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一、 研讨课简介
为了深化课堂教学改革，由北京师范大学裴娣娜教授主持的全国教育科学“十五”规划国家重点课题《主体教育视野下课堂教学改革的深化研究》课题组在北京召开了数学课堂教学改革研讨会。在会上，有六节研讨课，各有特色。展现出在新课程实施中，在总课题组指导下，成员校数学教师的精神面貌。本文将针对八年级研讨课《等腰三角形复习课》进行分析。《等腰三角形复习课》的总体思路是，通过学生用尺规作图的方法，在一个给定的基本图形上作出各种不同的等腰三角形，进而对所作出的图形进行分析，设计问题，引导学生在分析和解决问题的过程中运用三角形全等、作辅助线等方法证明线段之间的等量关系。教师在引导分析的过程中，设计了两个几何问题，引导学生进行分析，对于每个问题的解决方法，都是由学生提出，教师再进行引导和分析，也有学生在黑板上讲述自己的方法的安排。课堂井然有序，课堂气氛活跃。显示了学生是学习主体的特点。在教学手段上，教师运用儿何画板，设计周详，可见教师课前做了大量准备工作，教学态度严谨。经几位专家点评，认为是一节较好的几何课。为了研讨，本次课在事先没有专家的指导，所以是一节几近自然的课，对这节课进行片段分析，就很有意义。
二、 片段分析
片段一。教师给出下面问题，引入复习课。
如图1，已知一条直线L和L外的一点A，O是直线L上的一点，试用尺规作出过A、O两点，另外一点在L上的等腰三角形。
教师：同学们看这个题目，谁能给出解答呢?
学生1、以A为圆心，以AO为半径画弧，与直线L交于两点O，B，则三角形AOB便是所求。
教师：（用几何画板做出图2）啊，很好，谁还有不同的想法?
学生2、以O为圆心，以OA为半径画弧，与L交于两点，则可得两个等腰三角形
教师：（用儿何画板作图3）非常好。这位同学这样一来，又得到两个等腰三角形。但是，我们想想，还有别的作法吗？
学生3、过AO的中点作线段AO的垂线，与直线L交于一点E，连结AE，则三角形OAE就是一个等腰三角形。
教师对这个同学提出表扬。同时在黑板上简单地作了一条垂线，指出这也是一种情况。引导学生认识分类讨论的方法，指出，求以一条线段为边的等腰三角形要考虑各种不同的情况。遇到这种情况时要分类讨论。
接着，教师就在几何画板上将图形3去掉线段AD，得到下面的图形4。
教师提议，大家先探讨这个图形中角之间的关系。
分析：教师在复习等腰三角形的性质时，不是直接提出如：大家想想等腰三角形有什么性质之类的问题，而是通过作图，首先使学生能够全面地理解一个问题，考虑符合要求的所有情况。教师适时提出分类考虑，突显数学思维的完备性。使学生在全面考虑问题的过程中，自然地产生出一个较复杂的图形，便于进一步通过引导学生在已知图形中识别等腰三角形的角的关系，引出更复杂的探讨过程，这样，就容易培养学生面对已知图形，利用已知条件进行观察和分析图形性质的习惯和方法。体现了复习课并不只是对已学知识的简单重复，还需要激发学生探索兴趣的特点。是一个好的引入。
片段二。很快，学生就根据等腰三角形底角相等，得到在图4中，∠B=∠AOB=2∠C。
此时，教师又提出一个问题：
如果在图形4中，保留下∠B=2∠C这个条件，我们来探讨，一个角是另一个角的二倍的三角形有何性质？
分析：这里教师引导学生从分析三角形角的关系，到在所涉及图形中，确定一个已知关系的情况下，探索图形的其他性质，体现出复习课的探索性质。这个问题提得很有价值。从课堂反应中可以看到，学生对等腰三角形角的关系已经很熟悉了，此时，教师不失时机提出一些具有挑战性的问题，对学生思维保持活跃有很大作用。
