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案例背景：
图形与几何是小学数学四大领域内容之一，其教学目标之一就是促进学生空间观念的发展。如何结合学生的心理特征，立足并用好学生经验，处理好直观和抽象的关系，有效发展学生空间观念？这一问题一直是数学教师关注的热点。带着这些思考，笔者尝试着执教四年级下册《等腰三角形和等边三角形》一课。
片段一
师：前面我们已经研究了三角形，请大家回顾一下，三角形按角分类，可以分成几类？
生：三角形按角可以分成直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
师：是的。下面请大家观察这三个三角形，它们各属于哪一类？
出示三个三角形：
生（齐答）：第一个是锐角三角形，第二个是直角三角形，第三个是钝角三角形。
师：判断得又准又快！请大家仔细观察，这三个三角形里还有一些没有学过的相同点，看看谁能快速、准确地找出来！
生：它们有两条边是相等的。
师：找得真快！是这样吗？请大家动动手，用尺子量一量。
学生用尺子量好后认为三个三角形都是有两条边相等的。
师：像这样的三角形，我们把它叫作等腰三角形。
思考：本课时是三角形单元的第五课时，学生在前面的学习中经历了将现实物体抽象为几何图形，进行了大量抽象图形的研究。课堂直接从对抽象图形的引入，呈现直观素材，引导学生观察，激起学生对已有抽象图形知识的经验，并有针对性地引导学生观察“没有学过的共同点”，聚焦观察点，让学生通过观察进行探究，通过操作进行验证，在经历观察和操作活动的过程中发展空间观念。
片段二
师：这三个三角形都是等腰三角形吗？
生（齐答）：是等腰三角形！
师：它们形状不同，为什么都是等腰三角形呢？
生：因为它们都是有两条边的长度相等，所以都是等腰三角形。
师：看来你们对等腰三角形理解得挺深的！
教师再出示三个三角形：
师：这三个三角形是等腰三角形吗？
生（齐答）：是等腰三角形。
师：你是怎么想的呢？
生：因为它们也都有两条边的长度是相等的。
师：一下子就抓住了等腰三角形的本质，真棒！
思考：教师运用变式原理，分层引导学生开展观察活动。通过两个问题情境的创设——形状不同为什么都是等腰三角形、位置变化为什么还是等腰三角形，引导学生在观察、对比和思考中抓住等腰三角形的本质属性，在深化对概念理解的同时，发展学生的空间观念和抽象思维能力。
片段三
师：三角形不用量，你能判断它是不是等腰三角形吗？
生：可以用折的方法。
师：你能具体说说你的想法吗？
生：只要将三角形对折，看看两条边是不是重合的，如果有两条边对折之后能够重合，就说明着两条边长度相等，就是等腰三角形。
教师结合学生回答将三角形纸对折演示。
师：这样的方法可以吗？
生：可以！
师：是的！这种方法不仅能够判断一个三角形是不是等腰三角形，还能自己制作一个等腰三角形。请大家打开书本，看着书上的步骤，自己剪一个等腰三角形。请大家一边剪，一边想：这样剪，为什么它就是一个等腰三角形？
学生操作，等学生操作完成后交流。
师：你们剪下的是等腰三角形吗？
生：是！
师：为什么它是一个等腰三角形呢？
生1：因为它是对折后剪下的。
生2：因为剪的时候两条边叠在一起，用一刀剪下的，长度肯定相等，所以一定是等腰三角形。
师：两位同学说的意思都对！两边重合，长度相等，当然一定是等腰三角形。
……
思考：在学生初步感知了等腰三角形的基础上，教师组织学生开展操作活动——剪等腰三角形，并引导学生在行为操作的过程中开展思维操作活动——这样剪为什么是等腰三角形？通过活动的开展，让学生进一步认识等腰三角形，积累操作经验和探究经验，并在此过程中提升学生的空间观念。
片段四
……
