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摘 要：学生的错误是一种宝贵的资源，加以研究、开发和利用，其效果比多讲几道题要好得多． 本文从五个方面探讨了如何充分利用学生的错误资源来优化数学课堂教学．
关键词：学生错误；课堂教学
英国心理学家隶贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用，则是不能原谅的．” 学生的错误是一种宝贵的资源，加以研究、开发和利用，其效果比多讲几道题要好得多． 我们教师应正视学生的错误，把学生的典型错误变成教学的宝贵资源，用它可激发学习兴趣；加深对概念、定理的理解，优化思维过程；培养学生思维的独立性、完整性．
■重视错误产生的原因，激发学生学习的兴趣
学生解题出错是有原因的．教师在课堂教学中设计这种例子让学生去体会、对比、分析，同时让班级中不同层次的学生大胆发表自己的见解，并及时对学生的回答给予肯定与鼓励，使学生们都能意识到自己受老师的重视，让那些做错的学生知道错误的原因，体会到学习数学的成功与乐趣． 这样的教学就能抓住学生的心，极大地激发学生的好奇心，调动学生的积极性．
例：设a，b为非零向量，且（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），求a与b的夹角θ．
错解：由已知（a+3b）·（7a-5b）=0，所以7a2+16a·b-15b2=0，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ①
又（a-4b）·（7a-2b）=0，所以7a2-30a·b+8b2=0，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇②
①-②得
2a·b=b2，即2a=b，所以a与b的夹角θ=0°．
剖析：误将实数的运算法则类比运用到了向量运算之中，由2a·b=b2，并不能得出2a=b，而应将2a·b=b2代入①得a2=b2，即a=b． 从而cosθ=■=■=■，
所以a与b的夹角θ=60°．
“错误”引发了学生对以上问题的主动、积极的思考，极大地调动了学生的思维热情，学生在“欲罢不能”的浓浓的探究氛围中开始了对新内容的学习． 因此教师可以在课堂上有意制造一点“错误”，给学生一些“包袱”，触发认知冲突，活跃学生思维．
■用错来巩固数学知识，加深对概念、定理、性质的理解
有些教师在讲概念时会直接告诉学生结论．概念的形成过程实际就是知识从低级向高级、具体到抽象、感性到理性、特殊到一般、由此及彼的变化过程，而学生如果能经历这种过程，就能够把自己的思维从底层提升到高层． 公式、定理、性质记忆出错，教师要再现它们的来源． 如，学生经常把降幂公式记成：
sin2θ=■，sin2θ=■
对此，教师要从降幂公式产生的过程出发，让学生理解它的来龙去脉．
■用错来优化思维过程，提高学生元认知水平
在学生的“错误”中，往往包含着学生真实的学习心理，也包含着学生所特有的创造性东西． 教师只有正确对待学生的错误，认同学生的错误，才能让学生消除害怕的心理，学生便会在数学课堂教学中大胆回答问题、积极认真去思考相关的问题、并全面展示自己的思维，进而充分暴露思维中的错误，使课堂教学更具有针对性． 同时通过问题的暴露，能让学生明白知识的缺陷、思维中的错误，经过引导、纠正，让学生留下深刻的印象． 及时打破原有的认知结构，“正确”可能是一种告诉、一种模仿，而“错误”绝对是一种经历、一种学习．
若不等式9x－（k+1）3x+2>0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
误解：令3x=t，则原命题等价于t2－（k+1）t+2>0恒成立．
？摇？摇由二次函数知识可得：
Δ=（k+1）2－8<0？圯－1－2■ 要求学生思考、讨论：①错误的原因；②在原有的基础上修正；③更好的解法．
通过一段时间的思考、争论，学生很快找到了出错的根源，并给出了不同的解法（二次函数法、分离最值法、求导数法等）． 接下来进行适当变题：
变式1：若不等式9x－（k+1）3x+2>0有解，求实数k的取值范围．
变式2：若方程9x－（k+1）3x+2=0有解，求实数k的取值范围．
这样的例子在高中数学中有很多，如果我们教师适时设计类似的问题来训练学生，不仅能避免错误，还能提高学生思维的深刻性和全面性．
■提高学生承受挫折的能力，养成良好的心理素质
从发展的角度来说，犯错误是学生特有的“权利”，可以说，学生是在错误中成长起来的． 教师的作用在于正视错误，利用错误． 站在学生的立场去顺应他们的认识，剖析错误思想的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究． 发现错误是学生第一次反思的结果，改正错误是学生的第二次反思，那么总结错误，整理错误以至深化拓展便是学生的第三次反思． 一次又一次的错误提高了学生的耐挫能力，养成良好的心理素质．不经历风雨，怎能见彩虹．
认知过程中的错误，通常不能一次得以解决． 因此，要指导学生收集错误，归类整理，形成资源，也就是让学生建立“错题集”． 这既是学生积累学习经验和学习资料的宝库，又是教师改进教学，探索规律，研究学生的重要依据，更是提高教学质量的有效措施． 经常翻看错题集，不仅能让学生明确错误产生的原因，以后不再犯同样的错误，也可以帮助学生从对错误的多次反思中，提高自己对错误的判别能力，尽可能做到少错，甚至不错．