片段三。教师看到学生们探索无果，便出示一个问题，说：老师这里提醒大家，在三角形中，有一条重要线段，是高，（随即在几何画板上作出边BC的高AH，并把图4中的AO去掉，如图5），看学生还是茫然，教师便把事先设计好的问题拿出：同学们，看看你们会不会证明：
如图5，在三角形ABC中，己知∠B=2∠C，AH是边BC上的高。求证：CH=AB BH
学生们便忙于此问题的解决中……
分析：这个问题是教师预先设计好让学生解决的，但这么早就出示这个问题，就使刚才的探索活动成了一种形式。而这节课也便成为一节习题课了。这里有一点要说明的是，教师让学生探索，首先应该引导学生一起探索，在本片段中，我们设想，如果教师与学生共同分析图形4中线段之间的关系，学生不难理解：CO=AO=AB，那么在那个图形中，由等量性质，有CO OB=AB OB。这样就可以设计一个问题：在图形4中，求证：CB=AB OB；但教师可以提醒学生，这样问题太简单，再变一下。如果将OB分为相等的两部分，等式两边都去掉一部分，结合等腰三角形底边上的高的性质就可以得到上面的问题。这样，这个问题就可以看成是由教师和学生经过对已知图形的研究，共同分析出来的，给学生一种“编题”的体验。而这种探索活动也显得更自然了。同时破除学生对数学问题的神秘感，产生学习数学的自信，产生“数学问题我也能编”的体验，从而能够对这种问题的思想方法有更多的体会。接着，教师可以再提出，我们编写这道题根据的条件是：∠B=2∠C，大家可以在课后继续考虑：如果∠B是∠C的3倍、4倍，……时，是否也可以分析编题，这样可无形中渗透从特殊到一般的数学思想方法。
片段四。学生分析：作线段AO，O在CB上，使AO=AB，BH=HO……
教师强调：作图时用圆规，这样就自然一些，作图不能同时要求满足两个条件，作一个条件，另外的条件需要证明。同时，教师提出：这是一个线段等量关系的证明问题，大家回忆一下，有什么知识可以证线段相等？（学生举手）
教师让一个学生上黑板讲了这个题的证明。（过程略）
教师：大家对他的表现给予鼓励。（全班鼓掌），接着教师提出让学生说说解决这个问题的感受。
一学生：做题时不光从题目来看，要利用题目给定的条件。
分析：就题论题地看，尽管教师没有引导学生编写问题的全过程，但学生还是觉得这个题是由图4而来，所以，学生上来就要作AO=AB。学生的分析和对问题的顺利解决使教师轻松地进入下一个教学环节。但在这个片断中，如果教师先引导学生考虑证明一线段等于另外两线段之和时线段之间转化的方法，则就会使学生在分析解决问题的同时受到数学思考方法的熏陶。具体地说，教师可以引导学生认识如下两种方法：一种是把较长线段分成两部分，在本题就是在CH上找一点O，使得OH=HB；另一种是把较短线段延长使两线合一，在本题中，就可以考虑延长AB到D，使BD=BH。当然这些方法要让学生掌握，教学形式又是多种多样的。
片段五。教师：在三角形中，刚才我们考虑了一个重要线段：高，现在我们再看看角平分线，请看下面的问题：如图6，正三角形ABC中，已知，∠B=2∠C，AM平分∠BAC，求证：AB BM=AC
分析：在这里，还是教师提出问题，让学生解决。如果教师在解决了上面的问题后，再提出：三角形的重要线段有哪些？教师可以就学生的回答列出高、中线、角平分线。那么刚才的问题是围绕BC边上的高提出的，如果以其他重要线段为出发点，在∠B=2∠C的基础上，能否再设计一些线段等量关系问题呢？在课堂上就围绕∠A的平分线展开分析，与学生一起设计问题，而把其他情况的设计留在课后，这样比直接给出问题要更有价值。
片段六。教师：这个问题同样要作辅助线，怎么作呢？请同学讨论，并派代表讲明白。（同学讨论一会儿）
