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《数学课程标准》倡导“自主——合作——探究”的学习方式，强调学习是一个主动建构的过程。因此，教师应注重培养学生学习的独立性和自主性，让学生在教师的指导下主动地参与学习，亲历学习过程，从而学会学习。
曾听一位教师执教“倍数和因数”一课，给我留下了深刻的印象。
片断一：直观认识概念
（让学生把12个正方形拼成一个大的长方形，并用一个乘法算式表示出每排个数、排数、总个数之间的关系）
师：你是怎样拼的？算式是怎样的？
生1：我排成了2排，每排6个。算式是2×6＝12。
生2：我排成了3排，每排4个。算式是3×4＝12。
生3：我排成了1排，12个。算式是1×12＝12。
师（指着一个算式中的三个数）：数字之间有时候是有联系的，我们这节课就来研究数与数之间的关系。像2×6＝12，我们就说12是2的倍数，那12也是——（6的倍数）还可以说2是12的因数，那6是——（12的因数）
……
这一环节的设计从直观的操作入手，便于学生从生活场景中抽象出数学知识，加强数学与生活的联系。特别是操作活动的设计呈开放化的发展，可以借助算式让学生在模仿中发展对概念的认识，抽象出倍数和因数的本质特征加以理解。学生很容易理解倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。
片断二：多维度的寻找方法
师：谁能找出36的因数？（学生举手说出有12、4、6……）你是怎样想的呢？
生1：我想的是36除以哪些自然数没有余数。［师板书：36÷（ ）=（ ）］
师：可以填哪些数呢？
生2：1、2、3、4、6、9、12、18、36。（师板书学生说的数字）
师：是不是还可以这样想：36÷1=36，那1和36都是36的因数，36÷2=18，可以得出怎样的结果呢？（根据学生的回答，教师板书：1，36；2，18；3，12；4，9；6）
师：怎样找更好呢？
生3：按照第二种方法找，大的数字不容易掉，一组一组的。
生4：我想的是（ ）×（ ）=36，结果和刚才一样的。
师：从1开始，成双成对地找，这样才能不重复、不遗漏。
……
这一环节的设计经历了一个从无序到有序、从把握个别到统揽整体、从思维混沌走向思维清晰的过程。应该说，让学生找出一个数的一个或几个因数不难，难点在于能找全，并且能不重复、不遗漏。教师在处理这一教学过程的时候，充分尊重学生的主体地位，先让他们自由地说，再引导学生说出想的过程，并加以调整。这表面看来仅仅是组合的变换，实质上是思维的提高和方法的优化，并让学生比较出哪种方法更好。由于有先前的思考过程，学生很容易做出判断：第二种方法能容易找全一个数的因数，特别是能很快地找出其中的大数。这样的环节是真实的，教师应该允许学生经历互相讨论、相互补充、对比优化的过程。
片断三：返回生活应用
出示题目：三年级（1）班学生进行队列表演。每行12人或16人都正好整行，这个班有多少人？
生1：我是先逐个地找出12的倍数，再分别看看它是不是16的倍数，结果发现12的4倍是48，48又是16的倍数，所以这个班有48人。
生2：我是分别找出12和16的倍数，看看哪个是相同的，结果发现48符合要求。
师：我和大家一样，也是这样想的。我还找到了一个数96，大家想想，是不是符合要求？（学生讨论）
生3：96既是12的倍数，也是16的倍数，可是，三年级（1）班学生不可能有这么多人啊！
生4：我赞成刚才这个同学的看法。表面看96符合数学上的要求，实际上96人不符合实际情况，太大了。
师：解决数学问题，不能仅仅看理论上的情况是否成立，还要有实践的检验。数学知识是用来解决生活问题的，我们要有生活的眼光呀！
……
这个环节的设计有以下几个特点：首先，为所学的数学知识寻找到生活的原型。倍数和因数的知识在生活中的应用是比较广泛的，我们可以艺术的加工生活问题，让它成为学生解决的数学问题。这种加工要掌握在一定的范围内，加工度要掌握得恰到好处。如上述案例，教师将所要用的知识悄悄地隐藏起来，只展示生活问题，让数学学习走向现实需要，学生在逐步的探索中活用倍数和因数的数学知识，理解数学知识的内涵。其次，加强了数学与生活的联系，培养了学生数学应用的意识。12和16的公倍数很多，为了限定条件，本课设计的问题中加入了“三年级（1）班学生”这样的特殊情况。学生在解决问题的过程中，从实际情况出发，发现教师提出的96不符合要求，这才是真正意义上的联系实际。
在整节课的教学中，教师应当在准确把握教学内容的数学本质和学生实际情况的基础上，客观认识和处理教学内容。只有这样，才能使自己的教学符合课程标准的精神，符合数学教学的规律，符合学生的认知特点，既有利于学生的持续发展，又有利于教学质量的全面提高。我们要通过课堂教学的设计，引导学生充分显示出自己本领，使学生把自己所学的知识系统化地运用到实践中去，发挥自己的智慧，展现自己的才华。
