2016年普通高等学校招生全国统一考试全

• 出 处: 广东教育·高中
• 发表日期: 2016年3期
• 关键词: 小题 抛物线 方程 平面 满分 双曲线

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
　　第Ⅰ卷
　　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
　　A. 是有零点的奇函数
　　B. 是没有零点的奇函数
　　C. 既是偶函数又在（0， ∞）上是减函数
　　D. 既是偶函数又在（0， ∞）上是增函数
　　（6）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，22），从中随机取一件，其长度误差落在区间（-2，4）内的概率为（附：若随机变量？孜服从正态分布N（？滋，？滓2），则P（？滋-？滓<？孜<？滋 ？滓）=68.26%，P（？滋-2？滓<？孜<？滋 2？滓）=95.44%）=（ ）
　　（10）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PQ弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MN弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知点F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：mm），可知双曲线的离心率为（ ）
　　（12）对于任意一个四面体A1-A2A3A4. 如果存在依次排列的四个相互平行的平面？琢1，？琢2，？琢3，？琢4，使得Ai∈？琢i（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等，则称这四个平面为该四面体的一组平行分割面.则下面关于正四面体的平行分割面论述正确的是（ ）
　　A. 正四面体没有平行分割面
　　B. 正四面体有且只有有限组平行分割面
　　C. 正四面体有无穷多组平行分割面
　　D. 正四面体是否存在平行分割面与棱长有关，故无法确定
　　第II卷
　　一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
　　（13）已知tan？琢=2，则的值为 .
　　（14）若变量x，y满足约束条件x y-1≥0，x≤3，x-y 1≥0，则的取值范围是 .
　　（15）已知抛物线C∶y2=2px（p>0）的焦点为F，过抛物线上点M（2，m）作半径为3的圆，该圆与抛物线C的准线相切.
　　（1）则p= ；
　　（2）连接并延长MF与抛物线C交于点N，则NF= .
　　（16）已知A，B，C为单位圆O上任意不重合的三点，如果对于任意x，y∈R，且x2 y2=1，总有=x y，则三角形ABC的面积的最大值为 .
　　二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
　　（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且A，B，C 成等差数列.
　　（Ⅰ）若b=，a=2，求c的值；
　　（Ⅱ）若f（x）=cos2x-cosx，求f（A）的取值范围.
　　（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，ABEF为直角梯形，∠BAF=，EF//AB，且平面ABEF⊥ABCD平面，其中AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为线段DF上动点.
　　（Ⅰ）若点P为线段DF中点，求证：BF//平面ACP；
　　（Ⅱ）求二面角F-BD-A的余弦值；
　　（Ⅲ）试判断为何值时，平面FDC⊥平面APC.
　　（19）（本小题满分12分）某公司为响应国家节能减排的号召，进行技术更新.下表提供了该公司节能减排技术更新后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据.
　　（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
　　（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求y关于x的线性回归方程=x ；
　　（Ⅲ）用所求回归方程，预测生产10吨该产品的生产能耗.
　　附：回归方程=x 中
　　b==a=-b.
　　（20）（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx-.
　　（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
　　（Ⅱ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）　　（Ⅲ）若？坌x∈（0，1），f（x）　　（21）（本小题满分12分）已知椭圆C∶ =1（a>b>0）的一个焦点为F（，0），离心率为. 圆x2 y2=1的切线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.
　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；
　　（Ⅱ）求四边形AMBN面积的最大值.
　　请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做第一个题目计分.
　　（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
　　如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3.过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E.
　　（Ⅰ）证明：△ABC∽△ACD；
　　（Ⅱ）求线段AE的长.
　　（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
　　在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t 2，y=2-t（参数t∈R），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为？籽=4sin？兹，直线l与圆C交于A，B两点.
　　（Ⅰ）求AB的值； 　　（Ⅱ）设P为圆C上任意一点，求PA2 PB2的最大值.
　　（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
　　设函数f（x）=4x-a-3（a∈R）.
