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[摘 要] 本节课通过对二元（多元）函数的最值问题中条件等式和目标函数式的认知与解读，在相同背景条件下，促使学生多角度、多层次透视问题，形成对问题的多元理解，深化对知识和方法本质的理解. 学生的能力也有一个逐层提高的过程，既有基本方法的熟化，也有类比、联想等的建构提升，更有函数与方程等思想方法的延拓.
[关键词] 多角度透视问题；多元理解；多层次能力提升
2016年4月1日，苏州市教科院在江苏省梁丰中学举行了高三数学二轮复习研讨活动，本人开设了一节“微专题”《二元（多元）函数最值问题》的展示课. 本节课通过对二元（多元）函数的最值问题中条件等式和目标函数式的认知与解读，旨在相同背景条件下，促使学生多角度、多层次透视问题，形成对问题的多元认识，深化对知识和方法本质的理解，找到解决问题的不同途径. 在这一过程中，学生的能力有一个逐层提高的过程，既有基本方法的熟化，也有类比、联想等的建构提升，更有函数与方程等思想方法的延拓，有效提升学生对此类问题的处理能力.
基本情况
授课班级为四星级学校强化班，学生具有良好的学习习惯和解题能力.
教学目标？摇
（1）二元（多元）函数的最值问题典型题解法探讨，进一步掌握利用函数方法、基本不等式、判别式法、几何意义等求目标式的最值，在学习中体会、整理，在整理、体会中走向内化；
（2）通过消元、换元、减元、主元、整体结构建构等手段，实现表象与本质的转化、数与形的转化，体会数学学习中的转化思想.
教学重点
掌握利用函数方法、基本不等式、判别式法、几何意义等求二元（多元）函数最值的方法.
教学难点 不同方法的认识与形成.
本节课通过搜集整理，设计问题、课前预习，独立思考、反馈信息，设计教学、课堂交流，互学互赏等环节，展示思维，引导学生多角度透视问题，多层次提升能力.
教学过程
课前导语 解题分析起步于对问题的有效感知与观察，只要善于变换角度，仔细观察，抓住自己熟悉的题目特征，联想大脑里储存的知识与技能信息，就能较快地形成解题方案，今天就让我们从一道典型的求二元（多元）函数最值的题目说起.
问题呈现1：若a>0，b>0，且 =1，则a 2b的最小值为_______.
学生分组讨论，挖掘多种解法，用实物投影仪演示并交流想法.
生1：两个变量的问题，从结构特点上讲很容易想到基本不等式，有整式有分式的结构可利用常值代换通过相乘的方法化为“倒数和形式”.
由 =1，得a 2b=（a 2b）· =
=
=2- ≥ .
师：上述过程中，你有什么感受？
生1：实施“1”的代换后，需要进行两次“倒数和形式”的建构，有惊无险.
师：这倒是与以往解决这类题目有所不同.
生2：如果先用2a b，b 1来表示a 2b，构造一次就可以了.
a 2b=（2a b） （b 1）-，所以就转化为求（2a b） （b 1）的最小值了，
（2a b） （b 1）· =2 ≥2 ，
所以a 2b≥ .
生3：可以通过换元（整体代换），就能转化为我们较为熟悉的问题.
令x=2a b，y=b 1，则有x>0，y>1，且 =1. 解得a=（x-y 1），b=y-1，
所以a 2b=（x 3y）-.
而x 3y=（x 3y） =4 ≥4 2.
师：刚才三位同学的切入点是一致的，都是通过常值“1”的代换，将目标函数化为“倒数和形式”，然后利用基本不等式来求最值，形式上一个比一个显得简洁.
设计意图：依据学生已有的经验基础，在学情反馈的基础上选择学生中大众化的方法，采取由学生主讲和补充的方法来促进学生优化自己的解题方案，并且从中认清方法和问题的本质，提升思维能力.
师：其實这个问题的解决方法是多样的，同学们还可以从条件等式上再来做些观察.
生4：遇到两个非零实数相加为定值的时候可以想到三角换元（减元），继续构造倒数和形式.
令=cos2θ，=sin2θ，b=-1，a=- 1，
a 2b=- 1 -2=· ·-
=· ·-= ≥ .
生5：已知两个变量的等式，也可用等量代换来实现消元.
=1，所以=，所以2ab b2=1 b，
所以a=-b 1，
a 2b=-b 1 2b=b ≥2 = .