一学生：在AC上取D，使AD=AB；
教师充分肯定了该同学的作法，并在此基础上分析，由此可以找到全等三角形，由全等关系证明所求。具体方法：如图7，在AC上取一点D，使AD=AB，则只要证明DC=MB，连结MD，我们可以发现两个全等三角形。
学生：△AMD和△AMB。
教师：为什么？由此能得到什么？
学生：（解释原因略）可以得到：DM=MB。
然后再证明DM=DC即可。
另一学生：由已知条件可知，∠B=2∠C，因此，∠ADM=2∠C，可见，∠DMC等于∠C，所以三角形DCM是等腰三角形。可得DM=DC。
教师：很好。接着让学生谈作辅助线的方法，总结归纳，并在大屏幕上放了一段波利亚的语录。课结束。
分析：教师就学生提出的一种辅助线给出较详细的分析与解答，让学生充分表达了自己的想法，交流大方得体，交流效果明显。据课堂观察学生的表情和态度，可以发现班里所有同学确实是理解了这个方法。但如果结合第一个问题，教师再从这种问题解决的一般证明思路上去分析，提示学生运用另一种证明方法，就是延长AB到D，使BD=BM，把问题转化为求证AD=AC，再找全等三角形（三角形ACM与三角形ADM），利用已知条件给出证明（如图8）。那样这节课就会更加圆满。如果课堂时间较紧，也可以启发学生把思路提出，把具体证明留为课后作业。但在课快要结束时，老师在大屏幕上出示数学家波利亚的一句话，课堂看似很完整，但笔者认为，这只是一种形式，没有挑战性，也不会给学生留下深刻印象，不如就今天的课，给学生一些提示，让学生在课后编写一些问
题，使学生在编题的过程中体会波利亚的语录的真正内涵。
三、 总结
从总体上看，这节课可以说是一节成功的课。在课堂上，教师语言温和生动，亲切，师生互动频繁，学生能够积极地投入到教师设定的问题的分析和解决上来。而且教师几次巧妙地纠正了学生在作图和证明中存在的问题，处理方法自然大方，没有伤害学生的自尊心和探索的积极性。学生之间也能够就教师设定问题的解决方法进行认真讨论，生生合作氛围浓厚。充分体现了主体教育的课堂教学理念。能够看出来，通过本节课的教学，教师预先设定的教学目标都圆满地达到了。当然，一节课即使是精心准备，经过专家指导，存在问题也是在所难免的，何况是一节几近自然的课。对课的分析，就是要找出问题，以利于教师的进一步反思和提高。通过分析这节研讨课至少给我们下面几点启示：第一、有条件的话，在几何课上应有效地使用几何画板。几何画板能够更直观、准确地呈现所要的几何图形。这对于提高几何课的直观性，节约作图的时间，调动学生学习兴趣都能发挥很大的作用。也可以鼓励学生使用，从中感受几何的魅力。当然，这并不意味着几何课上不用黑板，而是要针对所学内容，把几何画板的有效使用与黑板的有效使用结合起来，扬长避短，发挥几何课在培养学生思维中的整体作用。本节课中教师在这方面做得就很好。第二，几何课中教师要加大对学生提出和设计问题方法的引导。许多教师反应，强调让学生提出问题，可是学生提不出来，还是教师提出问题让学生分析和解决比较自然。其实，提出问题也是一种学习过程，学生必须经历、参与在教师引领下提出问题的全过程，学会提出问题的方法。如在本课的片段三和片段五中，教师完全可以把课设计成探索型的，让学生在探索设计问题、在“编题”中体会方法，在片段三、六中可以给学生留下一些悬念，使学生在课后继续课上的思维。第三，数学教学设计时更应注意对所涉及材料中数学思想方法的挖掘。评课时专家们的共识是：一节好的数学课应该是把先进的教学观念和精妙的数学思想的展现有机结合起来的过程。但这种结合的最重要的部分是教师对数学思想的把握和有效示范。如在本课中，在提出问题的环节中应该进一步挖掘归纳、类比等思想，在解决问题的环节中应更进一步挖掘分类讨论，化归转化等思想方法。
