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“三角形的高”是人教版四年级数学教材“三角形的认识”一课中的重要内容，教材给出了这样的定义：“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。”从定义的角度来分析，三角形的高属于陈述性知识的范畴。学生并非第一次接触高的概念（学生在四年级上册学习平行四边形和梯形的知识时，已认识到图形的高的概念），且已具备了“通过已知直线外一点向该直线作垂线”的基本技能，因此对于“三角形的高”的概念，学生似乎可以借助原有知识经验来习得。那么，学生究竟能否自主习得这一概念呢？
问题产生：学生读了“定义”，怎么就不会画呢
在一次教学研讨活动中，笔者执教了“三角形的认识”一课，关于“高”的教学，就尝试先让学生自学课本上的“底”和“高”的定义，然后提出要求：画出三角形的高。结果出现了以下三种状况：
前面两种结果显然不对，有半数以上的学生能够画出三角形BC边上的高（如图1中第三种情况）。能够结合高的定义，画出这个三角形的3条高的，全班中只有2位，而且这2位学生在数量上想到了可以画3条，但在画AB和AC边上的高时，明显没有画垂直。结果表明，学生通过自主阅读课本定义，尚未建立起正确的“三角形的高”的概念。
原因分析：概念理解的过程并不是一蹴而就的
针对这一现象，笔者进行了深入思考，认为与三个方面因素相关：
首先，从认知能力上来分析，学生在把文字转化为图形的过程中，不仅仅是思维上存在着一定的障碍，更主要的是缺少必要的图式作支持。因为教材高的定义中，“垂线”与“点到直线的距离”这两个几何基本概念需要学生在思维中有所复现。如果在解读这段文字时，学生对这两个概念已经淡忘，那么就会给学生理解三角形高的定义带来困难。
其次，从知识基础上来分析，学生对三角形“三条边、三个顶点、三个角”的基本特征与“高”的概念间，还没有建立起相应的联系，知识缺乏整体性。与平行四边形、梯形的高可以画无数条不同，三角形的高，因为其特定的形状，需要画在三个特定的位置，故三角形的“底”和“高”规定为3组（如图2），垂直线段AD是边BC上的高，垂直线段BE是边AC边上的高，垂直线段CF是边AB上的高。
最后，学生对“高”这一概念中非本质属性的认识经验影响了对三角形高的认识。能够画出BC边上的高，而没有想到去画AB或者AC边上高的学生，与其受生活概念“高”的意义的负迁移有相当关系。因为在学生的认知中，高低一般是指物体垂直上下的距离。因为对概念非本质属性的认知，淡化了本质属性的理解，在学生学习中也是一种比较常见的现象。因此，三角形高的概念建立，从对非本质属性的关注到对本质属性的把握，其间需要教师的有效引导。
实践思考：几何概念的建构是一个典型的表象建立与丰富的过程
三角形的高，是一个典型的几何概念。虽然，从定义的陈述角度来看，它属于陈述性知识。陈述性知识的习得，可以通过读读、记记来完成，但这只是一种方式。对于一些几何概念，因为涉及到空间与图形的特征，其理解掌握过程需要有相应的形象化材料作支撑，表象建立在几何概念的认识与理解过程中，显得尤为重要。笔者认为，学生在阅读三角形“高”的定义后所形成的认识，还只是一个表象初步建立的阶段，认识高的过程，需要不断地丰富表象、完善表象，最终才能形成完整的概念认识。因此，我们的教学实践需要围绕概念形成的三个层次来设计与教学。
1.表象初步建立层次的活动设计及教学思考
活动：尝试在三角形（锐角三角形）中画出高。活动中，学生可以在自学课本基础上尝试画，也可以凭经验去画，为后续讨论交流提供必要的学习材料。
交流画了1条高的学生作业，分为两个步骤：
第一步，先交流画得正确的作业，引导学生思考两个问题：①为什么说画的这条线段是这个三角形的高？引导学生用“高”的定义来解释，自己所画的“从一个顶点向对边画的一条垂直线段”就是这条边上的“高”。②为什么要这样画？强调三角形某条边上高的画法。这两个问题是相互补充的，核心目标均在引导学生围绕“高”的定义中的核心要素“顶点到对边的距离”进行解释，帮助学生建立起三角形“高”的正确表象。当对画得正确的作业进行解读和评析后，再用一幅画得正确的作业进行强化。