关键词：学生错误；课堂教学
英国心理学家隶贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用，则是不能原谅的．” 学生的错误是一种宝贵的资源，加以研究、开发和利用，其效果比多讲几道题要好得多． 我们教师应正视学生的错误，把学生的典型错误变成教学的宝贵资源，用它可激发学习兴趣；加深对概念、定理的理解，优化思维过程；培养学生思维的独立性、完整性．
■重视错误产生的原因，激发学生学习的兴趣
学生解题出错是有原因的．教师在课堂教学中设计这种例子让学生去体会、对比、分析，同时让班级中不同层次的学生大胆发表自己的见解，并及时对学生的回答给予肯定与鼓励，使学生们都能意识到自己受老师的重视，让那些做错的学生知道错误的原因，体会到学习数学的成功与乐趣． 这样的教学就能抓住学生的心，极大地激发学生的好奇心，调动学生的积极性．
例：设a，b为非零向量，且（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），求a与b的夹角θ．
错解：由已知（a+3b）·（7a-5b）=0，所以7a2+16a·b-15b2=0，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ①
又（a-4b）·（7a-2b）=0，所以7a2-30a·b+8b2=0，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇②
①-②得
2a·b=b2，即2a=b，所以a与b的夹角θ=0°．
剖析：误将实数的运算法则类比运用到了向量运算之中，由2a·b=b2，并不能得出2a=b，而应将2a·b=b2代入①得a2=b2，即a=b． 从而cosθ=■=■=■，
所以a与b的夹角θ=60°．
“错误”引发了学生对以上问题的主动、积极的思考，极大地调动了学生的思维热情，学生在“欲罢不能”的浓浓的探究氛围中开始了对新内容的学习． 因此教师可以在课堂上有意制造一点“错误”，给学生一些“包袱”，触发认知冲突，活跃学生思维．
■用错来巩固数学知识，加深对概念、定理、性质的理解
有些教师在讲概念时会直接告诉学生结论．概念的形成过程实际就是知识从低级向高级、具体到抽象、感性到理性、特殊到一般、由此及彼的变化过程，而学生如果能经历这种过程，就能够把自己的思维从底层提升到高层． 公式、定理、性质记忆出错，教师要再现它们的来源． 如，学生经常把降幂公式记成：
sin2θ=■，sin2θ=■
对此，教师要从降幂公式产生的过程出发，让学生理解它的来龙去脉．
■用错来优化思维过程，提高学生元认知水平
在学生的“错误”中，往往包含着学生真实的学习心理，也包含着学生所特有的创造性东西． 教师只有正确对待学生的错误，认同学生的错误，才能让学生消除害怕的心理，学生便会在数学课堂教学中大胆回答问题、积极认真去思考相关的问题、并全面展示自己的思维，进而充分暴露思维中的错误，使课堂教学更具有针对性． 同时通过问题的暴露，能让学生明白知识的缺陷、思维中的错误，经过引导、纠正，让学生留下深刻的印象． 及时打破原有的认知结构，“正确”可能是一种告诉、一种模仿，而“错误”绝对是一种经历、一种学习．
若不等式9x－（k+1）3x+2>0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
误解：令3x=t，则原命题等价于t2－（k+1）t+2>0恒成立．
？摇？摇由二次函数知识可得：
Δ=（k+1）2－8<0？圯－1－2■
通过一段时间的思考、争论，学生很快找到了出错的根源，并给出了不同的解法（二次函数法、分离最值法、求导数法等）． 接下来进行适当变题：
变式1：若不等式9x－（k+1）3x+2>0有解，求实数k的取值范围．
变式2：若方程9x－（k+1）3x+2=0有解，求实数k的取值范围．
这样的例子在高中数学中有很多，如果我们教师适时设计类似的问题来训练学生，不仅能避免错误，还能提高学生思维的深刻性和全面性．
■提高学生承受挫折的能力，养成良好的心理素质
从发展的角度来说，犯错误是学生特有的“权利”，可以说，学生是在错误中成长起来的． 教师的作用在于正视错误，利用错误． 站在学生的立场去顺应他们的认识，剖析错误思想的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究． 发现错误是学生第一次反思的结果，改正错误是学生的第二次反思，那么总结错误，整理错误以至深化拓展便是学生的第三次反思． 一次又一次的错误提高了学生的耐挫能力，养成良好的心理素质．不经历风雨，怎能见彩虹．
认知过程中的错误，通常不能一次得以解决． 因此，要指导学生收集错误，归类整理，形成资源，也就是让学生建立“错题集”． 这既是学生积累学习经验和学习资料的宝库，又是教师改进教学，探索规律，研究学生的重要依据，更是提高教学质量的有效措施． 经常翻看错题集，不仅能让学生明确错误产生的原因，以后不再犯同样的错误，也可以帮助学生从对错误的多次反思中，提高自己对错误的判别能力，尽可能做到少错，甚至不错．