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数学应用是国际数学教育的热点与焦点，涉及实际情境的问题设置和解法，是检测、评估数学教学质量和学生的数学素养，应用数学知识、观点、方法处理实际问题的能力的有效举措。笔者从现行教材出发，研习数学建模与求解方法，以构建数模教与学的和谐与统一，促进课堂教学改革与发展，充实数学校本教研内涵，提升教学效果。
函数模型及解法
借助数学探求科学认知和刻画自然规律的过程中，往往出现最值（最大或最小、最高或最低、最费或最省、最优或最劣）等问题。如普通高中数学教材5中P112页，“一段长36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个菜园的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？”
解法1：设矩形的一边长为xm，另一边为ym，则菜园周长为2（x y）=36，菜园面积为xy.由算术平均数和几何平均数间的关系得知：≤（x y）/2=9，xy≤81.当且仅当x=y=9m时，Smax=81m2。
解法2：设矩形的长为xm，则宽为（18-x）m，面积S=x（18-x）=18x-x2 （0∠x∠18）.由二次函数的几何性质可知：当x=9m时，Smax=81m2。
从数学情境中可以抽象出数学模型，利用模型的方法解决实际问题是个人知识的内化、能力的提升、数学素养的提高和拓展，也是数学教育的出发点和归宿。
几何模型及解法
人对客观世界规律的认识是由感性到理性，又由理性回到感性的定势，思维方式从而趋于直观和形象化。定向思维、发散思维、创造思维都以这种形象思维作为基础，几何模型表述数形思想是形象思维的具体途径。
如新课标人教版（数学A）中，“已知⊿ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，S是⊿ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c边的长度”。
解法1：三角形面积公式模型其中p=（a b c）/2，化简得，c4-82c2 1281=0，c1=，c2=。所以⊿ABC的c边的长度是或。
解法2：三角形面积模型 S=bh=absinC，作任意三角形⊿ABC，即5=×5h=×5×4sinc，sinC=/2，即角C=600或1200。由余弦定理或Rt⊿勾股定理知，c1=，c2=.故⊿ABC的c边的长度是或。
几何解析模型可以设置体积、面积、质量、重力等情境，利用空间、平面或数轴的维度进行几何定位，确定几何关系，建立几何模型，解决相关数学实际问题。此类问题可以设置测绘等背景材料来展示。
三角模型及解法
数学语言既是数学思维的工具，又是数学思维的产物，把自然语言转化为数学符号系统，并用专业的数学语言进行交流、思维，解决实际问题，三角模型就是最佳的例证。向量沟通了代数、几何与三角，具有极其丰富的背景与内涵，在数学与物理学中有着广泛的运用空间。如普通高中数学4中P100页，“已知任意两个非零向量a、b，试作=a b， =a 2b， =a 3b。判断A、B、C三点间的位置关系”。
解析：如果把b和a看作平面直角坐标第一象限正半轴的两个坐标，则A点坐标为A（b，a）;B点坐标为B（2b，a）;C点坐标为C（3b，a）.则AB、BC、AC三条直线的斜率KAB=（yB-yA）/（xB-xA）=0，KBC=（yC-yB）/（xC-xB）=0，KAC=（yC-yA）/（xC-xA）=0。同理证明A、B、C三点在同一条直线上。
数学语言与自然语言相互转化的过程中，衬托出诸多背景材料（源于生活），振动方程所构建的三角关系源于自然，并将为人类社会和改造大自然服务，这也是我学习数学所获得的感悟。
数理模型及解法
数理模型用于描述客观世界中许多事物发生变化规律的数理思想，具有较强的现实意义和传承功效，也是中学数学建模的重要内容，是对数理活动的描白、拓展和特写。如普通高中数学1中P63页，“截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多能为多少？我国人口数达18亿的年份是？”
解析：列举法分析。经1年人口数为13（1 1%）;经两年人口数为13（1 1%）2;… 经过x年人口数模型y=13（1 1%）x。当x=20时，y=13×1.0120≈16亿。由模型y=13×1.01x变形为x=㏒1.01y/13，当y=18时，x=㏒1.01y/13==㏒1.0118/13≈33（年）。即经过20年后，我国人口数最多能为16亿，2032年人口数可达到18亿。
函数模型是一个统计量模式，受其定义域的限制和约束并赋意。教学中利用函数间的关系进行变形，既彰显了函数间的内在规律，起到事半功倍的效果，也搭建了模型间互为因果的鹊桥，使学习者茅塞顿开，受到启发。
不等式的建模
在浩瀚的数学长河中，等量关系并不能穷尽所有的数量关系，不等式弥补了这一缺陷，并用简洁的数形关系反映了现实生活中的不等量关系。不同的不等量关系，需要建构不同的不等式模型来表述。如贴近生活的竞赛游戏、个人收入与纳税、购物过程中的优惠与打折等，广泛的不等量背景演绎出相应的不等量模型。
总之，探究数学模型就是把学习数学分析的过程转化为学习数学分析的结果，并用之实现举一反三、触类旁通的神奇效果。如树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列、星辰的运转、日夜的更替，都遵循了某些自然规律，我们把这些自然规律归纳成数形语言，抽象为由特殊到一般的数学模型，就可以充分利用自然规律，并对自然规律加以推演、评估，人为地加以控制和改造，造福于社会。按其规律确立数理模型，构建相应的函数关系式，并结合量纲等对其赋意，就能实现我们数学建模的初衷。
