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【摘要】倍数关系是生活中最为常见的数量关系之一。建立倍的概念，有助于学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽应用乘除法运算解决实际问题的范围。
【关键词】倍数关系；倍的概念
一、变化角度解读教材，初步寻找意义生成的土壤
倍数关系是生活中最为常见的数量关系之一。建立倍的概念，有助于学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽应用乘除法运算解决实际问题的范围。“倍的认识”教学主要分为两个层次。第一，重点认识倍的含义。出示排列的蓝花和黄花，通过2朵2朵圈在一起的操作，引导学生认识到：把2朵蓝花看作1份，黄花有3个2朵，是这样的3份。同时揭示概念：蓝花有2朵，黄花有3个2朵，可以说成黄花的朵数是蓝花的3倍。接着在第二行再添上2朵黄花或去掉2朵黄花，在第一行加上1朵蓝花，让学生说说此时黄花的朵数是蓝花的几倍，以使学生进一步巩固对倍的含义的认识。第二，重点帮助学生初步掌握“求一个数是另一个数的几倍”的基本思考方法。在圈一圈、填一填的过程中，自主体会到“求一个数是另一个数的几倍”的方法，在此基础上教师明确指出，求一个数是另一个数的几倍可以用除法计算，并给出相应的除法算式。在层层递进的巩固练习中，经历从形象思维到抽象思维的过程，理解“求一个数是另一个数的几倍”就是求“几里面有几个几”。在初步建立了“倍”的概念，理解求一个数是另一个数的几倍的含义和计算方法的基础上，直接用除法解决问题，让学生体会这是一种简便而有效的方法。
学生已经初步理解了乘法与除法的意义，能够计算两位数乘一位数以及表内除法，倍知识的生长点是几个几相加，而几个几相加是学生的原有认知，建立“倍”的概念就是在几个几与倍之间搭建起联系，具备了认识“倍”的条件。个别学生之前已有了一些“倍”的知识，但不一定准确或正确。“倍”是比较抽象的数学概念，学生主要以形象思维为主，以先摆学具看出“倍”为起点，逐步抽象，帮助学生体会概念形成的过程、逐渐形成“倍”的概念，再计算求得“倍”。
二、变化操作形式，逐步形成倍的意义
1.圈一圈
（1）黄花有几朵？（2朵）如果把2朵蓝花圈起来看作1份，那么黄花有这样的几份？黄花几朵一圈？圈了这样的几份？
板书并说明：蓝花有2朵，（看作1份）黄花有3个2朵（也就是这样的3份），我们就说“黄花的朵数是蓝花的3倍”。
（2）如果再添上2朵黄花，黄花的朵数就变成了这样的几份？那么现在黄花的朵数是蓝花的几倍？
圈一圈，说一说。
提问：你是怎么圈的？为什么把黄花2朵2朵圈起来？
（3）如果去掉2朵黄花，那么现在黄花的朵数是蓝花的几倍？
圈一圈，说一说。你是怎么圈的？
（4）如果再添上1朵蓝花，想一想，什么变了？那么黄花是这样的几份？黄花又是蓝花的几倍呢？
（5）刚才的花排得很整齐，你能看出黄花的朵数是蓝花的几倍吗？（出示乱的蓝花2朵，黄花8朵）
（6）通接下来你能看着圈好的一份和几份，直接说出黄花的朵数是蓝花的几倍吗？
①蓝花2朵，黄花3个2朵；②蓝花2朵，黄花4个2朵；③蓝花2朵，黄花6朵，但黄花是3个1份。
重点分析错例：有的同学皱起了眉头，你想说些什么？
小结：看来，圈的时候不能随意圈，蓝花有2朵，黄花就要2朵一圈，每份要圈得同样多。
【案例评析：通过份数的增加与减少；1份的个数变化后每次圈的个数跟着发现变化；杂乱的排列以及反例的研究，学生在不断变化的情况下圈出1份和这样的几份。对“倍”的外延和内涵进行了充分的感知，逐步体会并理解“倍”的含义。】
2.摆一摆
（1）我们一起来摆小棒。指名读题。
谈话：怎样摆，就能一眼看出第二行小棒的根数是第一行的几倍呢？
汇报：6里面有2个3。第二行小棒的根数是第一行的2倍。
（2）如果第二行摆15根小棒，结果会怎样呢？
学生摆完，填好后汇报：15里面有5个3。第二行小棒的根数是第一行的5倍。
（3）你能用小棒摆一摆表示出第二行是第一行的几倍？