学生学习等边三角形，并在教师的引导下，按照教材上的图示，通过对折方法剪下一个等边三角形，教师展示一生作品。
（注：虚线表示其中的折痕）
师：我们在三条边上编上序号1、2、3，请大家思考一下，为什么不用量三条边的长度，剪下的就一定是等边三角形呢？
生沉思。
师：请大家观察一下剪下的三角形，里面有——
生：有两条折痕。
师：能否从这两条折痕中想到什么呢？
生：1、2两条边是相等的，因为它们在剪的时候是重合的;1、3两条边也是相等的，因为对折时它们也重合，所以它们三条边的长度相等。
师：大家听懂他的意思了吗？谁能再来说一遍？
生：我听懂了，他是说从第一次对折的折痕可以看出1、2两条边相等，因为剪的时候1、2两条边重合;第二次对折的折痕说明1、3两条边相等，因为剪的时候1、3是重合的。1、2相等，1、3也相等，所以2、3也相等，所以三条边都相等。
师：解释得真详细啊！除了通过折痕能看出三条边相等，还有什么发现呢？
生：还有三个角也是相等的，因为在对折的时候角也重合了。
师：大家能听懂他的意思吗？
生（齐答）：能！
师：那么这三个角各是多少度呢？
生：这三个角都是60度，因为只要将180度除以3。
师：是的，等边三角形的三个内角都相等，只要将内角和180度除以3，每个内角都是60度。 教师板书。
思考：教师继续组织学生进行动手操作——剪出等边三角形，并在操作后进一步引导学生进行推理，结合操作中形成的折痕证明这个三角形三条边的长度都相等，引导学生在行为操作的基础上进行表象操作，促进学生空间观念和推理能力的发展。
片段五
师：刚才我们一起认识了等腰三角形和等边三角形，以及它们各自的特征。请大家闭上眼睛，在脑子中画一个等腰三角形。
学生闭眼想象。
师：找到它的腰和底。
师：再找到它的底角、顶角。
师：再画一个不同的等腰三角形。
师：再画出几个不同的等腰三角形。
师：再画一个等边三角形。
师：找到它相等的三个角。
师：再画一个大点的等边三角形。
师：再画一个更大的等边三角形。
师：好！睁开你们的眼睛。
……
思考：认识了等腰三角形和等边三角形以及各自的相关概念、特征后，组织学生开展表象操作活动——闭上眼睛在脑子里画一画，并引导学生在“画”的过程中不断将图形进行变换，促进学生对概念本质属性的把握，同时促进学生对这两种图形表象的深刻建立，发展了学生的空间观念，也为后续更复杂的表象操作、符号操作，以及几何直观的形成奠定了基础。
“图形与几何”内容的教学是发展学生数学思维的重要载体，如何在小学数学课堂教学中发展学生的空间观念，并促进学生数学素养的提升？笔者结合案例认为：经验是基础，活动是关键，主要有以下策略。
一、学生经验的有效利用是空间观念发展的首要前提
小学生的几何知识来源于丰富的现实原型，除了在生活中，在学习中也积累了较为丰富的几何知识经验。这些是学生认识和理解几何图形、发展空间观念的基础，是教师教学的资源。因此，几何图形的起始学习经常从现实原型引入，激发学生已有的生活经验，逐渐对原型进行抽象。如果在前阶段已经历了这样的过程，并进行过抽象图形的活动，已有抽象图形操作的经验，也可以激发学生已有的知识经验，展开后续的学习、探究。
片段一中，教师以学生前段时间学习的知识经验为基础，通过问题予以激活，并展开新的探究活动，着眼于“都有两条边的长度是相等的”。已有经验的激活为学生展开新的探究做好了准备，有针对性的引导又为学生认知体系的拓展奠定了基础，而在此过程中，学生的空间观念也得以发展。
二、行为操作活动的有效开展是空间观念发展的必要环节
皮亚杰说过：儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。小学生空间观念及空间思维的发展也是如此。
