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文献[1]—[3]研究了2012年连云港市中考数学卷压轴题的问题4，原题目如下：
题目：已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.
问题4：如图1，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边做平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由.
笔者在阅读文献[1]—[3]时发现所有的解答都存在错误，开始怀疑是否题目抄错，查阅百度文库该试卷的图片版[4]后发现原答案也是错误的.为了容易说明问题，笔者先罗列其中的错误答案：
文献[1]：（n+2）2+4≤PQ≤9（n+2）2+4（n+1）2，当点P分别位于D，C点时取到最小值和最大值；
文献[2]、[3]：PQmin=212（n+2），当PQ⊥CD时取到；
文献[4]：存在最小值，最小值为212（n+2）.没有给出任何理由.
图1图2首先我们约定本文中的n是正实数（这样约定也符合初中数学的表示习惯）.为了得到精确的PQ表达式，笔者建立如图2所示的直角坐标系（以点B为原点，线段BC所在直线为x轴，线段BA所在直线为y轴），此时，A（0，2），B（0，0），C（3，0），D（1，2）.
容易求得直线CD的方程为y=x+3，又因为点P为CD边上任意一点，故可设P（t，3-t），其中2≤t≤3.
故PE=（n+1）PA=（n+1）（-t，t-1）
=[-（n+1）t，（n+1）（t-1）]，
PB=（-t，t-3），
所以PQ=PE+PB
=[-（n+2）t，（n+2）t-（n+4）].
所以|PQ|2=[-（n+2）t]2+[（n+2）t-（n+4）]2，即|PQ|2=2（n+2）2t2-2（n+2）（n+4）t+（n+4）2，（2≤t≤3）.
由于其对称轴
t=（n+2）（n+4）12（n+2）2
=112+11n+2∈（112，1].
所以，当2≤t≤3时，|PQ|2单调递增，故
当t=2时，|PQ|2最小，且
|PQ|2min=8（n+2）2-4（n+2）（n+4）+（n+4）2=5n2+16n+16；
当t=3时，|PQ|2最大，且
|PQ|2max
=18（n+2）2-6（n+2）（n+4）+（n+4）2
=13n2+44n+40；
到此，真相大白，那么是什么原因导致如此众多的文献中出现错解？其实原因很简答：忽略了函数的定义域（2≤t≤3）！
事实上，只要把条件改为：“点P为直线CD上任意一点”就行.
此时因为t∈R，所以当t=n+412（n+2）时，
|PQ|2min
=2（n+2）2·（n+4）214（n+2）2-2（n+2）（n+4）·n+412（n+2）+（n+4）2
=112（n+4）2.
所以|PQ|min=212（n+2）.
又因为t∈（112，1]，即点P位于CD的延长线上，此时PQ=PE+PB=[-112（n+4），-112（n+4）].所以PQ·CD=[-112（n+4），-112（n+4）]·（-2，2）=0.所以PQ⊥CD.
其实文献[1]已经看到了这点，无奈过程繁复，最终导致计算失误，文献[2]、[3]忽视了定义域的存在，文献[4]的错误无从知道，但估计也属类似.研究函数问题要定义域先行，这是我们要牢牢记住的.
注本文的目的只有一个：纠正一个流传的错误，提醒读者研究函数问题时要注意定义域的存在.另外，本文的书写完全可以通过相似三角形和勾股定理改写成初中生可以阅读的格式，但这样做文字量很大，篇幅也大，觉得没有这个必要.
参考文献
[1]周余孝.一个最小值问题的存在性探密[J].中学数学杂志，2013（4）.
[2]牟宗伦.以“静”制“动”——2012年连云港市中考数学压轴题解析[J].中学数学教学，2012（5）.
[3]高峰.几何探究型问题中的“链式”探究题“探究”[J].中学数学杂志，2012（10）.
[4]2012年连云港市中考数学试题.http：//wenku.baidu.com/view/4c25871452d380eb62946d53.html.