设计意图：引导学生将思考观察的重点转移到条件等式上来，继续挖掘利用基本不等式求最值的方法.
师：上面的各种方法，无论是从条件等式出发，还是从目标函数出发，最后都是在利用基本不等式求最值，那么，对于条件等式，我们还有没有一些其他的认识呢？
生6：将问题中多个变量中的一个看作变量（主元），将其他的量看作参量，运用函数、不等式、方程等相关知识来解决问题.
由 =1得b2 2ab-b=1. 令a 2b=t，则a=t-2b.
由a>0，b>0，有t>a且t>2b.
由b2 2ab-b=1，有3b2 （1-2t）b 1=0. 当上述关于b的方程有正根时，令f（b）=3b2 （1-2t）b 1，因为f（0）=1>0，所以有（1-2t）2-12≥0，->0，解得：t≥ ，经检验满足t>a且t>2b（教师帮助完善）.
生7：多变量的问题，也可以从函数的角度来理解，特别是二元一次的线性函数. 把a看作b的函数，函数的性质：单调递减、过定点1，，图像如图1：（因为a，b为正）
图1
z=a 2b，所以a=-2b z，表示此直线的纵截距的最小值，即a=-2b z与a=·-b 1相切时最小.
a′=-1-，所以-1-= -2，b=，a=- 1，
a 2b= - 1= （教师帮助完善）.
设计意图：学生往往会囿于题型固有的模式，套用一些成熟的方法，教师引导学生从对条件等式的再认识入手，寻求新的方法.
问题呈现2：已知a，b，c>0，且a（a b c） bc=4，则2a b c的最小值为________.
学生分组讨论，教师巡视，然后交流展示.
生8：已知为二次式，所求为一次式，故有（2a b c）2=4a2 b2 c2 4ab 4ac 2bc=4（a2 ab bc ac） b2 c2-2bc=4×4 （b-c）2≥16. 因为a，b，c>0，所以2a b c≥4，当且仅当b=c时取等号. 所以2a b c的最小值为4.
生9：可以用消元法. 由已知得：c=，
所以，2a b c=2a b =（a b） ≥4，当且仅当a b=2，a c=2，即b=c时取等号.
生10：也可以用配凑法. 已知可化为（a b）（a c）=4，所以可配成2a b c=（a b） （a c）≥2=4，当且仅当a b=a c，即b=c时取等号.
设计意图：通过典型题目，向学生介绍解决三元函数问题的基本策略──减元、转化.
课堂小结
师：我们今天研究了一类二元（多元）函数最值问题的解法，这类问题有什么特征？
生：二元函数题目条件是两个“变量”的“倒数和”是定值，问题是求两个变量的线性目标函数的最值；三元函数题目条件是二次式，而目标函数是一次式.
师：都分别用到了哪些方法？
生：對于二元函数，上面例题展示的方法有：
（1）？摇通过整体代换、常量代换、三角代换，利用基本不等式来求最值；
（2）？摇把“变量”的“倒数和”是定值的形式，化归为函数表达式，可以用基本不等式或是函数方法结合二元线性目标函数的几何意义求最值；
（3）目标式是二元线性目标函数，还可以转化为一元二次方程有解问题，利用判别式法求最值.
对于三元函数，二次与一次的对接以及通过消元达到减元是基本方法，而配凑法属于较高层次的要求.
师：二元（多元）函数的最值问题的解决方法主体上就是通过消元、减元、换元、主元、整体结构的建构等手段进行转化. 大体上可分为数与形两类，从数的角度看，多将目标式化归为一元或二元函数，利用函数方法、基本不等式或方程等方法求最值；从形的角度则多从条件出发寻求目标式或是变形式的几何意义，如斜率、截距、面积等来求解.
教学反思
1. 在精选例题中考虑提高效率
二元（多元）函数的最值问题内涵丰富、方法多样. 变化多源于对条件等式和目标函数式的不同认知与解读. 问题的解决基本上都是通过三种代换（整体代换、常量代换、三角代换）转化，利用基本不等式求解，或是直接转化为函数或方程层面解决. “微专题”复习课应具有回顾、整理、拓展加深的要求，因此，设计条件固定、解法多样（涵盖面广）的题目，可以避免一题一法，减少不同背景条件，可以促使学生在熟悉的条件下，进行多角度、深层次的探究和思考. 同时，这些题目具有一题多解功能，通过一题多解，发散学生思维. 结合维果茨基的“最近发展区”理论，选配这些例题不在于“训练”和“强化”已经形成的内部心理机制，而在于激发、鼓励形成目前还不存在的心理机制，使学生可以“跳一跳，摘到桃”.