第二步，呈现画得不正确的作业（如前文呈现的两种典型错误）。这两种错误作业无论先反馈哪一种，在反馈时一定要学生充分解读，说出错误原因，评价依据仍然是高的定义，从而引导学生建构起高的正确表象。
2.表象丰富修正层次的活动设计及教学思考
本层次的活动主要有两个：
活动一：交流画了3条高的学生作业，引导学生完整认识锐角三角形中“高”的特征。
交流过程包含两种情况，一是数量对的，但画得不够正确；二是数量对，画得也正确。反馈时质疑的核心问题是“为什么画了3条”，从而引导学生把三角形的高与三角形的基本特征联系起来，完善认识。这个环节在课堂上只需稍加点拨，学生就会理解。
活动二：画出直角三角形（图3）指定底边上的高，然后结合作业交流。
在实践中，学生出现了以下几种错误：
全班43位学生能够正确理解这个直角三角形指定底边上高的不到30%。43位学生中，能够明确知道AC边就是BC边上的高的学生只有1位，其他画正确的学生均在AC边的上面作了一条与它重合的垂直线段（有铅笔印痕）。出现这种情况，一则因为学生对三角形高的概念建构还不完善，还没有真正把“从‘顶点’向‘对边’作‘垂线’”理解为高的本质属性；另外一个原因则是因为学生对直角三角形中直角的特征，与直角边上对应的“高”缺少联接经验。从教材编排来看，学生在这之前还没有学习“三角形的分类”，还不知道有“直角三角形”一说。因此，学生还不习惯借助直角三角形本身具有的元素——直角来联接“垂直线段”与“高”的概念。这恰恰是本节课教学中需要教师帮助学生突破的关节点，是丰富“高”的表象的重要环节。因此，教学时的反馈过程显得极其重要。实践中，笔者是这样来操作的：
（1）抓住错误作业，引导辨析思考。在点评几种错误时，教师始终引导学生围绕三角形高的定义进行分析。这样的分析过程，一是引导学生进一步理解高的定义，二是让一些学生产生认知冲突。因为在直角三角形中，直角边上的高分别是另外一条直角边，学生画对的话，只需画出一条与另一条直角边重合的线段即可，或者说根本就不需要画。因为另一条直角边完全符合三角形高的定义。因此，在学生能够判定几种错误情况时，呈现那种与另一条直角边重合的画法与没有画直接在另一条直角边旁写上“高”的作业，顺势请学生判断。学生有一种恍然大悟的感觉。
（2）拓展作业，完善认识。直角三角形中画高的作业，不能仅仅止于画正确一条高。实践中，笔者在学生完成了画指定底边上的“高”这个任务后，顺势引导学生思考“另外两条边上对应的高是怎样的”，使其最终认识到直角三角形也有相对应的3组底和高，并清楚地知道某条直角边上的高是另外一条直角边。
3.概念清晰完备层次的活动设计及教学思考
活动：画出图5中三角形指定底边上的高。
引入钝角三角形中高的认识，引导学生对三类三角形中的高的基本特点有较为完整的认识，对于学生完整认识三角形高的概念有相当大的价值。当然，对于这一目标，还不能体现在作图上，因为作钝角三角形短边上的高，对小学生不作要求。笔者在钝角三角形中的高的教学实践中，分了两个层次来落实：
（1）正确画出指定底边（最长边）上的高。实践中，学生画后交流点评。首先评改错误情况，即从钝角的顶点出发画出一条与某条短边垂直的线段，误作最长边上的高。此时需要引导学生注意一下画垂线的技巧。然后反馈画得正确的作业，请学生说画法，强化认识。
（2）质疑引思，启发想象：另外两条边上对应的高在哪里？此时，学生碰到了困难，因为有学生质疑另外两条边是无法画出高的。笔者以为，学生出现这样一种疑惑，说明其对三角形高的定义是真正理解了。因为，此时学生对三角形高的定义的理解与钝角三角形本身的特点联系起来了，是在无法操作的前提下，产生了矛盾冲突。此时，把钝角三角形另外两条边上的高也展示出来，请学生了解画法及图像，一是让学生初步感知“钝角三角形内只能画出最长边上的高，还有两条高，只能画在三角形外”的知识点；二是使学生充分了解所有三角形均有3组对应的“底”和“高”的知识，从而对“三角形的高”的知识有完整的认识。