　　（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）有几个零点；
　　（Ⅱ）若不等式f（x）　　2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷
　　理科数学模拟试题
　　答案及解析
　　（1）解析：A={1，2，3，4，5}，B={x│-1≤x≤4}，因此A∩B={1，2，3，4}，选A.
　　（2）解析：==-1-i，对应点的坐标为（-1，-1），所以在第三象限，选C.
　　（3）解析：由已知的三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其直观图如下图所示.
　　该几何体底面为等腰三角形，并且AC=BC=5，AB=6，其侧棱AA1=8，所以该几何体的表面积为（5 5 6）×8 2××6×4=152，选D.
　　（4）解析：本题执行过程为：
　　所以，判断框内可填入的条件是s>，选B.
　　（5）解析：因为f（-x）=（-x）2 cos（-x）=x2 cosx=f（x），所以f（x）是偶函数；又当x>0时，f′（x）=x-sinx>0，所以函数f（x）在（0， ∞）上是增函数，选D.
　　（6）解析：P（-2<？孜<4）=68.26% （95.44%-68.26%）=68.26% 13.59%=81.85，答案选C.
　　（7）解析：由an-an-1=n，an-1-an-2=n-1，……a2-a1=2，可得an=1 2 … n=，
　　==2（-），
　　所以 … =2（- - …-）=，选A.
　　（8）解析：P（A）===，选D.
　　（9） 解析：该项为C25x2·C33y3，所以m n=13，选D.
　　（10）解析：由图易知，双曲线中c a=2000，c-a=500，从而a=750，c=1250，则e==，选A.
　　（11）解析：设F（x）=f（x）·x，则当x<0时，F′（x）=f′（x）·x f（x）>0，且F（-3）=f（-3）×（-3）=0，同时F（-x）=f（-x）·（-x）=-f（x）·（-x）=f（x）·x=F（x），所以函数F（x）为偶函数，简图如下可得结论.选A.
　　（12）解析：如图所示为其中一组分割，所以答案选B.
　　（13）解析：=-tan？琢=-.
　　（14）解析：做出线性约束条件所表示的区域，如下图所示，根据的几何意义——坐标原点与阴影部分任意一点连线的距离——可知的取值范围为[，5].
　　（15）解析：p=2，│NF│=.
　　（16）解析：因为=x y，所以=（x y）2，又因为x2 y2=1，以及││=││=││=1，可知⊥，之后易得三角形ABC面积的最大值为 .
　　（17）解析：（Ⅰ）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A C.
　　因为A B C=？仔，所以B=.
　　因为b=，a=2，b2=a2 c2-2accosB，
　　所以c2-2c-3=0.
　　所以c=3或c=-1（舍去）.
　　（Ⅱ）因为f（x）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2（cosx-）2-.
　　所以f（A）=2（cosA-）2- .
　　因为B=，所以 0　　当cosA=时，f（A）有最小值是-，
　　所以f（A）的取值范围是[-，0）.
　　（18）解析：（Ⅰ）证明：记BD与AC的交点为O，连接OP.
　　因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF？埭平面ACP，OP？奂平面ACP，所以BF // 平面ACP.
　　（Ⅱ）因为∠BAF=，所以AF⊥AB，因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.
　　所以B（1，0，0） ，
　　F（0，0，1），D（0，2，1）.
　　所以 =（1，0，-1），=（0，2，-1），易得平面FBD的法向量为=（2，1，2），
　　平面ABD的法向量为=（0，0，1）.
　　所以cos<，>==，显然二面角F-BD-A为锐角，所以二面角F-BD-A的余弦值为.
　　（Ⅲ）设=t，即=t，则P点坐标为（0，2t，1-t）， 在平面APC中，=（0，2t，1-t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量为=（-2，1，），在平面FDC中，=（0，2，-1），=（1，0，0）.
　　所以平面FDC的法向量为=（0，1，2）， 因为平面FDC⊥平面APC，所以·=0，解得t=.
　　所以当=时，平面FDC⊥平面APC.
　　（19）解析：（Ⅰ）略.