2. 在问题探究中考虑过程体验
课堂教学以问题为中心、以问题为线索，采用“问题 探究”的教学模式.要关注学生获得知识的渠道，引领学生在探究学习过程中获得基础知识和基本技能；要关注学生获得知识的形态，引领学生在自己动手实践“做数学”的过程中，建构数学知识的意义，获得数学活动的体验，体验成功的喜悦. 在这一过程中，学生个人的思考有时是不全面的，甚至是不深入、不到位的，教师要适时引导学生相互交流、集思广益，通过相互讨论完善方法. 教师更重要的价值在于：在学生有困难时能给予恰如其分的点拨，能以恰当的方式引导学生继续思考，把教师对问题的理解转化为学生的理解，真正实践教师以启为导、学生因思而悟的境界.
3. 在多元理解中考虑能力收益
在数学解题中，对于同一数学题目，可以从不同侧面或是选择不同方向来进行刻画表征，引导学生多角度、多层次透视问题，形成对问题的多元理解，进而形成与之相应的不同解法，深化对知识和方法本质的理解. 在这一过程中，学生的能力也有一个逐层提高的过程，既有基本方法的熟化，也有类比、联想等的建构提升，更有函数与方程等思想方法的延拓，开阔了学生的思路，丰富了学生的认知，拓宽了学生的视野，学生在能力方面获得了多层次提升，数学素养得到了切实的培养.
4. 在归纳反思中考虑深化升华
本节课全景式地展示了基本不等式应用的框架，诠释了基本不等式应用的三重境界，即知识—方法—思想. 课堂教学既注重了揭示思维过程，更注重揭示真谛. 教师积极引导学生进行课中和课后的反思，抓住知识结构和思想方法做归纳总结、点拨提高. 反思是学生知识理解深化的必经之路，是学生理解力提升的必要过程，是创新思维能力发展的关键步骤. 通过反思总结可以进一步应用知识、实践方法、感悟思想、完善素养、提升能力. 帮助学生从感性认识上升到理性认识，再用理性认识指导感性认识，产生新旧知识方法的有意义的同化作用.
[关键词] 多角度透视问题；多元理解；多层次能力提升
2016年4月1日，苏州市教科院在江苏省梁丰中学举行了高三数学二轮复习研讨活动，本人开设了一节“微专题”《二元（多元）函数最值问题》的展示课. 本节课通过对二元（多元）函数的最值问题中条件等式和目标函数式的认知与解读，旨在相同背景条件下，促使学生多角度、多层次透视问题，形成对问题的多元认识，深化对知识和方法本质的理解，找到解决问题的不同途径. 在这一过程中，学生的能力有一个逐层提高的过程，既有基本方法的熟化，也有类比、联想等的建构提升，更有函数与方程等思想方法的延拓，有效提升学生对此类问题的处理能力.
基本情况
授课班级为四星级学校强化班，学生具有良好的学习习惯和解题能力.
教学目标？摇
（1）二元（多元）函数的最值问题典型题解法探讨，进一步掌握利用函数方法、基本不等式、判别式法、几何意义等求目标式的最值，在学习中体会、整理，在整理、体会中走向内化；
（2）通过消元、换元、减元、主元、整体结构建构等手段，实现表象与本质的转化、数与形的转化，体会数学学习中的转化思想.
教学重点
掌握利用函数方法、基本不等式、判别式法、几何意义等求二元（多元）函数最值的方法.
教学难点 不同方法的认识与形成.
本节课通过搜集整理，设计问题、课前预习，独立思考、反馈信息，设计教学、课堂交流，互学互赏等环节，展示思维，引导学生多角度透视问题，多层次提升能力.
教学过程
课前导语 解题分析起步于对问题的有效感知与观察，只要善于变换角度，仔细观察，抓住自己熟悉的题目特征，联想大脑里储存的知识与技能信息，就能较快地形成解题方案，今天就让我们从一道典型的求二元（多元）函数最值的题目说起.
问题呈现1：若a>0，b>0，且 =1，则a 2b的最小值为_______.
