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摘 要:本文主要针对在化工专业大学数学教学过程中的一些问题进行了探讨,它包括对于极限思想的运用、数形结合的方法解题、发散型思维的形成以及通过数学建模的方法,培养创造思维等等:着重提高学生的思维能力,培养学生的学习兴趣,从而提高教学质量,促进多学科复合型综合人才的培养。
关键词:大学数学极限微积分数学建模
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)06(a)-0172-02
数学是一门非常重要的基础科学,它与人类的生产和生活有着密切的联系。数学家华罗庚同志曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学”。高等数学作为理工科大学生的一门重要的基础理论课,不仅为后继课进一步获得数学知识奠定必要的数学基础,同时还要逐步培养学生的抽象概括、逻辑思维、空间想象和自学能力,尤其是综合运用所学的知识去分析问题、解决问题的能力。化学中很早就应用了数学,现代化学中图论、群论等数学理论的应用得到了意想不到的成果,在1981年度诺贝尔化学奖获得者霍夫曼(R.Hoffmann)和福井谦一,他们就利用数学的群论建立和发展了著名的“轨道对称守恒原理”。数学的思想方法已经成为现代化学抽象思维及理论发展的有力工具。对于化工类专业的学生而言,只有掌握好数学的工具,才能利于它去更好地解决能源、质量、环境等化学工业的相关问题,促进化学工业的飞速发展。在高等数学的教学中,注意加强对数学基本思想方法的教学,对于学生能力的发展以及提高教学质量都是大有益处的。
1 极限思想方法的运用,培养动态思维
极限是高等数学的重要概念,极限的基本思想贯穿于高等数学的整个始终,很多重要的概念,如导数、定积分、级数等都是利用极限提出的。它是处理静与动、常量与变量、有限与无限的基本手段,同时极限的方法贯穿于微积分学的始终。恰恰是极限方法的运用,才产生了由初等数学到高等数学的质的飞跃。对于极限的定义和基本性质的把握,是系统认识整个理论体系的关键。
极限的概念是高等数学教学过程中的一个难点。在介绍极限概念时不仅要注意启发学生在从描述性的定义上升到精确的数学抽象观念的过程,认真体会其中从量变到质变的辩证关系,还要随着其他基本概念的引入来逐步加深对极限思想的理解和对极限方法的运用。恰恰是在这个过程中使学生对于极限及其方法的运用有一个比较完整和深刻的认识。
例1:求平面图形,绕轴旋转一周所成旋转体的体积。我们曾经用极限求和的元素法推导过,绕轴旋转一周所成旋转体的体积,根据元素法的推导方法,可得旋转体的体积,这样处理之后,课堂的讲授和学生的思维都会很积极,使得学生注重于运用方法去分析而不是简单机械的套用公式。同时也为学生解决元素法的其他问题开辟了途径。
由此可见,引入微元分析的方法处理应用问题,又将极限的方法升华到一个新的层次。这几种体现了极限方法的生动、简洁与广泛性。
2 数形结合的方法,发展类比思维
数学研究的就是各种抽象的“数”和“形”的结构模式,这是对于学生理性思维的一种训练,而这种理性思维的训练对于培养学生全面素质的提高,分析能力的加强,创新意识的启迪都是至关重要的。在高等数学的教学中,有许多问题可以借助图形轻松的解决问题,或者换句话说,用数形结合的方法,往往会使问题迎刃而解,来看下面的例子。
例2:设常数,则方程在内实根的个数为:
一般的,判断方程根的个数有多种方法,但是对于填空或选择类型的试题,就要求在尽可能短的时间内给出正确的结果,应启发学生将数与形结合起来思考问题。对于上题,可以先观察方程左侧,令在处切线斜率,对应的切线方程为:,即;再比较方程右侧,此直线与切线相互平行,而且在切线的下方,可以画出它们的图形(如图1)。
由图1可知,要判断方程根的个数,其实就是看与 交点的个数,由图可见有两个交点,根的个数是2个。
3 运用多种思路,培养发散型思维
所谓“发散性思维”是指信息处理的途径灵活多变,求得结果的方法丰富多样,它是一种立体式的思维,对于一些问题按不同的方向去思考探索,产生新的信息并获得解决问题的多种方案,在高等数学中“一题多解”就是典型的激发学生发散思维的方法。比如下例,
例3:当时,证明不等式
证法一 利用拉格朗日中值定理:设在(或)上有,即,若,则,得证,时同理。
证法二 柯西中值定理:设,在(或)上有,,,所以,整理得
证法三 利用单调性
设,,若,则 ,在上单调递增,,即 ;若,则,在上单调递减,,还有成立,所以当时,不等式成立。
证法四 利用泰勒公式,
的一阶麦克劳林展式,,(介于0和之间),
因为,所以,即,不等式成立。
通过同样一个题目解决不等式的证明问题,就可以启发学生运用所学过的不同知识:利用微分中值定理、极值性单调性,还可以通过泰勒公式等等多种方法,解题的同时培养了学生用发散式思考问题的方法。