（责任编辑刘永庆）
为了深化课堂教学改革，由北京师范大学裴娣娜教授主持的全国教育科学“十五”规划国家重点课题《主体教育视野下课堂教学改革的深化研究》课题组在北京召开了数学课堂教学改革研讨会。在会上，有六节研讨课，各有特色。展现出在新课程实施中，在总课题组指导下，成员校数学教师的精神面貌。本文将针对八年级研讨课《等腰三角形复习课》进行分析。《等腰三角形复习课》的总体思路是，通过学生用尺规作图的方法，在一个给定的基本图形上作出各种不同的等腰三角形，进而对所作出的图形进行分析，设计问题，引导学生在分析和解决问题的过程中运用三角形全等、作辅助线等方法证明线段之间的等量关系。教师在引导分析的过程中，设计了两个几何问题，引导学生进行分析，对于每个问题的解决方法，都是由学生提出，教师再进行引导和分析，也有学生在黑板上讲述自己的方法的安排。课堂井然有序，课堂气氛活跃。显示了学生是学习主体的特点。在教学手段上，教师运用儿何画板，设计周详，可见教师课前做了大量准备工作，教学态度严谨。经几位专家点评，认为是一节较好的几何课。为了研讨，本次课在事先没有专家的指导，所以是一节几近自然的课，对这节课进行片段分析，就很有意义。
二、 片段分析
片段一。教师给出下面问题，引入复习课。
如图1，已知一条直线L和L外的一点A，O是直线L上的一点，试用尺规作出过A、O两点，另外一点在L上的等腰三角形。
教师：同学们看这个题目，谁能给出解答呢?
学生1、以A为圆心，以AO为半径画弧，与直线L交于两点O，B，则三角形AOB便是所求。
教师：（用几何画板做出图2）啊，很好，谁还有不同的想法?
学生2、以O为圆心，以OA为半径画弧，与L交于两点，则可得两个等腰三角形
教师：（用儿何画板作图3）非常好。这位同学这样一来，又得到两个等腰三角形。但是，我们想想，还有别的作法吗？
学生3、过AO的中点作线段AO的垂线，与直线L交于一点E，连结AE，则三角形OAE就是一个等腰三角形。
教师对这个同学提出表扬。同时在黑板上简单地作了一条垂线，指出这也是一种情况。引导学生认识分类讨论的方法，指出，求以一条线段为边的等腰三角形要考虑各种不同的情况。遇到这种情况时要分类讨论。
接着，教师就在几何画板上将图形3去掉线段AD，得到下面的图形4。
教师提议，大家先探讨这个图形中角之间的关系。
分析：教师在复习等腰三角形的性质时，不是直接提出如：大家想想等腰三角形有什么性质之类的问题，而是通过作图，首先使学生能够全面地理解一个问题，考虑符合要求的所有情况。教师适时提出分类考虑，突显数学思维的完备性。使学生在全面考虑问题的过程中，自然地产生出一个较复杂的图形，便于进一步通过引导学生在已知图形中识别等腰三角形的角的关系，引出更复杂的探讨过程，这样，就容易培养学生面对已知图形，利用已知条件进行观察和分析图形性质的习惯和方法。体现了复习课并不只是对已学知识的简单重复，还需要激发学生探索兴趣的特点。是一个好的引入。
片段二。很快，学生就根据等腰三角形底角相等，得到在图4中，∠B=∠AOB=2∠C。
此时，教师又提出一个问题：
如果在图形4中，保留下∠B=2∠C这个条件，我们来探讨，一个角是另一个角的二倍的三角形有何性质？
分析：这里教师引导学生从分析三角形角的关系，到在所涉及图形中，确定一个已知关系的情况下，探索图形的其他性质，体现出复习课的探索性质。这个问题提得很有价值。从课堂反应中可以看到，学生对等腰三角形角的关系已经很熟悉了，此时，教师不失时机提出一些具有挑战性的问题，对学生思维保持活跃有很大作用。