学生分组讨论，挖掘多种解法，用实物投影仪演示并交流想法.
生1：两个变量的问题，从结构特点上讲很容易想到基本不等式，有整式有分式的结构可利用常值代换通过相乘的方法化为“倒数和形式”.
由 =1，得a 2b=（a 2b）· =
=
=2- ≥ .
师：上述过程中，你有什么感受？
生1：实施“1”的代换后，需要进行两次“倒数和形式”的建构，有惊无险.
师：这倒是与以往解决这类题目有所不同.
生2：如果先用2a b，b 1来表示a 2b，构造一次就可以了.
a 2b=（2a b） （b 1）-，所以就转化为求（2a b） （b 1）的最小值了，
（2a b） （b 1）· =2 ≥2 ，
所以a 2b≥ .
生3：可以通过换元（整体代换），就能转化为我们较为熟悉的问题.
令x=2a b，y=b 1，则有x>0，y>1，且 =1. 解得a=（x-y 1），b=y-1，
所以a 2b=（x 3y）-.
而x 3y=（x 3y） =4 ≥4 2.
师：刚才三位同学的切入点是一致的，都是通过常值“1”的代换，将目标函数化为“倒数和形式”，然后利用基本不等式来求最值，形式上一个比一个显得简洁.
设计意图：依据学生已有的经验基础，在学情反馈的基础上选择学生中大众化的方法，采取由学生主讲和补充的方法来促进学生优化自己的解题方案，并且从中认清方法和问题的本质，提升思维能力.
师：其實这个问题的解决方法是多样的，同学们还可以从条件等式上再来做些观察.
生4：遇到两个非零实数相加为定值的时候可以想到三角换元（减元），继续构造倒数和形式.
令=cos2θ，=sin2θ，b=-1，a=- 1，
a 2b=- 1 -2=· ·-
=· ·-= ≥ .
生5：已知两个变量的等式，也可用等量代换来实现消元.
=1，所以=，所以2ab b2=1 b，
所以a=-b 1，
a 2b=-b 1 2b=b ≥2 = .
设计意图：引导学生将思考观察的重点转移到条件等式上来，继续挖掘利用基本不等式求最值的方法.
师：上面的各种方法，无论是从条件等式出发，还是从目标函数出发，最后都是在利用基本不等式求最值，那么，对于条件等式，我们还有没有一些其他的认识呢？
生6：将问题中多个变量中的一个看作变量（主元），将其他的量看作参量，运用函数、不等式、方程等相关知识来解决问题.
由 =1得b2 2ab-b=1. 令a 2b=t，则a=t-2b.
由a>0，b>0，有t>a且t>2b.
由b2 2ab-b=1，有3b2 （1-2t）b 1=0. 当上述关于b的方程有正根时，令f（b）=3b2 （1-2t）b 1，因为f（0）=1>0，所以有（1-2t）2-12≥0，->0，解得：t≥ ，经检验满足t>a且t>2b（教师帮助完善）.
生7：多变量的问题，也可以从函数的角度来理解，特别是二元一次的线性函数. 把a看作b的函数，函数的性质：单调递减、过定点1，，图像如图1：（因为a，b为正）
图1
z=a 2b，所以a=-2b z，表示此直线的纵截距的最小值，即a=-2b z与a=·-b 1相切时最小.
a′=-1-，所以-1-= -2，b=，a=- 1，
a 2b= - 1= （教师帮助完善）.
设计意图：学生往往会囿于题型固有的模式，套用一些成熟的方法，教师引导学生从对条件等式的再认识入手，寻求新的方法.
问题呈现2：已知a，b，c>0，且a（a b c） bc=4，则2a b c的最小值为________.
学生分组讨论，教师巡视，然后交流展示.
生8：已知为二次式，所求为一次式，故有（2a b c）2=4a2 b2 c2 4ab 4ac 2bc=4（a2 ab bc ac） b2 c2-2bc=4×4 （b-c）2≥16. 因为a，b，c>0，所以2a b c≥4，当且仅当b=c时取等号. 所以2a b c的最小值为4.
生9：可以用消元法. 由已知得：c=，
所以，2a b c=2a b =（a b） ≥4，当且仅当a b=2，a c=2，即b=c时取等号.
生10：也可以用配凑法. 已知可化为（a b）（a c）=4，所以可配成2a b c=（a b） （a c）≥2=4，当且仅当a b=a c，即b=c时取等号.