（作者单位： 宁夏隆德县职业中学）
函数模型及解法
借助数学探求科学认知和刻画自然规律的过程中，往往出现最值（最大或最小、最高或最低、最费或最省、最优或最劣）等问题。如普通高中数学教材5中P112页，“一段长36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个菜园的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？”
解法1：设矩形的一边长为xm，另一边为ym，则菜园周长为2（x y）=36，菜园面积为xy.由算术平均数和几何平均数间的关系得知：≤（x y）/2=9，xy≤81.当且仅当x=y=9m时，Smax=81m2。
解法2：设矩形的长为xm，则宽为（18-x）m，面积S=x（18-x）=18x-x2 （0∠x∠18）.由二次函数的几何性质可知：当x=9m时，Smax=81m2。
从数学情境中可以抽象出数学模型，利用模型的方法解决实际问题是个人知识的内化、能力的提升、数学素养的提高和拓展，也是数学教育的出发点和归宿。
几何模型及解法
人对客观世界规律的认识是由感性到理性，又由理性回到感性的定势，思维方式从而趋于直观和形象化。定向思维、发散思维、创造思维都以这种形象思维作为基础，几何模型表述数形思想是形象思维的具体途径。
如新课标人教版（数学A）中，“已知⊿ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，S是⊿ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c边的长度”。
解法1：三角形面积公式模型其中p=（a b c）/2，化简得，c4-82c2 1281=0，c1=，c2=。所以⊿ABC的c边的长度是或。
解法2：三角形面积模型 S=bh=absinC，作任意三角形⊿ABC，即5=×5h=×5×4sinc，sinC=/2，即角C=600或1200。由余弦定理或Rt⊿勾股定理知，c1=，c2=.故⊿ABC的c边的长度是或。
几何解析模型可以设置体积、面积、质量、重力等情境，利用空间、平面或数轴的维度进行几何定位，确定几何关系，建立几何模型，解决相关数学实际问题。此类问题可以设置测绘等背景材料来展示。
三角模型及解法
数学语言既是数学思维的工具，又是数学思维的产物，把自然语言转化为数学符号系统，并用专业的数学语言进行交流、思维，解决实际问题，三角模型就是最佳的例证。向量沟通了代数、几何与三角，具有极其丰富的背景与内涵，在数学与物理学中有着广泛的运用空间。如普通高中数学4中P100页，“已知任意两个非零向量a、b，试作=a b， =a 2b， =a 3b。判断A、B、C三点间的位置关系”。
解析：如果把b和a看作平面直角坐标第一象限正半轴的两个坐标，则A点坐标为A（b，a）;B点坐标为B（2b，a）;C点坐标为C（3b，a）.则AB、BC、AC三条直线的斜率KAB=（yB-yA）/（xB-xA）=0，KBC=（yC-yB）/（xC-xB）=0，KAC=（yC-yA）/（xC-xA）=0。同理证明A、B、C三点在同一条直线上。
数学语言与自然语言相互转化的过程中，衬托出诸多背景材料（源于生活），振动方程所构建的三角关系源于自然，并将为人类社会和改造大自然服务，这也是我学习数学所获得的感悟。
数理模型及解法
数理模型用于描述客观世界中许多事物发生变化规律的数理思想，具有较强的现实意义和传承功效，也是中学数学建模的重要内容，是对数理活动的描白、拓展和特写。如普通高中数学1中P63页，“截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多能为多少？我国人口数达18亿的年份是？”
解析：列举法分析。经1年人口数为13（1 1%）;经两年人口数为13（1 1%）2;… 经过x年人口数模型y=13（1 1%）x。当x=20时，y=13×1.0120≈16亿。由模型y=13×1.01x变形为x=㏒1.01y/13，当y=18时，x=㏒1.01y/13==㏒1.0118/13≈33（年）。即经过20年后，我国人口数最多能为16亿，2032年人口数可达到18亿。
函数模型是一个统计量模式，受其定义域的限制和约束并赋意。教学中利用函数间的关系进行变形，既彰显了函数间的内在规律，起到事半功倍的效果，也搭建了模型间互为因果的鹊桥，使学习者茅塞顿开，受到启发。
不等式的建模
在浩瀚的数学长河中，等量关系并不能穷尽所有的数量关系，不等式弥补了这一缺陷，并用简洁的数形关系反映了现实生活中的不等量关系。不同的不等量关系，需要建构不同的不等式模型来表述。如贴近生活的竞赛游戏、个人收入与纳税、购物过程中的优惠与打折等，广泛的不等量背景演绎出相应的不等量模型。
总之，探究数学模型就是把学习数学分析的过程转化为学习数学分析的结果，并用之实现举一反三、触类旁通的神奇效果。如树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列、星辰的运转、日夜的更替，都遵循了某些自然规律，我们把这些自然规律归纳成数形语言，抽象为由特殊到一般的数学模型，就可以充分利用自然规律，并对自然规律加以推演、评估，人为地加以控制和改造，造福于社会。按其规律确立数理模型，构建相应的函数关系式，并结合量纲等对其赋意，就能实现我们数学建模的初衷。
（作者单位： 宁夏隆德县职业中学）