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在日复一日的教学生涯中，总想为自己略显枯燥的生活装点一些亮色。因此每当自己在课堂上有所新的尝试而获得成功的时候，那种从心里发出来的喜悦是很难用语言来表达的。而这种快乐的体验又促使我进行新的尝试。有时甚至体会到了“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”那种感觉。下面将我的快乐与大家分享。
快乐之一：让学生在思维的活动中闪现哲学的火花
懂得一些哲学常识的人知道：“矛盾的普遍性存在于特殊性之中，没有矛盾的特殊性就没有矛盾的普遍性，二者相互联系不可分割”。因而当我们解决一个问题后，能否有意识的进行反思，从而找到问题的本质，再去解决另外一些特殊问题。这就反映出，我们是否在自觉的运用从特殊到一般，再由一般到特殊的唯物辩证规律指导我们的教学实践。如果在教学中能适时地向学生渗透辩证法，相信将对学生的思维品质的培养起到一定作用。下面略举两例以说明：
例1：（1）a，b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2
（2）a，b∈R+，求证：a5+b5≥a3b2+a2b3
本题证明思路比较明显，作差—变形—判断符号。但更为重要的是，在教学过程中有意识地引导学生作更一般的推广和证明，体会由特殊到一般的思想。不难想到，有下面的推广命题：a，b∈R+，m，n∈Z+ 求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm
例2：过抛物线y2=16x的焦点的一条直线l和抛物线相交，交点为A（x1，y1），B（x2，y2）求y1？y2的值
本题解题思路比较容易，设出直线的方程，然后与抛物线方程联立方程组，消掉变量x，得到关于y的一元二次方程，最后应用韦达定理很快求解。但更为重要的是，能否由此及彼的产生一系列的联想：
①由纵坐标之积得到定值，那么作一类比，横坐标之积是否是定值呢？
②能否由y2=16x推广到一般情形y2=2Px？
③应用逆向思维，由y1？y2=-P2，能否判定直线过焦点呢？
④若将直线过焦点F（ ，0）推广为直线过定点M（a，0），则y1？y2是否为定值？
上述两例均是从特殊题目出发，抽象出一般的结论，或类比、或联想进而解决更广泛的问题。
快乐之二：让学生在解题中学会变换思维角度，学会退与进
学生在解题中常常会遇到困难，但是总是苦于没有闪现柳暗花明又一村的灵感，其实要想突破，亦非难事，关键在于我们能否运用运动，变化，联系，发展的观点看待数学问题，通过联想迁移达到化繁为简，化难为易，化生为熟的目的。这正是高中数学教学中着力培养学生的一种思维品质。下面略举两例以说明：
例1求下列函数的最值：
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5（|x|≤3）
（2）y=
简析：（1）若直接展开，则会出现x的4次方项，使问题复杂化，若将（x+1）（x+4）结合（x+2）（x+3）结合，则有y=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+5，妙处在于出现了相同的x2+5x因而采用换元法，化繁为简，水到渠成。即y=（t+4）（t+6）+5 （ ）转化成熟悉的条件二次函数进而求解。
（2）令 ，，则y= ，转化成熟悉的“对勾”函数，进而求得最值.上例说明转化的思想在解题中有着广泛的应用。
例2：用数学归纳法证明：（3n+1）7n-1（n∈N*）能被9整除。
在讲解该题时，大多数同学采用了如下学生甲的解法：
学生甲：第一步骤略;第二步骤（2）假设当n=k时命题成立，即（3k+1）7k-1能被9整除
当n=k+1时，[3（k+1）+1]7k+1-1=（3k+1+3）7k？7-1=7[（3k+1）7k-1]+21？7k+6
到这一步后，好多同学“卡了壳”。
教师：真的不能再进一步了吗？21？7k+6能被9整除可采用什么方法？
学生乙：可以再次采用数学归纳法。
教师：非常好。除此之外，21？7k+6形式上的特点还能使我们想到什么方法？
学生丙：容易想到二项式定理，21？7k+6=3[（6+1）k+1+2]然后利用展开式很快得证。