片段一、二、四中，教师呈现了大量的直观素材，引导学生通过视觉活动认识几何图形。同时在片段三、四中，还分别组织了两次动手剪纸的活动，引导学生通过触觉活动认识几何图形。通过观察，让学生建立图形表象，获得对图形性质的理解，把握图形之间的联系;通过动手操作，让学生感知、发现，建构正确的空间形式和关系。这样在多感官参与的活动中，形成相应的空间表象，获得对几何知识的理解，建立和发展空间观念。
不管是视觉活动还是触觉活动，教师都要在此基础上引导学生思维的参与，让学生有针对性地进行活动，有助于学生深入地探究几何图形的特征，形成表象，发展空间观念。
三、表象操作活动的有效开展是空间观念发展的重要桥梁
学生通过观察、动手操作，初步获得了几何图形的表象。在此基础上，让学生直接有效地将获得的表象稳定地形成，为后续的符号操作提供表象基础，表象操作在行为操作和符号操作间的桥梁作用不可忽视。
片段五中，教师引导学生通过想象，在头脑中“画”不同的等腰三角形和等边三角形，有助于学生在表象操作中稳定、丰富表象雏形，形成正确的概念表征，为后续深入学习积累稳定而丰富的表象素材，发展学生的空间观念。
四、推理活动的有效开展是空间观念提升的主要渠道
推理是数学的基本思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观展开的，适时引导学生结合直观开展推理活动，有助于学生空间思维、几何直观能力和推理能力的发展。
片段三、四中，教师在引导学生开展了两次动手操作活动后没有止步：片段三中剪等腰三角形后，教师提出问题：“你们剪下的是等腰三角形吗？”引导学生结合操作过程进行证明;片段四中教师对学生推理能力的发展就显得更为突出，展示学生带有折痕的剪下的等边三角形，引导学生通过观察、思考，证明1、2两条边相等，2、3两条边相等，所以1、2、3三条边都相等。在这样的推理活动中，学生逐步认识了图形的特征及性质，推理能力、几何直观能力和空间观念都得以发展。？筻
图形与几何是小学数学四大领域内容之一，其教学目标之一就是促进学生空间观念的发展。如何结合学生的心理特征，立足并用好学生经验，处理好直观和抽象的关系，有效发展学生空间观念？这一问题一直是数学教师关注的热点。带着这些思考，笔者尝试着执教四年级下册《等腰三角形和等边三角形》一课。
片段一
师：前面我们已经研究了三角形，请大家回顾一下，三角形按角分类，可以分成几类？
生：三角形按角可以分成直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
师：是的。下面请大家观察这三个三角形，它们各属于哪一类？
出示三个三角形：
生（齐答）：第一个是锐角三角形，第二个是直角三角形，第三个是钝角三角形。
师：判断得又准又快！请大家仔细观察，这三个三角形里还有一些没有学过的相同点，看看谁能快速、准确地找出来！
生：它们有两条边是相等的。
师：找得真快！是这样吗？请大家动动手，用尺子量一量。
学生用尺子量好后认为三个三角形都是有两条边相等的。
师：像这样的三角形，我们把它叫作等腰三角形。
思考：本课时是三角形单元的第五课时，学生在前面的学习中经历了将现实物体抽象为几何图形，进行了大量抽象图形的研究。课堂直接从对抽象图形的引入，呈现直观素材，引导学生观察，激起学生对已有抽象图形知识的经验，并有针对性地引导学生观察“没有学过的共同点”，聚焦观察点，让学生通过观察进行探究，通过操作进行验证，在经历观察和操作活动的过程中发展空间观念。
片段二
师：这三个三角形都是等腰三角形吗？
生（齐答）：是等腰三角形！
师：它们形状不同，为什么都是等腰三角形呢？
生：因为它们都是有两条边的长度相等，所以都是等腰三角形。
师：看来你们对等腰三角形理解得挺深的！
教师再出示三个三角形：