（4）引导学生观察：第一行摆了几根，第二行摆了几根，（）里面有几个几，第二行小棒的根数就是第一行的几倍……你发现了什么？
相机小结：第二行的小棒根数有几个第一行那么多（1份），第二行小棒的根数就是第一行的几倍。
【案例评析：通过本环节操作，学生逐步体会第二行小棒的根数里有几个第一行小棒的根数，第二行小棒的根数就是第一行的几倍。】
三、变化表现形式、初步抽象倍的意义
1.变一变
（1）出示：第一行3根小棒，第二行15根小棒。
你能用剛才发现的秘密，说说它们的倍数关系吗？
（2）下面我要变个魔术，看好了，（把小棒变成相对应的绿带子与5份红带子）我把小棒变成了什么？那么你知道红带子的长是绿带子的几倍？你是怎么想的？
（3）红带子又加1份，再去掉3份呢？
（4）去掉它们的颜色呢？
【案例评析：将实物抽象，除去非本质的属性，深入理解“倍”的含义。】
2.用一用
（1）如果我把第一行想成2朵蓝花，第二行想成红花，红花有5个2朵？那么红花的朵数是蓝花的（）倍？
（2）如果蓝花有6朵，红花有3个6朵，那么红花的朵数是蓝花的（）倍？
（3）如果蓝花有5朵，红花有45朵，那么红花的朵数是蓝花的几倍？
这个问题应该怎么解决呢？
小组讨论，尝试解答。一学生板书。
提问： 45÷5=9表示什么？ 说明：45÷5=9表示红花的朵数是蓝花的9倍， “倍”表示数量之间的关系，它不是单位名称，因此得数的后面不写倍。（请写的小朋友把它擦掉。）
追问：你怎么想到用除法计算的？
小结：求红花的朵数是蓝花的几倍？就是求45里面有几个5，用除法计算。
【案例评析：条件在不断的变换中，逐渐显现出在实际问题中的一般表象，学生豁然明白：求一个数是另一个数的几倍，就是求（）里面有几个几，可以用除法计算，突破本堂课的难点】
3.换一换
（1）如果把红花和蓝花换成白皮球有2个，花皮球有10个，求花皮球的个数是白皮球的几倍，就是求什么？（小组2人交流）
（2）换成胡萝卜和红萝卜，告诉我们红萝卜有4个，你会求出胡萝卜的个数是红萝卜的几倍吗？为什么？那你还补充一个合适的条件，出示完成的题目，现在能解决了吗？
（3）再换成了两条线段，学生独立完成。
【案例评析：将实物条件不停地转换，突显出“求一个数是另一个数的几倍”一般方法。】
4.编一编
（1）你还能换成什么？会仿造这样编一题吗？
（2）出示动物运动会图：鸭2只；兔3只；熊4只；小猪6只；鹿8只。
小运动员出场啦，看一看，数一数，有哪些小动物，各有多少只？（汇报，标出信息）
你会选出合适的信息，用“倍”来提一个的问题吗？
同桌互相提问、解答，全班汇报交流。
【案例评析：在换条件与编题的活动中，学生进一步认识了“倍”的含义，也真正理解并掌握了“求一个数是另一个数的几倍”的数量关系及解答方法。】
四、变化立场反思，再次触及倍的本质
经过研读教材、专研教参、参考名师课堂、了解学生情况，通过几轮试上，结合听课老师意见，多次调整教案，最终形成以上教学设计。
回顾整个过程，主要从以下几个方面进行思考：
1.“倍”这一概念的分层教学。
通过试上发现，学生对于“倍”的含义，也不能一下接受。我尝试分三个层次进行：
①1份→几份→几倍。体会：把蓝花看作1份，黄花有这样的几份，黄花的朵数就是蓝花的几倍。
②2朵→几个2朵→几倍。蓝花有2朵，黄花有几个2朵，黄花的朵数就是蓝花的几倍。
③几倍？→（黄花的朵数）里面有几个（蓝花的朵数）→用除法计算。
将难点分散进行教学，学生学起来轻松了，积极性高也了。
2. 在“圈一圈”这一组活动中，“几份（数）”变了、“1份（数）”变了、“队伍”也变了。这么多的变化中，始终抓住“把蓝花的朵数看作1份，黄花有这样的几份，黄花的朵数是蓝花的几倍”这一本质，帮助学生逐步理解“倍”的含义。
3. 在整个学习过程中，素材始終在变：蓝花、黄花→小棒→绿带子、红带子→无色带子→蓝花、红花→白皮球、花皮球→胡萝卜、红萝卜→两条线段→小动物。在这个从实物到抽象再到具体的变换过程中，学生体会到：不论素材怎么变换，找出它们之间的倍数关系的方法是不变的。
4. 学生主动举例、编题，看透“倍的真谛”。