片段三。教师看到学生们探索无果，便出示一个问题，说：老师这里提醒大家，在三角形中，有一条重要线段，是高，（随即在几何画板上作出边BC的高AH，并把图4中的AO去掉，如图5），看学生还是茫然，教师便把事先设计好的问题拿出：同学们，看看你们会不会证明：
如图5，在三角形ABC中，己知∠B=2∠C，AH是边BC上的高。求证：CH=AB BH
学生们便忙于此问题的解决中……
分析：这个问题是教师预先设计好让学生解决的，但这么早就出示这个问题，就使刚才的探索活动成了一种形式。而这节课也便成为一节习题课了。这里有一点要说明的是，教师让学生探索，首先应该引导学生一起探索，在本片段中，我们设想，如果教师与学生共同分析图形4中线段之间的关系，学生不难理解：CO=AO=AB，那么在那个图形中，由等量性质，有CO OB=AB OB。这样就可以设计一个问题：在图形4中，求证：CB=AB OB；但教师可以提醒学生，这样问题太简单，再变一下。如果将OB分为相等的两部分，等式两边都去掉一部分，结合等腰三角形底边上的高的性质就可以得到上面的问题。这样，这个问题就可以看成是由教师和学生经过对已知图形的研究，共同分析出来的，给学生一种“编题”的体验。而这种探索活动也显得更自然了。同时破除学生对数学问题的神秘感，产生学习数学的自信，产生“数学问题我也能编”的体验，从而能够对这种问题的思想方法有更多的体会。接着，教师可以再提出，我们编写这道题根据的条件是：∠B=2∠C，大家可以在课后继续考虑：如果∠B是∠C的3倍、4倍，……时，是否也可以分析编题，这样可无形中渗透从特殊到一般的数学思想方法。
片段四。学生分析：作线段AO，O在CB上，使AO=AB，BH=HO……
教师强调：作图时用圆规，这样就自然一些，作图不能同时要求满足两个条件，作一个条件，另外的条件需要证明。同时，教师提出：这是一个线段等量关系的证明问题，大家回忆一下，有什么知识可以证线段相等？（学生举手）
教师让一个学生上黑板讲了这个题的证明。（过程略）
教师：大家对他的表现给予鼓励。（全班鼓掌），接着教师提出让学生说说解决这个问题的感受。
一学生：做题时不光从题目来看，要利用题目给定的条件。
分析：就题论题地看，尽管教师没有引导学生编写问题的全过程，但学生还是觉得这个题是由图4而来，所以，学生上来就要作AO=AB。学生的分析和对问题的顺利解决使教师轻松地进入下一个教学环节。但在这个片断中，如果教师先引导学生考虑证明一线段等于另外两线段之和时线段之间转化的方法，则就会使学生在分析解决问题的同时受到数学思考方法的熏陶。具体地说，教师可以引导学生认识如下两种方法：一种是把较长线段分成两部分，在本题就是在CH上找一点O，使得OH=HB；另一种是把较短线段延长使两线合一，在本题中，就可以考虑延长AB到D，使BD=BH。当然这些方法要让学生掌握，教学形式又是多种多样的。
片段五。教师：在三角形中，刚才我们考虑了一个重要线段：高，现在我们再看看角平分线，请看下面的问题：如图6，正三角形ABC中，已知，∠B=2∠C，AM平分∠BAC，求证：AB BM=AC
分析：在这里，还是教师提出问题，让学生解决。如果教师在解决了上面的问题后，再提出：三角形的重要线段有哪些？教师可以就学生的回答列出高、中线、角平分线。那么刚才的问题是围绕BC边上的高提出的，如果以其他重要线段为出发点，在∠B=2∠C的基础上，能否再设计一些线段等量关系问题呢？在课堂上就围绕∠A的平分线展开分析，与学生一起设计问题，而把其他情况的设计留在课后，这样比直接给出问题要更有价值。
片段六。教师：这个问题同样要作辅助线，怎么作呢？请同学讨论，并派代表讲明白。（同学讨论一会儿）
一学生：在AC上取D，使AD=AB；