题目：已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.
问题4：如图1，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边做平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由.
笔者在阅读文献[1]—[3]时发现所有的解答都存在错误，开始怀疑是否题目抄错，查阅百度文库该试卷的图片版[4]后发现原答案也是错误的.为了容易说明问题，笔者先罗列其中的错误答案：
文献[1]：（n+2）2+4≤PQ≤9（n+2）2+4（n+1）2，当点P分别位于D，C点时取到最小值和最大值；
文献[2]、[3]：PQmin=212（n+2），当PQ⊥CD时取到；
文献[4]：存在最小值，最小值为212（n+2）.没有给出任何理由.
图1图2首先我们约定本文中的n是正实数（这样约定也符合初中数学的表示习惯）.为了得到精确的PQ表达式，笔者建立如图2所示的直角坐标系（以点B为原点，线段BC所在直线为x轴，线段BA所在直线为y轴），此时，A（0，2），B（0，0），C（3，0），D（1，2）.
容易求得直线CD的方程为y=x+3，又因为点P为CD边上任意一点，故可设P（t，3-t），其中2≤t≤3.
故PE=（n+1）PA=（n+1）（-t，t-1）
=[-（n+1）t，（n+1）（t-1）]，
PB=（-t，t-3），
所以PQ=PE+PB
=[-（n+2）t，（n+2）t-（n+4）].
所以|PQ|2=[-（n+2）t]2+[（n+2）t-（n+4）]2，即|PQ|2=2（n+2）2t2-2（n+2）（n+4）t+（n+4）2，（2≤t≤3）.
由于其对称轴
t=（n+2）（n+4）12（n+2）2
=112+11n+2∈（112，1].
所以，当2≤t≤3时，|PQ|2单调递增，故
当t=2时，|PQ|2最小，且
|PQ|2min=8（n+2）2-4（n+2）（n+4）+（n+4）2=5n2+16n+16；
当t=3时，|PQ|2最大，且
|PQ|2max
=18（n+2）2-6（n+2）（n+4）+（n+4）2
=13n2+44n+40；
到此，真相大白，那么是什么原因导致如此众多的文献中出现错解？其实原因很简答：忽略了函数的定义域（2≤t≤3）！
事实上，只要把条件改为：“点P为直线CD上任意一点”就行.
此时因为t∈R，所以当t=n+412（n+2）时，
|PQ|2min
=2（n+2）2·（n+4）214（n+2）2-2（n+2）（n+4）·n+412（n+2）+（n+4）2
=112（n+4）2.
所以|PQ|min=212（n+2）.
又因为t∈（112，1]，即点P位于CD的延长线上，此时PQ=PE+PB=[-112（n+4），-112（n+4）].所以PQ·CD=[-112（n+4），-112（n+4）]·（-2，2）=0.所以PQ⊥CD.
其实文献[1]已经看到了这点，无奈过程繁复，最终导致计算失误，文献[2]、[3]忽视了定义域的存在，文献[4]的错误无从知道，但估计也属类似.研究函数问题要定义域先行，这是我们要牢牢记住的.
注本文的目的只有一个：纠正一个流传的错误，提醒读者研究函数问题时要注意定义域的存在.另外，本文的书写完全可以通过相似三角形和勾股定理改写成初中生可以阅读的格式，但这样做文字量很大，篇幅也大，觉得没有这个必要.
参考文献
[1]周余孝.一个最小值问题的存在性探密[J].中学数学杂志，2013（4）.
[2]牟宗伦.以“静”制“动”——2012年连云港市中考数学压轴题解析[J].中学数学教学，2012（5）.
[3]高峰.几何探究型问题中的“链式”探究题“探究”[J].中学数学杂志，2012（10）.
[4]2012年连云港市中考数学试题.http：//wenku.baidu.com/view/4c25871452d380eb62946d53.html.