师：这三个三角形是等腰三角形吗？
生（齐答）：是等腰三角形。
师：你是怎么想的呢？
生：因为它们也都有两条边的长度是相等的。
师：一下子就抓住了等腰三角形的本质，真棒！
思考：教师运用变式原理，分层引导学生开展观察活动。通过两个问题情境的创设——形状不同为什么都是等腰三角形、位置变化为什么还是等腰三角形，引导学生在观察、对比和思考中抓住等腰三角形的本质属性，在深化对概念理解的同时，发展学生的空间观念和抽象思维能力。
片段三
师：三角形不用量，你能判断它是不是等腰三角形吗？
生：可以用折的方法。
师：你能具体说说你的想法吗？
生：只要将三角形对折，看看两条边是不是重合的，如果有两条边对折之后能够重合，就说明着两条边长度相等，就是等腰三角形。
教师结合学生回答将三角形纸对折演示。
师：这样的方法可以吗？
生：可以！
师：是的！这种方法不仅能够判断一个三角形是不是等腰三角形，还能自己制作一个等腰三角形。请大家打开书本，看着书上的步骤，自己剪一个等腰三角形。请大家一边剪，一边想：这样剪，为什么它就是一个等腰三角形？
学生操作，等学生操作完成后交流。
师：你们剪下的是等腰三角形吗？
生：是！
师：为什么它是一个等腰三角形呢？
生1：因为它是对折后剪下的。
生2：因为剪的时候两条边叠在一起，用一刀剪下的，长度肯定相等，所以一定是等腰三角形。
师：两位同学说的意思都对！两边重合，长度相等，当然一定是等腰三角形。
……
思考：在学生初步感知了等腰三角形的基础上，教师组织学生开展操作活动——剪等腰三角形，并引导学生在行为操作的过程中开展思维操作活动——这样剪为什么是等腰三角形？通过活动的开展，让学生进一步认识等腰三角形，积累操作经验和探究经验，并在此过程中提升学生的空间观念。
片段四
……
学生学习等边三角形，并在教师的引导下，按照教材上的图示，通过对折方法剪下一个等边三角形，教师展示一生作品。
（注：虚线表示其中的折痕）
师：我们在三条边上编上序号1、2、3，请大家思考一下，为什么不用量三条边的长度，剪下的就一定是等边三角形呢？
生沉思。
师：请大家观察一下剪下的三角形，里面有——
生：有两条折痕。
师：能否从这两条折痕中想到什么呢？
生：1、2两条边是相等的，因为它们在剪的时候是重合的;1、3两条边也是相等的，因为对折时它们也重合，所以它们三条边的长度相等。
师：大家听懂他的意思了吗？谁能再来说一遍？
生：我听懂了，他是说从第一次对折的折痕可以看出1、2两条边相等，因为剪的时候1、2两条边重合;第二次对折的折痕说明1、3两条边相等，因为剪的时候1、3是重合的。1、2相等，1、3也相等，所以2、3也相等，所以三条边都相等。
师：解释得真详细啊！除了通过折痕能看出三条边相等，还有什么发现呢？
生：还有三个角也是相等的，因为在对折的时候角也重合了。
师：大家能听懂他的意思吗？
生（齐答）：能！
师：那么这三个角各是多少度呢？
生：这三个角都是60度，因为只要将180度除以3。
师：是的，等边三角形的三个内角都相等，只要将内角和180度除以3，每个内角都是60度。 教师板书。
思考：教师继续组织学生进行动手操作——剪出等边三角形，并在操作后进一步引导学生进行推理，结合操作中形成的折痕证明这个三角形三条边的长度都相等，引导学生在行为操作的基础上进行表象操作，促进学生空间观念和推理能力的发展。
片段五
师：刚才我们一起认识了等腰三角形和等边三角形，以及它们各自的特征。请大家闭上眼睛，在脑子中画一个等腰三角形。
学生闭眼想象。
师：找到它的腰和底。
师：再找到它的底角、顶角。
师：再画一个不同的等腰三角形。
师：再画出几个不同的等腰三角形。
师：再画一个等边三角形。
师：找到它相等的三个角。
师：再画一个大点的等边三角形。