（责编 杜 华）
曾听一位教师执教“倍数和因数”一课，给我留下了深刻的印象。
片断一：直观认识概念
（让学生把12个正方形拼成一个大的长方形，并用一个乘法算式表示出每排个数、排数、总个数之间的关系）
师：你是怎样拼的？算式是怎样的？
生1：我排成了2排，每排6个。算式是2×6＝12。
生2：我排成了3排，每排4个。算式是3×4＝12。
生3：我排成了1排，12个。算式是1×12＝12。
师（指着一个算式中的三个数）：数字之间有时候是有联系的，我们这节课就来研究数与数之间的关系。像2×6＝12，我们就说12是2的倍数，那12也是——（6的倍数）还可以说2是12的因数，那6是——（12的因数）
……
这一环节的设计从直观的操作入手，便于学生从生活场景中抽象出数学知识，加强数学与生活的联系。特别是操作活动的设计呈开放化的发展，可以借助算式让学生在模仿中发展对概念的认识，抽象出倍数和因数的本质特征加以理解。学生很容易理解倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。
片断二：多维度的寻找方法
师：谁能找出36的因数？（学生举手说出有12、4、6……）你是怎样想的呢？
生1：我想的是36除以哪些自然数没有余数。［师板书：36÷（ ）=（ ）］
师：可以填哪些数呢？
生2：1、2、3、4、6、9、12、18、36。（师板书学生说的数字）
师：是不是还可以这样想：36÷1=36，那1和36都是36的因数，36÷2=18，可以得出怎样的结果呢？（根据学生的回答，教师板书：1，36；2，18；3，12；4，9；6）
师：怎样找更好呢？
生3：按照第二种方法找，大的数字不容易掉，一组一组的。
生4：我想的是（ ）×（ ）=36，结果和刚才一样的。
师：从1开始，成双成对地找，这样才能不重复、不遗漏。
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这一环节的设计经历了一个从无序到有序、从把握个别到统揽整体、从思维混沌走向思维清晰的过程。应该说，让学生找出一个数的一个或几个因数不难，难点在于能找全，并且能不重复、不遗漏。教师在处理这一教学过程的时候，充分尊重学生的主体地位，先让他们自由地说，再引导学生说出想的过程，并加以调整。这表面看来仅仅是组合的变换，实质上是思维的提高和方法的优化，并让学生比较出哪种方法更好。由于有先前的思考过程，学生很容易做出判断：第二种方法能容易找全一个数的因数，特别是能很快地找出其中的大数。这样的环节是真实的，教师应该允许学生经历互相讨论、相互补充、对比优化的过程。
片断三：返回生活应用
出示题目：三年级（1）班学生进行队列表演。每行12人或16人都正好整行，这个班有多少人？
生1：我是先逐个地找出12的倍数，再分别看看它是不是16的倍数，结果发现12的4倍是48，48又是16的倍数，所以这个班有48人。
生2：我是分别找出12和16的倍数，看看哪个是相同的，结果发现48符合要求。
师：我和大家一样，也是这样想的。我还找到了一个数96，大家想想，是不是符合要求？（学生讨论）
生3：96既是12的倍数，也是16的倍数，可是，三年级（1）班学生不可能有这么多人啊！
生4：我赞成刚才这个同学的看法。表面看96符合数学上的要求，实际上96人不符合实际情况，太大了。
师：解决数学问题，不能仅仅看理论上的情况是否成立，还要有实践的检验。数学知识是用来解决生活问题的，我们要有生活的眼光呀！
……
这个环节的设计有以下几个特点：首先，为所学的数学知识寻找到生活的原型。倍数和因数的知识在生活中的应用是比较广泛的，我们可以艺术的加工生活问题，让它成为学生解决的数学问题。这种加工要掌握在一定的范围内，加工度要掌握得恰到好处。如上述案例，教师将所要用的知识悄悄地隐藏起来，只展示生活问题，让数学学习走向现实需要，学生在逐步的探索中活用倍数和因数的数学知识，理解数学知识的内涵。其次，加强了数学与生活的联系，培养了学生数学应用的意识。12和16的公倍数很多，为了限定条件，本课设计的问题中加入了“三年级（1）班学生”这样的特殊情况。学生在解决问题的过程中，从实际情况出发，发现教师提出的96不符合要求，这才是真正意义上的联系实际。
在整节课的教学中，教师应当在准确把握教学内容的数学本质和学生实际情况的基础上，客观认识和处理教学内容。只有这样，才能使自己的教学符合课程标准的精神，符合数学教学的规律，符合学生的认知特点，既有利于学生的持续发展，又有利于教学质量的全面提高。我们要通过课堂教学的设计，引导学生充分显示出自己本领，使学生把自己所学的知识系统化地运用到实践中去，发挥自己的智慧，展现自己的才华。
（责编 杜 华）