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在概率课堂的学习中以及课外的练习中，发现学生们都能很好的理解并完成相应的习题，但是一旦考试，学生们则容易简单问题复杂化或复杂问题简单化，总之，得分率不高，有的即使得满分了，但花的时间较多，效率不高.究其原因，是区分不清楚概率中易混淆的一些问题与不善于化归.下面我例谈概率中几个易混淆的问题，希望对高中同学学习概率有所帮助.
一、 “等可能”与“非等可能”
例1掷一对不同颜色的均匀的骰子2次，计算点数和大于7的概率.
错解：记点数和为x，则x的可能取值为2、3、4，…，12，共11个结果，因为基本事件N＝11，“x＞7”有8、9、10、11、12共5个，即n（A）＝5，依据概率计算公式可得P（x＞7）＝511.
错解原因：误认为点数和的每个值出现的可能性相等.
事实上，掷一对不同颜色的均匀的骰子2次，依据分步计数原理可知基本事件N＝6×6＝36，其具体各事件可用枚举法列表如下：第一次
点数和
第二次123456123456723456783456789456789105678910116789101112其中P（x＝2）＝136，P（x＝3）＝236，显然P（x＝2）≠P（x＝3）
n（x≥7）＝15，P（x＞7）＝n(x＞7)N＝1536＝512.
二、 “互斥”与“对立”
例2从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只红球和1只白球”与“取出一只红球和2只白球”；
② “取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
③ “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
④ “取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有（）
A.①②B.②③
C.①④D.③
此题许多同学易错选C.错选的原因是对“互斥”与“对立”两概率混淆理解不清.“互斥”是指两事件不可能同时发生，“对立”是指两事件必有一个会发生的互斥事件，它是互斥事件是特殊情况.“对立”事件是“互斥”事件，但“互斥”事件不一定是对立事件.理解“互斥”事件，“对立”事件可借助于集合的关系来理解，以本题为例：从装5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的事件有：
A={3只均为红球}
B={2只红球，1只白球}
C={1只红球，2只白球}
D={3只均为白球}
全集：U={A，B，C，D}全集U中，A、B、C、D之间是彼此“互斥”的，而对A而言，CuA={B，C，D}，表示事件“取出3只球至少有1只白球”，A与CuA是“对立”的，故本题正确答案是D.
三、 “互拆”与“独立”
例3甲、乙两人投篮，甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.6.每人各投篮3次，则两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲投篮恰好命中2次”为事件A，“乙投篮恰好命中2次”为事件B，则所求事件为A＋B.
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝C230.82（1－0.8）＋C230.62（1－0.6）＝0.816
错解原因：两人恰好命中2次是指事件A与事件B同时发生，而事件A与事件B是相互独立事件，本题错把相互独立事件当成了互斥事件.
正解：P（AB）＝P（A）P（B）＝C230.82（1－0.8）×C230.62（1－0.6）＝0.166
四、 “条件概率”与“非条件概率”
例4（1） 一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就获得及格.某学生会答10道题中的8道题，求这位学生口试及格的概率.
（2） 某学生在一次口试中，共有10道题选择，已知该生会答其中的6题，从中随机抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率.
这两道题在内容上很相近，容易让学生误认为是同一题型.实质上，第（1）题是“非条件概率”，其解法可按古典概型计算公式计算：P=c28c12+c38c310=1415；第（2）题是“条件概率”——在第一题不会答的情况下及格的概率，其解法可依据条件概率的计算公式P（B/A）=P（AB）P（A）计算，详解如下：
记事件A＝{从10题中依次抽5题，第一题不会答}，
事件B＝{从10题中依次抽5题，有3题或4题会答}，
P（A）=C14A49A510P（AB）=C14(C36C13+C46C03)A44A510
P（B/A）=P(AB)P(A)=2542
五、 “超几何分布”与“二项分布”
例5（1） 在10件产品中，有4件次品，现从中任取4件，用x表示取得的次品数，试写出x的分布列.
（2） 在10件产品中，有4件次品，现从中有放回地取4次，每次取一个，用x表示取得的次品数，试写出x的分布列.