笔者认为，以上三角形高的教学实践过程，通过三个层次的教学活动，遵循了概念建构的基本规律，印证了几何概念教学中表象形成与完善的重要价值，也体现了概念教学的一般规律，是一种典型的有意义学习。
问题产生：学生读了“定义”，怎么就不会画呢
在一次教学研讨活动中，笔者执教了“三角形的认识”一课，关于“高”的教学，就尝试先让学生自学课本上的“底”和“高”的定义，然后提出要求：画出三角形的高。结果出现了以下三种状况：
前面两种结果显然不对，有半数以上的学生能够画出三角形BC边上的高（如图1中第三种情况）。能够结合高的定义，画出这个三角形的3条高的，全班中只有2位，而且这2位学生在数量上想到了可以画3条，但在画AB和AC边上的高时，明显没有画垂直。结果表明，学生通过自主阅读课本定义，尚未建立起正确的“三角形的高”的概念。
原因分析：概念理解的过程并不是一蹴而就的
针对这一现象，笔者进行了深入思考，认为与三个方面因素相关：
首先，从认知能力上来分析，学生在把文字转化为图形的过程中，不仅仅是思维上存在着一定的障碍，更主要的是缺少必要的图式作支持。因为教材高的定义中，“垂线”与“点到直线的距离”这两个几何基本概念需要学生在思维中有所复现。如果在解读这段文字时，学生对这两个概念已经淡忘，那么就会给学生理解三角形高的定义带来困难。
其次，从知识基础上来分析，学生对三角形“三条边、三个顶点、三个角”的基本特征与“高”的概念间，还没有建立起相应的联系，知识缺乏整体性。与平行四边形、梯形的高可以画无数条不同，三角形的高，因为其特定的形状，需要画在三个特定的位置，故三角形的“底”和“高”规定为3组（如图2），垂直线段AD是边BC上的高，垂直线段BE是边AC边上的高，垂直线段CF是边AB上的高。
最后，学生对“高”这一概念中非本质属性的认识经验影响了对三角形高的认识。能够画出BC边上的高，而没有想到去画AB或者AC边上高的学生，与其受生活概念“高”的意义的负迁移有相当关系。因为在学生的认知中，高低一般是指物体垂直上下的距离。因为对概念非本质属性的认知，淡化了本质属性的理解，在学生学习中也是一种比较常见的现象。因此，三角形高的概念建立，从对非本质属性的关注到对本质属性的把握，其间需要教师的有效引导。
实践思考：几何概念的建构是一个典型的表象建立与丰富的过程
三角形的高，是一个典型的几何概念。虽然，从定义的陈述角度来看，它属于陈述性知识。陈述性知识的习得，可以通过读读、记记来完成，但这只是一种方式。对于一些几何概念，因为涉及到空间与图形的特征，其理解掌握过程需要有相应的形象化材料作支撑，表象建立在几何概念的认识与理解过程中，显得尤为重要。笔者认为，学生在阅读三角形“高”的定义后所形成的认识，还只是一个表象初步建立的阶段，认识高的过程，需要不断地丰富表象、完善表象，最终才能形成完整的概念认识。因此，我们的教学实践需要围绕概念形成的三个层次来设计与教学。
1.表象初步建立层次的活动设计及教学思考
活动：尝试在三角形（锐角三角形）中画出高。活动中，学生可以在自学课本基础上尝试画，也可以凭经验去画，为后续讨论交流提供必要的学习材料。
交流画了1条高的学生作业，分为两个步骤：
第一步，先交流画得正确的作业，引导学生思考两个问题：①为什么说画的这条线段是这个三角形的高？引导学生用“高”的定义来解释，自己所画的“从一个顶点向对边画的一条垂直线段”就是这条边上的“高”。②为什么要这样画？强调三角形某条边上高的画法。这两个问题是相互补充的，核心目标均在引导学生围绕“高”的定义中的核心要素“顶点到对边的距离”进行解释，帮助学生建立起三角形“高”的正确表象。当对画得正确的作业进行解读和评析后，再用一幅画得正确的作业进行强化。
第二步，呈现画得不正确的作业（如前文呈现的两种典型错误）。这两种错误作业无论先反馈哪一种，在反馈时一定要学生充分解读，说出错误原因，评价依据仍然是高的定义，从而引导学生建构起高的正确表象。