教师充分肯定了该同学的作法，并在此基础上分析，由此可以找到全等三角形，由全等关系证明所求。具体方法：如图7，在AC上取一点D，使AD=AB，则只要证明DC=MB，连结MD，我们可以发现两个全等三角形。
学生：△AMD和△AMB。
教师：为什么？由此能得到什么？
学生：（解释原因略）可以得到：DM=MB。
然后再证明DM=DC即可。
另一学生：由已知条件可知，∠B=2∠C，因此，∠ADM=2∠C，可见，∠DMC等于∠C，所以三角形DCM是等腰三角形。可得DM=DC。
教师：很好。接着让学生谈作辅助线的方法，总结归纳，并在大屏幕上放了一段波利亚的语录。课结束。
分析：教师就学生提出的一种辅助线给出较详细的分析与解答，让学生充分表达了自己的想法，交流大方得体，交流效果明显。据课堂观察学生的表情和态度，可以发现班里所有同学确实是理解了这个方法。但如果结合第一个问题，教师再从这种问题解决的一般证明思路上去分析，提示学生运用另一种证明方法，就是延长AB到D，使BD=BM，把问题转化为求证AD=AC，再找全等三角形（三角形ACM与三角形ADM），利用已知条件给出证明（如图8）。那样这节课就会更加圆满。如果课堂时间较紧，也可以启发学生把思路提出，把具体证明留为课后作业。但在课快要结束时，老师在大屏幕上出示数学家波利亚的一句话，课堂看似很完整，但笔者认为，这只是一种形式，没有挑战性，也不会给学生留下深刻印象，不如就今天的课，给学生一些提示，让学生在课后编写一些问
题，使学生在编题的过程中体会波利亚的语录的真正内涵。
三、 总结
从总体上看，这节课可以说是一节成功的课。在课堂上，教师语言温和生动，亲切，师生互动频繁，学生能够积极地投入到教师设定的问题的分析和解决上来。而且教师几次巧妙地纠正了学生在作图和证明中存在的问题，处理方法自然大方，没有伤害学生的自尊心和探索的积极性。学生之间也能够就教师设定问题的解决方法进行认真讨论，生生合作氛围浓厚。充分体现了主体教育的课堂教学理念。能够看出来，通过本节课的教学，教师预先设定的教学目标都圆满地达到了。当然，一节课即使是精心准备，经过专家指导，存在问题也是在所难免的，何况是一节几近自然的课。对课的分析，就是要找出问题，以利于教师的进一步反思和提高。通过分析这节研讨课至少给我们下面几点启示：第一、有条件的话，在几何课上应有效地使用几何画板。几何画板能够更直观、准确地呈现所要的几何图形。这对于提高几何课的直观性，节约作图的时间，调动学生学习兴趣都能发挥很大的作用。也可以鼓励学生使用，从中感受几何的魅力。当然，这并不意味着几何课上不用黑板，而是要针对所学内容，把几何画板的有效使用与黑板的有效使用结合起来，扬长避短，发挥几何课在培养学生思维中的整体作用。本节课中教师在这方面做得就很好。第二，几何课中教师要加大对学生提出和设计问题方法的引导。许多教师反应，强调让学生提出问题，可是学生提不出来，还是教师提出问题让学生分析和解决比较自然。其实，提出问题也是一种学习过程，学生必须经历、参与在教师引领下提出问题的全过程，学会提出问题的方法。如在本课的片段三和片段五中，教师完全可以把课设计成探索型的，让学生在探索设计问题、在“编题”中体会方法，在片段三、六中可以给学生留下一些悬念，使学生在课后继续课上的思维。第三，数学教学设计时更应注意对所涉及材料中数学思想方法的挖掘。评课时专家们的共识是：一节好的数学课应该是把先进的教学观念和精妙的数学思想的展现有机结合起来的过程。但这种结合的最重要的部分是教师对数学思想的把握和有效示范。如在本课中，在提出问题的环节中应该进一步挖掘归纳、类比等思想，在解决问题的环节中应更进一步挖掘分类讨论，化归转化等思想方法。
（责任编辑刘永庆）