这也是两道容易混淆的概率题，第（1）题随机变量x服从参数N＝10，M＝4，n＝4的几何分布，其概率计算公式为P（x＝k）＝Ck4C4-k6C410（k＝0,1,2,3,4）.第（2）题取球4次，有放回地取，每次取球是次品的概率均为
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 “等可能”与“非等可能”
例1掷一对不同颜色的均匀的骰子2次，计算点数和大于7的概率.
错解：记点数和为x，则x的可能取值为2、3、4，…，12，共11个结果，因为基本事件N＝11，“x＞7”有8、9、10、11、12共5个，即n（A）＝5，依据概率计算公式可得P（x＞7）＝511.
错解原因：误认为点数和的每个值出现的可能性相等.
事实上，掷一对不同颜色的均匀的骰子2次，依据分步计数原理可知基本事件N＝6×6＝36，其具体各事件可用枚举法列表如下：第一次
点数和
第二次123456123456723456783456789456789105678910116789101112其中P（x＝2）＝136，P（x＝3）＝236，显然P（x＝2）≠P（x＝3）
n（x≥7）＝15，P（x＞7）＝n(x＞7)N＝1536＝512.
二、 “互斥”与“对立”
例2从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只红球和1只白球”与“取出一只红球和2只白球”；
② “取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
③ “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
④ “取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有（）
A.①②B.②③
C.①④D.③
此题许多同学易错选C.错选的原因是对“互斥”与“对立”两概率混淆理解不清.“互斥”是指两事件不可能同时发生，“对立”是指两事件必有一个会发生的互斥事件，它是互斥事件是特殊情况.“对立”事件是“互斥”事件，但“互斥”事件不一定是对立事件.理解“互斥”事件，“对立”事件可借助于集合的关系来理解，以本题为例：从装5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的事件有：
A={3只均为红球}
B={2只红球，1只白球}
C={1只红球，2只白球}
D={3只均为白球}
全集：U={A，B，C，D}全集U中，A、B、C、D之间是彼此“互斥”的，而对A而言，CuA={B，C，D}，表示事件“取出3只球至少有1只白球”，A与CuA是“对立”的，故本题正确答案是D.
三、 “互拆”与“独立”
例3甲、乙两人投篮，甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.6.每人各投篮3次，则两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲投篮恰好命中2次”为事件A，“乙投篮恰好命中2次”为事件B，则所求事件为A＋B.
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝C230.82（1－0.8）＋C230.62（1－0.6）＝0.816
错解原因：两人恰好命中2次是指事件A与事件B同时发生，而事件A与事件B是相互独立事件，本题错把相互独立事件当成了互斥事件.
正解：P（AB）＝P（A）P（B）＝C230.82（1－0.8）×C230.62（1－0.6）＝0.166
四、 “条件概率”与“非条件概率”
例4（1） 一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就获得及格.某学生会答10道题中的8道题，求这位学生口试及格的概率.
（2） 某学生在一次口试中，共有10道题选择，已知该生会答其中的6题，从中随机抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率.
这两道题在内容上很相近，容易让学生误认为是同一题型.实质上，第（1）题是“非条件概率”，其解法可按古典概型计算公式计算：P=c28c12+c38c310=1415；第（2）题是“条件概率”——在第一题不会答的情况下及格的概率，其解法可依据条件概率的计算公式P（B/A）=P（AB）P（A）计算，详解如下：
记事件A＝{从10题中依次抽5题，第一题不会答}，
事件B＝{从10题中依次抽5题，有3题或4题会答}，
P（A）=C14A49A510P（AB）=C14(C36C13+C46C03)A44A510
P（B/A）=P(AB)P(A)=2542
五、 “超几何分布”与“二项分布”
例5（1） 在10件产品中，有4件次品，现从中任取4件，用x表示取得的次品数，试写出x的分布列.
（2） 在10件产品中，有4件次品，现从中有放回地取4次，每次取一个，用x表示取得的次品数，试写出x的分布列.
这也是两道容易混淆的概率题，第（1）题随机变量x服从参数N＝10，M＝4，n＝4的几何分布，其概率计算公式为P（x＝k）＝Ck4C4-k6C410（k＝0,1,2,3,4）.第（2）题取球4次，有放回地取，每次取球是次品的概率均为
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文