆小货车时，费用=5000×6 3000×6=48000元;
当有7辆大货车、5辆小货车时，费用=5000×7 3000×5=50000元;
当有8辆大货车、4辆小货车时，费用=5000×8 3000×4=52000元。
∵48000<50000<52000，
∴当有6辆大货车、6辆小货车时，费用最少。最少费用为48000元。
【点评】利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，是中考中最常见的题型。本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组;（2）根据各数量之间的不等关系，正确列出一元一次不等式组。在利用不等式（组）解决问题时，求得不等式（组）的解集后，要善于根据实际问题的常规要求及附加要求，全面而完整地对解进行取舍。
（作者单位：江苏省仪征市实验中学）