引来大家一片喝彩。
教师：这说明当我们遭遇难题时，不要立即退缩，而是试着往前走一走，也许会出现豁然开朗的感觉。但是俗话说的好有进有退，“退一步海阔天空”，那么退一步是否也能解决问题呢？退到哪一步是最恰当的呢？
学生丁：应用归纳假设时，系数7是造成问题复杂的主要原因，若系数是1，则问题变得简单了，接着他上黑板写出了解题过程。
又引来一片喝彩声。
学生戊：我认为既然除归纳假设外的部分必然能被9整除，而直接做又有困难，不妨采用逆向思维，由[3（k+1）+1]7k+1-1与（3k+1）7k-1作差得（18k+27）7k，显然能被9整除，问题迎刃而解。
看到学生们精彩的思维活动，我感到了由衷的喜悦.学会变换角度考虑问题，进则不畏艰辛，退则灵活巧妙不失为一种解题策略。
快乐之三：让学生在一题多解，一题多变的变式教学中感受发散思维的魅力
在数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，而思维能力的培养要通过精心设置问题，引导学生分析，探讨，才能达到在解题过程中发展智力，提高能力的目的。因此精心选题，充分挖掘题目本身的内在联系，经常对学生进行一题多解，一题多变的变式训练，不仅能巩固基础知识，基本方法，而且能有效的优化学生的思维品质，培养思维能力。进而达到培养创造性人才的最终目的。下面略举两例以示说明：
例1：已知x，y∈R+，且x+y=1，求 的最小值
此题先让学生思考，探索讨论后，学生给出了诸多解法，归纳总结如下：
方法一：利用均值不等式。
方法二：利用三角换元。
方法三：均值换元。
方法四：利用二次函数求值域。
方法五：“1”的妙用。
上述解法的详细过程略去，但并不是说过程不重要，本文撰写的目的是想通过一些典型，生动的例子，能引起我们在教学上的某种思考，若能达到抛砖引玉的作用则幸甚。
例2：求（1+2x）6展开式中第4项的二项式系数及系数
变式一：求（1-x）6展开式中第4项的系数
变式二：求（1-x）6（1+2x）2展开式中x4项的系数
变式三：求（x2+3x+2）6展开式中x11项的系数
变式四：求（1-x）6（1+2x）2展开式中所有项系数的和
变式五：求（1-x）6（1+2x）2展开式中x的奇次幂项的系数之和
以上两例主要是想通过一题多解，一题多变，培养学生的发散思维能力，从多角度，多方位思考问题，用多种方法进行尝试，使学生在思维的广阔天地里翱翔。
快乐之一：让学生在思维的活动中闪现哲学的火花
懂得一些哲学常识的人知道：“矛盾的普遍性存在于特殊性之中，没有矛盾的特殊性就没有矛盾的普遍性，二者相互联系不可分割”。因而当我们解决一个问题后，能否有意识的进行反思，从而找到问题的本质，再去解决另外一些特殊问题。这就反映出，我们是否在自觉的运用从特殊到一般，再由一般到特殊的唯物辩证规律指导我们的教学实践。如果在教学中能适时地向学生渗透辩证法，相信将对学生的思维品质的培养起到一定作用。下面略举两例以说明：
例1：（1）a，b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2
（2）a，b∈R+，求证：a5+b5≥a3b2+a2b3
本题证明思路比较明显，作差—变形—判断符号。但更为重要的是，在教学过程中有意识地引导学生作更一般的推广和证明，体会由特殊到一般的思想。不难想到，有下面的推广命题：a，b∈R+，m，n∈Z+ 求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm
例2：过抛物线y2=16x的焦点的一条直线l和抛物线相交，交点为A（x1，y1），B（x2，y2）求y1？y2的值
本题解题思路比较容易，设出直线的方程，然后与抛物线方程联立方程组，消掉变量x，得到关于y的一元二次方程，最后应用韦达定理很快求解。但更为重要的是，能否由此及彼的产生一系列的联想：
①由纵坐标之积得到定值，那么作一类比，横坐标之积是否是定值呢？
②能否由y2=16x推广到一般情形y2=2Px？
③应用逆向思维，由y1？y2=-P2，能否判定直线过焦点呢？
④若将直线过焦点F（ ，0）推广为直线过定点M（a，0），则y1？y2是否为定值？
上述两例均是从特殊题目出发，抽象出一般的结论，或类比、或联想进而解决更广泛的问题。