4 数学建模的方法,培养创造思维
对于数学的实际应用有很多,在高等数学的教学过程中,要努力培养、提高学生的创造性思维,这是提高学生创新能力的基础,使得学生“学以致用”,使他们在创造性思维的支配下,更好的解决实际问题。由于所教专业的特点,本文仅仅对于化工专业的学生举两个实际的例子,
例4:位于河边的某造纸厂,向河中排放含有四氯化碳的污水,当地环保部门发现后责令该厂立即安装过滤装置,以减少并最终停止向河中排放四氯化碳。当过滤装置安装完毕开始工作到完全停止排放污水,四氯化碳的排放速度与时间的关系为:其中时过滤装置开始工作,问题:从过滤器开始工作到污液完全停止排放污水,要用多少时间？在此期间有多少四氯化碳流入河中？
解:完全停止排污时:,即得
设在此期间四氯化碳流入河中量为,所以
因此,从过滤器开始工作到污液完全停止排放污水,要用4年时间,在此期间有32四氯化碳流入河中。
例5:某城市大气污染指数取决于两个因素:空气中固体废物的质量和空气中有害气体的数量,假设,计算在处,当增长或增长时,用偏导数估算的改变量。
解:这是求多元函数变化率的实际问题,设空气中有害气体的数量,且固定不变,当空气中固体废物的质量时,对的变化率为,当增长,即从到,增长个单位;同理,当增长,即从到,增长个单位,由此可见,大气污染指数对于空气中有害气体的数量增长比对于空气中固体废物的质量增长更为敏感,要控制大气污染程度应该重点控制有害气体排放大的工业项目。
通过这两个实际的例子,它的内容与学生所学的化工专业有密切的关系,这在数学教学中有很好的作用,一方面,学生认识到数学可以解决身边息息相关的实际问题,另一方面,又进一步激发了学生学习数学的极大兴趣,建立实际问题的数学模型,培养学生的创造性思维。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2001.
[2] 李忠,周建莹.关于高等数学的一些尝试[J].数学通报,1999(2):39-40.
[3] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006(1):9-11.
[4] 王美娟.提高高等数学教与学的质量[J].上海理工大学学报,2004(04):26-27.
[5] 張晓贵,王子苓.论高等数学教学中的因材施教[J].工科数学,1996(04):79-80.
[6] 陈晓龙,施庆生.高等数学教学改革的探索与实践[J].化工高等教育,2008(2):22-24.
[7] 熊德之,张志军,孙霞林,等.对高等数学在高校课程体系中地位的思考[J].化工高等教育,2007(4):1-3.
关键词:大学数学极限微积分数学建模
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)06(a)-0172-02
数学是一门非常重要的基础科学,它与人类的生产和生活有着密切的联系。数学家华罗庚同志曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学”。高等数学作为理工科大学生的一门重要的基础理论课,不仅为后继课进一步获得数学知识奠定必要的数学基础,同时还要逐步培养学生的抽象概括、逻辑思维、空间想象和自学能力,尤其是综合运用所学的知识去分析问题、解决问题的能力。化学中很早就应用了数学,现代化学中图论、群论等数学理论的应用得到了意想不到的成果,在1981年度诺贝尔化学奖获得者霍夫曼(R.Hoffmann)和福井谦一,他们就利用数学的群论建立和发展了著名的“轨道对称守恒原理”。数学的思想方法已经成为现代化学抽象思维及理论发展的有力工具。对于化工类专业的学生而言,只有掌握好数学的工具,才能利于它去更好地解决能源、质量、环境等化学工业的相关问题,促进化学工业的飞速发展。在高等数学的教学中,注意加强对数学基本思想方法的教学,对于学生能力的发展以及提高教学质量都是大有益处的。
1 极限思想方法的运用,培养动态思维
极限是高等数学的重要概念,极限的基本思想贯穿于高等数学的整个始终,很多重要的概念,如导数、定积分、级数等都是利用极限提出的。它是处理静与动、常量与变量、有限与无限的基本手段,同时极限的方法贯穿于微积分学的始终。恰恰是极限方法的运用,才产生了由初等数学到高等数学的质的飞跃。对于极限的定义和基本性质的把握,是系统认识整个理论体系的关键。
极限的概念是高等数学教学过程中的一个难点。在介绍极限概念时不仅要注意启发学生在从描述性的定义上升到精确的数学抽象观念的过程,认真体会其中从量变到质变的辩证关系,还要随着其他基本概念的引入来逐步加深对极限思想的理解和对极限方法的运用。恰恰是在这个过程中使学生对于极限及其方法的运用有一个比较完整和深刻的认识。