　　（Ⅱ）由公式可知，x=4.5，y=3.5，===0.7，=3.5-0.7×=0.35，所以线性回归方程为y=0.7x 0.35.
　　（Ⅲ）当x=10时，y=0.7x 0.35=7.35，所以预测生产10吨该产品的生产能耗为7.35吨标准煤.
　　（20）解析：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-，定义域为（0， ∞），f′（x）=（x-1），所以f′（1）=1，且f（1）=0，所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1. 　　（Ⅱ）当x∈（0，1）时，f（x）0，故g（x）在（0，1）上为增函数，则当x∈（0，1）时，g（x）　　（Ⅲ）若？坌x∈（0，1），f（x）　　=-（x-1）-k=.
　　当k≤1时，F′（x）=-x 1-k，因为00，所以F′（x）>0，也就是说函数F（x）在（0，1）上是增函数，F（x）1时，令F′（x）=-（x-1）-k=.
　　此时，记g（x）=-x2 （1-k）x 1，显然g′（x）=-2x （1-k）<0，所以函数g（x）在（0，1）上是减函数，且g（0）=1>0，g（1）=1-k<0，所以存在x0∈（0，1），使得：
　　显然x∈（x0，1）时，F（x）>F（1）=0，不能使得F（x）<0恒成立，综上所述可知：k的最大值为1.
　　（21）解析：（Ⅰ）由题意可得：
　　c=，=a2=b2 c2，，解得a=2，b=1，
　　故椭圆的方程为 y2=1.
　　（Ⅱ）①当直线l斜率不存在时AB的坐标分别为（1，），（1，-），此时│AB│=，│MN│=4，所以，四边形AMBN面积为SAMBN=│MN│·│AB│=2.
　　②当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx m（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），N（-x0，-y0），点M、N到直线l的距离分别为d1，d2，则四边形AMBN面积为SAMBN=│AB│（d1 d2）.
　　由y=kx m， y2=1， 解得（1 4k2）x2 8kmx 4m2-4=0，则x1 x2=-，x1x2=，所以│AB│=
　　==.因为y1 y2=k（x1 x2） 2m=，则AB中点D（-，）.所以直线OD方程为x 4ky=0，由x 4ky=0， y2=1，解得x0=-4ky0，y20=.
　　所以SAMBN=│AB│（d1 d2）
　　=（ ）
　　=2
　　=2
　　=4
　　=4.
　　由于直线l：y=kx m（k≠0）与单位圆x2 y2=1相切，所以1=，也就是m2=1 k2，所以SAMBN=4=4<2.
　　综上所述，四边形AMBN面积的最大值为2.
　　（22）（Ⅰ）证明：因为l为圆O的切线，根据弦切角定理，可知∠ABC=∠ACD，同时∠ACB=∠ADC=，所以△ABC∽△ACD.
　　（Ⅱ）解析：因为BC=3，AB=6，∠ACB=，所以AC=3.
　　因为△ABC∽△ACD，所以==，所以AD=，CD=，由切割线定理，可知CD2=DE·DA，DE=，所以AE=3.
　　（23）解析：（Ⅰ）直线l的普通方程为y=-x 4，圆C的普通方程为x2 （y-2）2=4，所以A，B两点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），所以│AB│=2.
　　（Ⅱ）因为P为圆C上任意一点，所以可设P（2cos？琢，2 2sin？琢）（0≤？琢<2？仔），所以│PA│2 │PB│2=（2cos？琢）2 （2-2sin？琢）2 （2-2cos？琢）2 （2sin？琢）2=12-8sin？琢-8cos？琢=12-8sin（？琢 ）.
　　因为0≤？琢<2？仔，所以？琢=？仔当时，│PA│2 │PB│2的最大值为12 8.
　　（24）解析：（Ⅰ）当a=1时，令f（x）=│4x-1│-3=0，解得x1=-，x2=1，所以函数f（x）有两个零点；
　　（Ⅱ）因为f（x）<0，所以│4x-a│<3，则-3<4x-a<3，从而