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摘要：本文对2011年四川省高考数学理科卷第21題的第二个问题展开五层探究，总结得到六个命题．
关键词：高考题；探究
2011年四川省高考数学理科卷第21题为：椭圆有两顶点A（-1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）略；（2）当点P异于A，B两点时，求证：• 为定值．
图1
此椭圆中b=c=1，可证得•=1． •与b或c存在某种内在联系吗？由此引发第一层探究．
探究1：定值的特殊性
命题1：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），过焦点F（0，c）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，点P异于A，B两点，直线AC与BD交于点Q，则•=b2．
证明：直线l显然存在斜率，设其方程为y=kx+ck≠0，k≠±，点C，D的坐标分别设为（x1，y1），（x2，y2），．
由y=kx+c，+=1， 消去y得（b2k2+a2）x2+2b2ckx－b4=0，故x1+x2=－，x1x2= －．
直线AC的方程为y=（x+b），直线BD的方程为y=•（x-b）．
故=，由－b y1y2=（kx1+c）（kx2+c）=k2x1x2+kc•（x1+x2）+c2=－•，则与y1y2异号，故=，解得x=－． 所以•=－，0•－，y=b2． 至此命题1得证．
如果直线l经过椭圆长轴上的任意一点（不含中心）而其他条件不变，此时•=b2是否仍然成立？由此引发第二层探究．
探究2：由长轴上的特殊点变为长轴上任意点
命题2：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），过长轴上任意点F（0，m） （0 证明：设直线l的方程为y=kx+mk≠0，k≠±，0 2=•==2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km•（x1+x2）+m2= －•（bk+m）（bk-m），故=，解得x=－． 所以•=－，0•－，y=b2，至此命题2得证．
如果把直线l过长轴上的任意点改为过短轴上的任意点（不含中心），那么•=b2仍然成立吗？由此引发第三层探究．
探究3：由直线过长轴上的任意点变为直线过短轴上任意点
命题3：已知椭圆+=1的两顶点A（0，-a），B（0，a），过短轴上任意点（m，0）（0 此命题的证明可参照命题1和命题2的证明，不再赘述．
以上探究都基于直线过椭圆长、短轴上的点，若放开目光，在椭圆上选取动点，与顶点作连线，又将带来什么新的发现？由此引发第四层探究．
探究4：由长、短轴上的任意点变为椭圆上任意点
命题4：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），点M是椭圆上除顶点外的任意点，直线MA，MB分别与y轴交于点P，Q，则•=a2．
图1
证明：设压缩变换f把点（x，y）变为点（x1，y1），且满足
x1=x，y1=y. 在f的作用下椭圆+=1变为圆x2+y2=a2． 如图1所示，椭圆上的点A，B，M分别变为圆上的点A1，B1，M1，点O，P，Q在变换前后保持不变，直线A1M1与直线B1M1与y轴的交点仍是点P，Q．
容易看出Rt△A1OP∽Rt△QOB1，所以=，故OP•OQ=OA1•OB1=a2.