例1:求平面图形,绕轴旋转一周所成旋转体的体积。我们曾经用极限求和的元素法推导过,绕轴旋转一周所成旋转体的体积,根据元素法的推导方法,可得旋转体的体积,这样处理之后,课堂的讲授和学生的思维都会很积极,使得学生注重于运用方法去分析而不是简单机械的套用公式。同时也为学生解决元素法的其他问题开辟了途径。
由此可见,引入微元分析的方法处理应用问题,又将极限的方法升华到一个新的层次。这几种体现了极限方法的生动、简洁与广泛性。
2 数形结合的方法,发展类比思维
数学研究的就是各种抽象的“数”和“形”的结构模式,这是对于学生理性思维的一种训练,而这种理性思维的训练对于培养学生全面素质的提高,分析能力的加强,创新意识的启迪都是至关重要的。在高等数学的教学中,有许多问题可以借助图形轻松的解决问题,或者换句话说,用数形结合的方法,往往会使问题迎刃而解,来看下面的例子。
例2:设常数,则方程在内实根的个数为:
一般的,判断方程根的个数有多种方法,但是对于填空或选择类型的试题,就要求在尽可能短的时间内给出正确的结果,应启发学生将数与形结合起来思考问题。对于上题,可以先观察方程左侧,令在处切线斜率,对应的切线方程为:,即;再比较方程右侧,此直线与切线相互平行,而且在切线的下方,可以画出它们的图形(如图1)。
由图1可知,要判断方程根的个数,其实就是看与 交点的个数,由图可见有两个交点,根的个数是2个。
3 运用多种思路,培养发散型思维
所谓“发散性思维”是指信息处理的途径灵活多变,求得结果的方法丰富多样,它是一种立体式的思维,对于一些问题按不同的方向去思考探索,产生新的信息并获得解决问题的多种方案,在高等数学中“一题多解”就是典型的激发学生发散思维的方法。比如下例,
例3:当时,证明不等式
证法一 利用拉格朗日中值定理:设在(或)上有,即,若,则,得证,时同理。
证法二 柯西中值定理:设,在(或)上有,,,所以,整理得
证法三 利用单调性
设,,若,则 ,在上单调递增,,即 ;若,则,在上单调递减,,还有成立,所以当时,不等式成立。
证法四 利用泰勒公式,
的一阶麦克劳林展式,,(介于0和之间),
因为,所以,即,不等式成立。
通过同样一个题目解决不等式的证明问题,就可以启发学生运用所学过的不同知识:利用微分中值定理、极值性单调性,还可以通过泰勒公式等等多种方法,解题的同时培养了学生用发散式思考问题的方法。
4 数学建模的方法,培养创造思维
对于数学的实际应用有很多,在高等数学的教学过程中,要努力培养、提高学生的创造性思维,这是提高学生创新能力的基础,使得学生“学以致用”,使他们在创造性思维的支配下,更好的解决实际问题。由于所教专业的特点,本文仅仅对于化工专业的学生举两个实际的例子,
例4:位于河边的某造纸厂,向河中排放含有四氯化碳的污水,当地环保部门发现后责令该厂立即安装过滤装置,以减少并最终停止向河中排放四氯化碳。当过滤装置安装完毕开始工作到完全停止排放污水,四氯化碳的排放速度与时间的关系为:其中时过滤装置开始工作,问题:从过滤器开始工作到污液完全停止排放污水,要用多少时间？在此期间有多少四氯化碳流入河中？
解:完全停止排污时:,即得
设在此期间四氯化碳流入河中量为,所以
因此,从过滤器开始工作到污液完全停止排放污水,要用4年时间,在此期间有32四氯化碳流入河中。
例5:某城市大气污染指数取决于两个因素:空气中固体废物的质量和空气中有害气体的数量,假设,计算在处,当增长或增长时,用偏导数估算的改变量。
解:这是求多元函数变化率的实际问题,设空气中有害气体的数量,且固定不变,当空气中固体废物的质量时,对的变化率为,当增长,即从到,增长个单位;同理,当增长,即从到,增长个单位,由此可见,大气污染指数对于空气中有害气体的数量增长比对于空气中固体废物的质量增长更为敏感,要控制大气污染程度应该重点控制有害气体排放大的工业项目。
通过这两个实际的例子,它的内容与学生所学的化工专业有密切的关系,这在数学教学中有很好的作用,一方面,学生认识到数学可以解决身边息息相关的实际问题,另一方面,又进一步激发了学生学习数学的极大兴趣,建立实际问题的数学模型,培养学生的创造性思维。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2001.
[2] 李忠,周建莹.关于高等数学的一些尝试[J].数学通报,1999(2):39-40.
[3] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006(1):9-11.
[4] 王美娟.提高高等数学教与学的质量[J].上海理工大学学报,2004(04):26-27.
[5] 張晓贵,王子苓.论高等数学教学中的因材施教[J].工科数学,1996(04):79-80.
[6] 陈晓龙,施庆生.高等数学教学改革的探索与实践[J].化工高等教育,2008(2):22-24.
[7] 熊德之,张志军,孙霞林,等.对高等数学在高校课程体系中地位的思考[J].化工高等教育,2007(4):1-3.