设计意图：通过典型题目，向学生介绍解决三元函数问题的基本策略──减元、转化.
课堂小结
师：我们今天研究了一类二元（多元）函数最值问题的解法，这类问题有什么特征？
生：二元函数题目条件是两个“变量”的“倒数和”是定值，问题是求两个变量的线性目标函数的最值；三元函数题目条件是二次式，而目标函数是一次式.
师：都分别用到了哪些方法？
生：對于二元函数，上面例题展示的方法有：
（1）？摇通过整体代换、常量代换、三角代换，利用基本不等式来求最值；
（2）？摇把“变量”的“倒数和”是定值的形式，化归为函数表达式，可以用基本不等式或是函数方法结合二元线性目标函数的几何意义求最值；
（3）目标式是二元线性目标函数，还可以转化为一元二次方程有解问题，利用判别式法求最值.
对于三元函数，二次与一次的对接以及通过消元达到减元是基本方法，而配凑法属于较高层次的要求.
师：二元（多元）函数的最值问题的解决方法主体上就是通过消元、减元、换元、主元、整体结构的建构等手段进行转化. 大体上可分为数与形两类，从数的角度看，多将目标式化归为一元或二元函数，利用函数方法、基本不等式或方程等方法求最值；从形的角度则多从条件出发寻求目标式或是变形式的几何意义，如斜率、截距、面积等来求解.
教学反思
1. 在精选例题中考虑提高效率
二元（多元）函数的最值问题内涵丰富、方法多样. 变化多源于对条件等式和目标函数式的不同认知与解读. 问题的解决基本上都是通过三种代换（整体代换、常量代换、三角代换）转化，利用基本不等式求解，或是直接转化为函数或方程层面解决. “微专题”复习课应具有回顾、整理、拓展加深的要求，因此，设计条件固定、解法多样（涵盖面广）的题目，可以避免一题一法，减少不同背景条件，可以促使学生在熟悉的条件下，进行多角度、深层次的探究和思考. 同时，这些题目具有一题多解功能，通过一题多解，发散学生思维. 结合维果茨基的“最近发展区”理论，选配这些例题不在于“训练”和“强化”已经形成的内部心理机制，而在于激发、鼓励形成目前还不存在的心理机制，使学生可以“跳一跳，摘到桃”.
2. 在问题探究中考虑过程体验
课堂教学以问题为中心、以问题为线索，采用“问题 探究”的教学模式.要关注学生获得知识的渠道，引领学生在探究学习过程中获得基础知识和基本技能；要关注学生获得知识的形态，引领学生在自己动手实践“做数学”的过程中，建构数学知识的意义，获得数学活动的体验，体验成功的喜悦. 在这一过程中，学生个人的思考有时是不全面的，甚至是不深入、不到位的，教师要适时引导学生相互交流、集思广益，通过相互讨论完善方法. 教师更重要的价值在于：在学生有困难时能给予恰如其分的点拨，能以恰当的方式引导学生继续思考，把教师对问题的理解转化为学生的理解，真正实践教师以启为导、学生因思而悟的境界.
3. 在多元理解中考虑能力收益
在数学解题中，对于同一数学题目，可以从不同侧面或是选择不同方向来进行刻画表征，引导学生多角度、多层次透视问题，形成对问题的多元理解，进而形成与之相应的不同解法，深化对知识和方法本质的理解. 在这一过程中，学生的能力也有一个逐层提高的过程，既有基本方法的熟化，也有类比、联想等的建构提升，更有函数与方程等思想方法的延拓，开阔了学生的思路，丰富了学生的认知，拓宽了学生的视野，学生在能力方面获得了多层次提升，数学素养得到了切实的培养.
4. 在归纳反思中考虑深化升华
本节课全景式地展示了基本不等式应用的框架，诠释了基本不等式应用的三重境界，即知识—方法—思想. 课堂教学既注重了揭示思维过程，更注重揭示真谛. 教师积极引导学生进行课中和课后的反思，抓住知识结构和思想方法做归纳总结、点拨提高. 反思是学生知识理解深化的必经之路，是学生理解力提升的必要过程，是创新思维能力发展的关键步骤. 通过反思总结可以进一步应用知识、实践方法、感悟思想、完善素养、提升能力. 帮助学生从感性认识上升到理性认识，再用理性认识指导感性认识，产生新旧知识方法的有意义的同化作用.