通过素材、信息的替换，学生豁然开朗：“不管换成什么，只要其中的是1个，另一个是几个，另一个就是这个的几倍。”尽管这样的表达别人不一定能听懂，但说这话的孩子，一定是理解了“倍”的含义了。
【关键词】倍数关系；倍的概念
一、变化角度解读教材，初步寻找意义生成的土壤
倍数关系是生活中最为常见的数量关系之一。建立倍的概念，有助于学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽应用乘除法运算解决实际问题的范围。“倍的认识”教学主要分为两个层次。第一，重点认识倍的含义。出示排列的蓝花和黄花，通过2朵2朵圈在一起的操作，引导学生认识到：把2朵蓝花看作1份，黄花有3个2朵，是这样的3份。同时揭示概念：蓝花有2朵，黄花有3个2朵，可以说成黄花的朵数是蓝花的3倍。接着在第二行再添上2朵黄花或去掉2朵黄花，在第一行加上1朵蓝花，让学生说说此时黄花的朵数是蓝花的几倍，以使学生进一步巩固对倍的含义的认识。第二，重点帮助学生初步掌握“求一个数是另一个数的几倍”的基本思考方法。在圈一圈、填一填的过程中，自主体会到“求一个数是另一个数的几倍”的方法，在此基础上教师明确指出，求一个数是另一个数的几倍可以用除法计算，并给出相应的除法算式。在层层递进的巩固练习中，经历从形象思维到抽象思维的过程，理解“求一个数是另一个数的几倍”就是求“几里面有几个几”。在初步建立了“倍”的概念，理解求一个数是另一个数的几倍的含义和计算方法的基础上，直接用除法解决问题，让学生体会这是一种简便而有效的方法。
学生已经初步理解了乘法与除法的意义，能够计算两位数乘一位数以及表内除法，倍知识的生长点是几个几相加，而几个几相加是学生的原有认知，建立“倍”的概念就是在几个几与倍之间搭建起联系，具备了认识“倍”的条件。个别学生之前已有了一些“倍”的知识，但不一定准确或正确。“倍”是比较抽象的数学概念，学生主要以形象思维为主，以先摆学具看出“倍”为起点，逐步抽象，帮助学生体会概念形成的过程、逐渐形成“倍”的概念，再计算求得“倍”。
二、变化操作形式，逐步形成倍的意义
1.圈一圈
（1）黄花有几朵？（2朵）如果把2朵蓝花圈起来看作1份，那么黄花有这样的几份？黄花几朵一圈？圈了这样的几份？
板书并说明：蓝花有2朵，（看作1份）黄花有3个2朵（也就是这样的3份），我们就说“黄花的朵数是蓝花的3倍”。
（2）如果再添上2朵黄花，黄花的朵数就变成了这样的几份？那么现在黄花的朵数是蓝花的几倍？
圈一圈，说一说。
提问：你是怎么圈的？为什么把黄花2朵2朵圈起来？
（3）如果去掉2朵黄花，那么现在黄花的朵数是蓝花的几倍？
圈一圈，说一说。你是怎么圈的？
（4）如果再添上1朵蓝花，想一想，什么变了？那么黄花是这样的几份？黄花又是蓝花的几倍呢？
（5）刚才的花排得很整齐，你能看出黄花的朵数是蓝花的几倍吗？（出示乱的蓝花2朵，黄花8朵）
（6）通接下来你能看着圈好的一份和几份，直接说出黄花的朵数是蓝花的几倍吗？
①蓝花2朵，黄花3个2朵；②蓝花2朵，黄花4个2朵；③蓝花2朵，黄花6朵，但黄花是3个1份。
重点分析错例：有的同学皱起了眉头，你想说些什么？
小结：看来，圈的时候不能随意圈，蓝花有2朵，黄花就要2朵一圈，每份要圈得同样多。
【案例评析：通过份数的增加与减少；1份的个数变化后每次圈的个数跟着发现变化；杂乱的排列以及反例的研究，学生在不断变化的情况下圈出1份和这样的几份。对“倍”的外延和内涵进行了充分的感知，逐步体会并理解“倍”的含义。】
2.摆一摆
（1）我们一起来摆小棒。指名读题。
谈话：怎样摆，就能一眼看出第二行小棒的根数是第一行的几倍呢？
汇报：6里面有2个3。第二行小棒的根数是第一行的2倍。
（2）如果第二行摆15根小棒，结果会怎样呢？
学生摆完，填好后汇报：15里面有5个3。第二行小棒的根数是第一行的5倍。
（3）你能用小棒摆一摆表示出第二行是第一行的几倍？
（4）引导学生观察：第一行摆了几根，第二行摆了几根，（）里面有几个几，第二行小棒的根数就是第一行的几倍……你发现了什么？
相机小结：第二行的小棒根数有几个第一行那么多（1份），第二行小棒的根数就是第一行的几倍。
