探究2009年北京高考第19题

• 作 者: 宋 辉
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2009年10期
• 关键词: 定值 类比 双曲线 椭圆 切线

　　摘要:本文探究2009年北京高考第19题的一般结论及一般结论的逆定理,并将其结论类比到椭圆中,得到相应的结论及几个有趣的推论.
　　关键词:定值;类比;双曲线;椭圆;切线
　　
　　试题已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x=.
　　(1)求双曲线C的方程;
　　(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上的动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,求证∠AOB的大小是定值.
　　略解(1)双曲线C:x2-=1.
　　(2)∠AOB的大小是定值且为90°.
　　以下探究该问题的一般结论.
　　结论1 设双曲线C:-=1(b>a>0),直线l是圆O:x2+y2=上的动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,则∠AOB的大小是定值且为90°.
　　证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),令r2=,则cos∠AOB=. 过切点P(x0,y0)的切线l的方程为x0x+y0y=r2,且x+y=r2. 联立方程得x0x+y0y=r2,-=1.
　　消去y得(b2y-a2x)x2+2a2r2x0x-a2r4- a2b2y=0. Δ>0,所以x1+x2=-,x1x2=.
　　而y1y2=,
　　所以x1x2+y1y2=+
　　=
　　=.
　　由r2=,得x1x2+y1y2=0?摇.
　　故cos∠AOB=0,即∠AOB=90°.
　　显然上述北京高考题是结论1的特殊情况.
　　将以上结论类比到椭圆有如下结论.
　　结论2 设椭圆C:+=1(a>b>0),直线l是圆O:x2+y2=上的动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,则∠AOB的大小是定值且为90°.
　　证明设A(x1,y1),B(x2,y2),令r2=,则cos∠AOB=.
　　过切点P(x0,y0)的切线l的方程为:x0x+y0y=r2,且x+y=r2.联立方程得x0x+y0y=r2,+=1. 消去y得(b2y+a2x)x2-2a2r2x0x+a2r4- a2b2y=0. Δ>0,所以x1+x2=,x1x2=. 而yy=,
　　所以x1x2+y1y2=+
　　=
　　=.
　　由r2=,得x1x2+y1y2=0.
　　故cos∠AOB=0,即∠AOB=90°.
　　结论3 设椭圆C:+=1(a>b>0),若动直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB=90°,则存在定圆O:x2+y2=与直线l相切.
　　证明设直线l:y=mx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程有y=mx+n,+=1.
　　消去y得(b2+a2m2)x2+2mna2x+a2n2-a2b2=0. 所以x1+x2=-,x1x2=. y1y2=m2x1x2+mn(x1+x2)+n2. 由∠AOB=90°,得x1x2+y1y2=0,即(1+m2) -mn+n2=0.
　　化简得(a2+b2)n2=a2b2(1+m2),即 =. 若存在圆x2+y2=r2与直线l:y=mx+n相切,则圆心(0,0)到直线l的距离d=. 故存在定圆O:x2+y2=与直线l相切.
　　推论1设椭圆C:+=1(a>b>0),若动直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB=90°,则原点到动直线l的距离为定值. (证明略)
　　结论4设双曲线C:-=1(b>a>0),若动直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且∠AOB=90°,则存在定圆O:x2+y2=与直线l相切.
　　证明设直线l:y=mx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程有y=mx+n,-=1.
　　消去y得(b2-a2m2)x2-2mna2x-a2n2-a2b2=0. 所以x1+x2=,x1x2=. y1y2=m2x1x2+mn(x1+x2)+n2. 由∠AOB=90°,得x1x2+y1y2=0,
　　即(1+m2)+mn+n2=0. 化简得(b2-a2)n2=a2b2(1+m2),即=.
　　若存在圆x2+y2=r2与直线l:y=mx+n相切,则圆心(0,0)到直线l的距离d=. 故存在定圆O:x2+y2=与直线l相切.
　　推论2 设双曲线C:-=1(b>a>0),若动直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且∠AOB=90°,则原点到动直线l的距离为定值. (证明略)