2.表象丰富修正层次的活动设计及教学思考
本层次的活动主要有两个：
活动一：交流画了3条高的学生作业，引导学生完整认识锐角三角形中“高”的特征。
交流过程包含两种情况，一是数量对的，但画得不够正确；二是数量对，画得也正确。反馈时质疑的核心问题是“为什么画了3条”，从而引导学生把三角形的高与三角形的基本特征联系起来，完善认识。这个环节在课堂上只需稍加点拨，学生就会理解。
活动二：画出直角三角形（图3）指定底边上的高，然后结合作业交流。
在实践中，学生出现了以下几种错误：
全班43位学生能够正确理解这个直角三角形指定底边上高的不到30%。43位学生中，能够明确知道AC边就是BC边上的高的学生只有1位，其他画正确的学生均在AC边的上面作了一条与它重合的垂直线段（有铅笔印痕）。出现这种情况，一则因为学生对三角形高的概念建构还不完善，还没有真正把“从‘顶点’向‘对边’作‘垂线’”理解为高的本质属性；另外一个原因则是因为学生对直角三角形中直角的特征，与直角边上对应的“高”缺少联接经验。从教材编排来看，学生在这之前还没有学习“三角形的分类”，还不知道有“直角三角形”一说。因此，学生还不习惯借助直角三角形本身具有的元素——直角来联接“垂直线段”与“高”的概念。这恰恰是本节课教学中需要教师帮助学生突破的关节点，是丰富“高”的表象的重要环节。因此，教学时的反馈过程显得极其重要。实践中，笔者是这样来操作的：
（1）抓住错误作业，引导辨析思考。在点评几种错误时，教师始终引导学生围绕三角形高的定义进行分析。这样的分析过程，一是引导学生进一步理解高的定义，二是让一些学生产生认知冲突。因为在直角三角形中，直角边上的高分别是另外一条直角边，学生画对的话，只需画出一条与另一条直角边重合的线段即可，或者说根本就不需要画。因为另一条直角边完全符合三角形高的定义。因此，在学生能够判定几种错误情况时，呈现那种与另一条直角边重合的画法与没有画直接在另一条直角边旁写上“高”的作业，顺势请学生判断。学生有一种恍然大悟的感觉。
（2）拓展作业，完善认识。直角三角形中画高的作业，不能仅仅止于画正确一条高。实践中，笔者在学生完成了画指定底边上的“高”这个任务后，顺势引导学生思考“另外两条边上对应的高是怎样的”，使其最终认识到直角三角形也有相对应的3组底和高，并清楚地知道某条直角边上的高是另外一条直角边。
3.概念清晰完备层次的活动设计及教学思考
活动：画出图5中三角形指定底边上的高。
引入钝角三角形中高的认识，引导学生对三类三角形中的高的基本特点有较为完整的认识，对于学生完整认识三角形高的概念有相当大的价值。当然，对于这一目标，还不能体现在作图上，因为作钝角三角形短边上的高，对小学生不作要求。笔者在钝角三角形中的高的教学实践中，分了两个层次来落实：
（1）正确画出指定底边（最长边）上的高。实践中，学生画后交流点评。首先评改错误情况，即从钝角的顶点出发画出一条与某条短边垂直的线段，误作最长边上的高。此时需要引导学生注意一下画垂线的技巧。然后反馈画得正确的作业，请学生说画法，强化认识。
（2）质疑引思，启发想象：另外两条边上对应的高在哪里？此时，学生碰到了困难，因为有学生质疑另外两条边是无法画出高的。笔者以为，学生出现这样一种疑惑，说明其对三角形高的定义是真正理解了。因为，此时学生对三角形高的定义的理解与钝角三角形本身的特点联系起来了，是在无法操作的前提下，产生了矛盾冲突。此时，把钝角三角形另外两条边上的高也展示出来，请学生了解画法及图像，一是让学生初步感知“钝角三角形内只能画出最长边上的高，还有两条高，只能画在三角形外”的知识点；二是使学生充分了解所有三角形均有3组对应的“底”和“高”的知识，从而对“三角形的高”的知识有完整的认识。
笔者认为，以上三角形高的教学实践过程，通过三个层次的教学活动，遵循了概念建构的基本规律，印证了几何概念教学中表象形成与完善的重要价值，也体现了概念教学的一般规律，是一种典型的有意义学习。