【案例评析：通过本环节操作，学生逐步体会第二行小棒的根数里有几个第一行小棒的根数，第二行小棒的根数就是第一行的几倍。】
三、变化表现形式、初步抽象倍的意义
1.变一变
（1）出示：第一行3根小棒，第二行15根小棒。
你能用剛才发现的秘密，说说它们的倍数关系吗？
（2）下面我要变个魔术，看好了，（把小棒变成相对应的绿带子与5份红带子）我把小棒变成了什么？那么你知道红带子的长是绿带子的几倍？你是怎么想的？
（3）红带子又加1份，再去掉3份呢？
（4）去掉它们的颜色呢？
【案例评析：将实物抽象，除去非本质的属性，深入理解“倍”的含义。】
2.用一用
（1）如果我把第一行想成2朵蓝花，第二行想成红花，红花有5个2朵？那么红花的朵数是蓝花的（）倍？
（2）如果蓝花有6朵，红花有3个6朵，那么红花的朵数是蓝花的（）倍？
（3）如果蓝花有5朵，红花有45朵，那么红花的朵数是蓝花的几倍？
这个问题应该怎么解决呢？
小组讨论，尝试解答。一学生板书。
提问： 45÷5=9表示什么？ 说明：45÷5=9表示红花的朵数是蓝花的9倍， “倍”表示数量之间的关系，它不是单位名称，因此得数的后面不写倍。（请写的小朋友把它擦掉。）
追问：你怎么想到用除法计算的？
小结：求红花的朵数是蓝花的几倍？就是求45里面有几个5，用除法计算。
【案例评析：条件在不断的变换中，逐渐显现出在实际问题中的一般表象，学生豁然明白：求一个数是另一个数的几倍，就是求（）里面有几个几，可以用除法计算，突破本堂课的难点】
3.换一换
（1）如果把红花和蓝花换成白皮球有2个，花皮球有10个，求花皮球的个数是白皮球的几倍，就是求什么？（小组2人交流）
（2）换成胡萝卜和红萝卜，告诉我们红萝卜有4个，你会求出胡萝卜的个数是红萝卜的几倍吗？为什么？那你还补充一个合适的条件，出示完成的题目，现在能解决了吗？
（3）再换成了两条线段，学生独立完成。
【案例评析：将实物条件不停地转换，突显出“求一个数是另一个数的几倍”一般方法。】
4.编一编
（1）你还能换成什么？会仿造这样编一题吗？
（2）出示动物运动会图：鸭2只；兔3只；熊4只；小猪6只；鹿8只。
小运动员出场啦，看一看，数一数，有哪些小动物，各有多少只？（汇报，标出信息）
你会选出合适的信息，用“倍”来提一个的问题吗？
同桌互相提问、解答，全班汇报交流。
【案例评析：在换条件与编题的活动中，学生进一步认识了“倍”的含义，也真正理解并掌握了“求一个数是另一个数的几倍”的数量关系及解答方法。】
四、变化立场反思，再次触及倍的本质
经过研读教材、专研教参、参考名师课堂、了解学生情况，通过几轮试上，结合听课老师意见，多次调整教案，最终形成以上教学设计。
回顾整个过程，主要从以下几个方面进行思考：
1.“倍”这一概念的分层教学。
通过试上发现，学生对于“倍”的含义，也不能一下接受。我尝试分三个层次进行：
①1份→几份→几倍。体会：把蓝花看作1份，黄花有这样的几份，黄花的朵数就是蓝花的几倍。
②2朵→几个2朵→几倍。蓝花有2朵，黄花有几个2朵，黄花的朵数就是蓝花的几倍。
③几倍？→（黄花的朵数）里面有几个（蓝花的朵数）→用除法计算。
将难点分散进行教学，学生学起来轻松了，积极性高也了。
2. 在“圈一圈”这一组活动中，“几份（数）”变了、“1份（数）”变了、“队伍”也变了。这么多的变化中，始终抓住“把蓝花的朵数看作1份，黄花有这样的几份，黄花的朵数是蓝花的几倍”这一本质，帮助学生逐步理解“倍”的含义。
3. 在整个学习过程中，素材始終在变：蓝花、黄花→小棒→绿带子、红带子→无色带子→蓝花、红花→白皮球、花皮球→胡萝卜、红萝卜→两条线段→小动物。在这个从实物到抽象再到具体的变换过程中，学生体会到：不论素材怎么变换，找出它们之间的倍数关系的方法是不变的。
4. 学生主动举例、编题，看透“倍的真谛”。
通过素材、信息的替换，学生豁然开朗：“不管换成什么，只要其中的是1个，另一个是几个，另一个就是这个的几倍。”尽管这样的表达别人不一定能听懂，但说这话的孩子，一定是理解了“倍”的含义了。