所以在椭圆+=1中，•=OP•OQ=a2，至此命题3得证．
类比推理，不难得到与命题4类似的命题．
命题5：已知椭圆+=1的两顶点A（0，-a），B（0，a），点M是椭圆上除顶点外的任意点，直线MA，MB分别与x轴交于点P，Q，则•=b2．
此命题的证明可参照命题4的证明，不再赘述．
在探究4中，椭圆上的动点分别与椭圆的顶点作连线，如果椭圆上的动点与两焦点作连线，又将如何？由此引发第五层探究．
探究5：由椭圆上任意点与顶点相连变为与焦点相连
命题6：已知椭圆+=1，M是椭圆上的任意点，MF1，MF2分别与椭圆交于点A，B，设=λ，=μ，则λ+μ=2（e为椭圆离心率）．
证明：若M是椭圆的长轴顶点，结论易于证明；反之则设点M的坐标为（x0，y0）（x0≠0），MF1，MF2的直线方程分别是y=x+c，y=x－c．
由y=x+c，+=1，
得•x2+x－b2=0，故x0xA=，则xA=． 同理得xB=．
则λ+μ=+=+=．
命题5得证．
至此本文完成了对此道高考题的五层探究． 每年的高考试题无不凝集着命题者的智慧和汗水，给我们日常的数学教学提供了丰富的、宝贵的鲜活资源． 作为一线教学者，我们理应重视对高考试题的深入思考和理性探究，洞察命题的设想和解题的思路，才能在丰富的变化中把握客观规律，才能更好地应用于数学教学．
关键词：高考题；探究
2011年四川省高考数学理科卷第21题为：椭圆有两顶点A（-1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）略；（2）当点P异于A，B两点时，求证：• 为定值．
图1
此椭圆中b=c=1，可证得•=1． •与b或c存在某种内在联系吗？由此引发第一层探究．
探究1：定值的特殊性
命题1：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），过焦点F（0，c）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，点P异于A，B两点，直线AC与BD交于点Q，则•=b2．
证明：直线l显然存在斜率，设其方程为y=kx+ck≠0，k≠±，点C，D的坐标分别设为（x1，y1），（x2，y2），．
由y=kx+c，+=1， 消去y得（b2k2+a2）x2+2b2ckx－b4=0，故x1+x2=－，x1x2= －．
直线AC的方程为y=（x+b），直线BD的方程为y=•（x-b）．
故=，由－b
如果直线l经过椭圆长轴上的任意一点（不含中心）而其他条件不变，此时•=b2是否仍然成立？由此引发第二层探究．
探究2：由长轴上的特殊点变为长轴上任意点
命题2：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），过长轴上任意点F（0，m） （0
如果把直线l过长轴上的任意点改为过短轴上的任意点（不含中心），那么•=b2仍然成立吗？由此引发第三层探究．
探究3：由直线过长轴上的任意点变为直线过短轴上任意点
命题3：已知椭圆+=1的两顶点A（0，-a），B（0，a），过短轴上任意点（m，0）（0
以上探究都基于直线过椭圆长、短轴上的点，若放开目光，在椭圆上选取动点，与顶点作连线，又将带来什么新的发现？由此引发第四层探究．
探究4：由长、短轴上的任意点变为椭圆上任意点
命题4：已知椭圆+=1的两顶点A（-b，0），B（b，0），点M是椭圆上除顶点外的任意点，直线MA，MB分别与y轴交于点P，Q，则•=a2．
图1
证明：设压缩变换f把点（x，y）变为点（x1，y1），且满足
x1=x，y1=y. 在f的作用下椭圆+=1变为圆x2+y2=a2． 如图1所示，椭圆上的点A，B，M分别变为圆上的点A1，B1，M1，点O，P，Q在变换前后保持不变，直线A1M1与直线B1M1与y轴的交点仍是点P，Q．
容易看出Rt△A1OP∽Rt△QOB1，所以=，故OP•OQ=OA1•OB1=a2.
所以在椭圆+=1中，•=OP•OQ=a2，至此命题3得证．
类比推理，不难得到与命题4类似的命题．
命题5：已知椭圆+=1的两顶点A（0，-a），B（0，a），点M是椭圆上除顶点外的任意点，直线MA，MB分别与x轴交于点P，Q，则•=b2．
此命题的证明可参照命题4的证明，不再赘述．
在探究4中，椭圆上的动点分别与椭圆的顶点作连线，如果椭圆上的动点与两焦点作连线，又将如何？由此引发第五层探究．
探究5：由椭圆上任意点与顶点相连变为与焦点相连
命题6：已知椭圆+=1，M是椭圆上的任意点，MF1，MF2分别与椭圆交于点A，B，设=λ，=μ，则λ+μ=2（e为椭圆离心率）．
证明：若M是椭圆的长轴顶点，结论易于证明；反之则设点M的坐标为（x0，y0）（x0≠0），MF1，MF2的直线方程分别是y=x+c，y=x－c．
由y=x+c，+=1，
得•x2+x－b2=0，故x0xA=，则xA=． 同理得xB=．
则λ+μ=+=+=．
命题5得证．
至此本文完成了对此道高考题的五层探究． 每年的高考试题无不凝集着命题者的智慧和汗水，给我们日常的数学教学提供了丰富的、宝贵的鲜活资源． 作为一线教学者，我们理应重视对高考试题的深入思考和理性探究，洞察命题的设想和解题的思路，才能在丰富的变化中把握客观规律，才能更好地应用于数学教学．