师：再画一个更大的等边三角形。
师：好！睁开你们的眼睛。
……
思考：认识了等腰三角形和等边三角形以及各自的相关概念、特征后，组织学生开展表象操作活动——闭上眼睛在脑子里画一画，并引导学生在“画”的过程中不断将图形进行变换，促进学生对概念本质属性的把握，同时促进学生对这两种图形表象的深刻建立，发展了学生的空间观念，也为后续更复杂的表象操作、符号操作，以及几何直观的形成奠定了基础。
“图形与几何”内容的教学是发展学生数学思维的重要载体，如何在小学数学课堂教学中发展学生的空间观念，并促进学生数学素养的提升？笔者结合案例认为：经验是基础，活动是关键，主要有以下策略。
一、学生经验的有效利用是空间观念发展的首要前提
小学生的几何知识来源于丰富的现实原型，除了在生活中，在学习中也积累了较为丰富的几何知识经验。这些是学生认识和理解几何图形、发展空间观念的基础，是教师教学的资源。因此，几何图形的起始学习经常从现实原型引入，激发学生已有的生活经验，逐渐对原型进行抽象。如果在前阶段已经历了这样的过程，并进行过抽象图形的活动，已有抽象图形操作的经验，也可以激发学生已有的知识经验，展开后续的学习、探究。
片段一中，教师以学生前段时间学习的知识经验为基础，通过问题予以激活，并展开新的探究活动，着眼于“都有两条边的长度是相等的”。已有经验的激活为学生展开新的探究做好了准备，有针对性的引导又为学生认知体系的拓展奠定了基础，而在此过程中，学生的空间观念也得以发展。
二、行为操作活动的有效开展是空间观念发展的必要环节
皮亚杰说过：儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。小学生空间观念及空间思维的发展也是如此。
片段一、二、四中，教师呈现了大量的直观素材，引导学生通过视觉活动认识几何图形。同时在片段三、四中，还分别组织了两次动手剪纸的活动，引导学生通过触觉活动认识几何图形。通过观察，让学生建立图形表象，获得对图形性质的理解，把握图形之间的联系;通过动手操作，让学生感知、发现，建构正确的空间形式和关系。这样在多感官参与的活动中，形成相应的空间表象，获得对几何知识的理解，建立和发展空间观念。
不管是视觉活动还是触觉活动，教师都要在此基础上引导学生思维的参与，让学生有针对性地进行活动，有助于学生深入地探究几何图形的特征，形成表象，发展空间观念。
三、表象操作活动的有效开展是空间观念发展的重要桥梁
学生通过观察、动手操作，初步获得了几何图形的表象。在此基础上，让学生直接有效地将获得的表象稳定地形成，为后续的符号操作提供表象基础，表象操作在行为操作和符号操作间的桥梁作用不可忽视。
片段五中，教师引导学生通过想象，在头脑中“画”不同的等腰三角形和等边三角形，有助于学生在表象操作中稳定、丰富表象雏形，形成正确的概念表征，为后续深入学习积累稳定而丰富的表象素材，发展学生的空间观念。
四、推理活动的有效开展是空间观念提升的主要渠道
推理是数学的基本思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观展开的，适时引导学生结合直观开展推理活动，有助于学生空间思维、几何直观能力和推理能力的发展。
片段三、四中，教师在引导学生开展了两次动手操作活动后没有止步：片段三中剪等腰三角形后，教师提出问题：“你们剪下的是等腰三角形吗？”引导学生结合操作过程进行证明;片段四中教师对学生推理能力的发展就显得更为突出，展示学生带有折痕的剪下的等边三角形，引导学生通过观察、思考，证明1、2两条边相等，2、3两条边相等，所以1、2、3三条边都相等。在这样的推理活动中，学生逐步认识了图形的特征及性质，推理能力、几何直观能力和空间观念都得以发展。？筻