快乐之二：让学生在解题中学会变换思维角度，学会退与进
学生在解题中常常会遇到困难，但是总是苦于没有闪现柳暗花明又一村的灵感，其实要想突破，亦非难事，关键在于我们能否运用运动，变化，联系，发展的观点看待数学问题，通过联想迁移达到化繁为简，化难为易，化生为熟的目的。这正是高中数学教学中着力培养学生的一种思维品质。下面略举两例以说明：
例1求下列函数的最值：
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5（|x|≤3）
（2）y=
简析：（1）若直接展开，则会出现x的4次方项，使问题复杂化，若将（x+1）（x+4）结合（x+2）（x+3）结合，则有y=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+5，妙处在于出现了相同的x2+5x因而采用换元法，化繁为简，水到渠成。即y=（t+4）（t+6）+5 （ ）转化成熟悉的条件二次函数进而求解。
（2）令 ，，则y= ，转化成熟悉的“对勾”函数，进而求得最值.上例说明转化的思想在解题中有着广泛的应用。
例2：用数学归纳法证明：（3n+1）7n-1（n∈N*）能被9整除。
在讲解该题时，大多数同学采用了如下学生甲的解法：
学生甲：第一步骤略;第二步骤（2）假设当n=k时命题成立，即（3k+1）7k-1能被9整除
当n=k+1时，[3（k+1）+1]7k+1-1=（3k+1+3）7k？7-1=7[（3k+1）7k-1]+21？7k+6
到这一步后，好多同学“卡了壳”。
教师：真的不能再进一步了吗？21？7k+6能被9整除可采用什么方法？
学生乙：可以再次采用数学归纳法。
教师：非常好。除此之外，21？7k+6形式上的特点还能使我们想到什么方法？
学生丙：容易想到二项式定理，21？7k+6=3[（6+1）k+1+2]然后利用展开式很快得证。
引来大家一片喝彩。
教师：这说明当我们遭遇难题时，不要立即退缩，而是试着往前走一走，也许会出现豁然开朗的感觉。但是俗话说的好有进有退，“退一步海阔天空”，那么退一步是否也能解决问题呢？退到哪一步是最恰当的呢？
学生丁：应用归纳假设时，系数7是造成问题复杂的主要原因，若系数是1，则问题变得简单了，接着他上黑板写出了解题过程。
又引来一片喝彩声。
学生戊：我认为既然除归纳假设外的部分必然能被9整除，而直接做又有困难，不妨采用逆向思维，由[3（k+1）+1]7k+1-1与（3k+1）7k-1作差得（18k+27）7k，显然能被9整除，问题迎刃而解。
看到学生们精彩的思维活动，我感到了由衷的喜悦.学会变换角度考虑问题，进则不畏艰辛，退则灵活巧妙不失为一种解题策略。
快乐之三：让学生在一题多解，一题多变的变式教学中感受发散思维的魅力
在数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，而思维能力的培养要通过精心设置问题，引导学生分析，探讨，才能达到在解题过程中发展智力，提高能力的目的。因此精心选题，充分挖掘题目本身的内在联系，经常对学生进行一题多解，一题多变的变式训练，不仅能巩固基础知识，基本方法，而且能有效的优化学生的思维品质，培养思维能力。进而达到培养创造性人才的最终目的。下面略举两例以示说明：
例1：已知x，y∈R+，且x+y=1，求 的最小值
此题先让学生思考，探索讨论后，学生给出了诸多解法，归纳总结如下：
方法一：利用均值不等式。
方法二：利用三角换元。
方法三：均值换元。
方法四：利用二次函数求值域。
方法五：“1”的妙用。
上述解法的详细过程略去，但并不是说过程不重要，本文撰写的目的是想通过一些典型，生动的例子，能引起我们在教学上的某种思考，若能达到抛砖引玉的作用则幸甚。
例2：求（1+2x）6展开式中第4项的二项式系数及系数
变式一：求（1-x）6展开式中第4项的系数
变式二：求（1-x）6（1+2x）2展开式中x4项的系数
变式三：求（x2+3x+2）6展开式中x11项的系数
变式四：求（1-x）6（1+2x）2展开式中所有项系数的和
变式五：求（1-x）6（1+2x）2展开式中x的奇次幂项的系数之和
以上两例主要是想通过一题多解，一题多变，培养学生的发散思维能力，从多角度，多方位思考问题，用多种方法进行尝试，使学生在思维的广阔天地里翱翔。