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随着新课程标准在全国各地的逐步展开，初中数学的教学内容正在进行着一系列的重大调整，删除了一些偏、繁、难的内容，增加了一些趣味性好，实用性强，后续学习要求高的内容。作为代数与几何完美结合的解析几何在初中阶段的缔造者——直角坐标系得到了相应的加强，比原大纲增加了“图形与坐标”，并降低了二次函数的要求。由于它是初高中的衔接内容，又是最简洁的数形结合思想的体现，更是学习函数的有力工具。因此涉及点坐标的相关内容在近几年尤其是今年的中考和各级各类竞赛中频频出现。本文从点坐标的基础知识开始对有关点坐标的问题加以归纳、剖析和思考。
1 点坐标的基础知识
（1） 点坐标的概念：点坐标（a,b)是由横坐标a和纵坐标b所组成，横坐标a和纵坐标b之间用逗号点开，并用小括号括起来。
（2） 点坐标的含义：直角坐标系中的点与一组有序实数对一一对应，具体表现为任何一对有序实数对都表示一个点；反之任何一个点都有一对有序实数对与其对应，因此如点A（3，4）和点B（4，3）就表示两个不同的点。
（3） 点坐标的几何意义：如图1，P(a,b)到x轴的距离PE=|b|，点P到y轴的距离PF=|a|。
（4） 点坐标的对称
分析：先观察横坐标与纵坐标相等的点，然后寻找规律。
解：点（0，0）粒子运动了0分钟；点（1，1）粒子运动了1×2=2分钟，将向左运动；点（2，2）粒子运动了2×3=6分钟，将向下运动；点（3，3）粒子运动了3×4=12分钟，将向左运动；点（4，4）粒子运动了4×5=20分钟，将向下运动；…点（44，44）粒子运动了44×45=1980分钟，将向下运动；1989分钟，粒子将从点（44，44）向下运动9个单位，此时粒子所在的位置为（44，35）。
（2006年浙江省竞赛决赛试题）问题14：一只青蛙在平面直角坐标系上点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
① 能从任意一点（a,b)，跳到点（2a,b)或(a,2b)；
② 对于点(a,b)，如果a＞b，则能从(a,b)跳到(a-b,b)；如果a＜b，则能从（a,b)跳到(a,b-a)。
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）。
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由。
解：（1） 能到达点（3，5）和点（200，6）。
从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）。
从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）。
（2） 不能到达点（12，60）和（200，5）。
理由如下：
因为 a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，
所以 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数。
因为如果a＞b，a和b的最大公约数=(a-b)和b的最大公约数，
如果a＜b，a和b的最大公约数=(b-a)和b的最大公约数，
所以由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数。
从而规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数。
因为1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5。
所以从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）。
反思：点坐标有关的规律性探索问题与其它规律性问题一样可以从最简单的情况入手，或画图示意，或枚举一些结论，从中寻找问题的一般规律。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
1 点坐标的基础知识
（1） 点坐标的概念：点坐标（a,b)是由横坐标a和纵坐标b所组成，横坐标a和纵坐标b之间用逗号点开，并用小括号括起来。
（2） 点坐标的含义：直角坐标系中的点与一组有序实数对一一对应，具体表现为任何一对有序实数对都表示一个点；反之任何一个点都有一对有序实数对与其对应，因此如点A（3，4）和点B（4，3）就表示两个不同的点。
（3） 点坐标的几何意义：如图1，P(a,b)到x轴的距离PE=|b|，点P到y轴的距离PF=|a|。
（4） 点坐标的对称
分析：先观察横坐标与纵坐标相等的点，然后寻找规律。
解：点（0，0）粒子运动了0分钟；点（1，1）粒子运动了1×2=2分钟，将向左运动；点（2，2）粒子运动了2×3=6分钟，将向下运动；点（3，3）粒子运动了3×4=12分钟，将向左运动；点（4，4）粒子运动了4×5=20分钟，将向下运动；…点（44，44）粒子运动了44×45=1980分钟，将向下运动；1989分钟，粒子将从点（44，44）向下运动9个单位，此时粒子所在的位置为（44，35）。
（2006年浙江省竞赛决赛试题）问题14：一只青蛙在平面直角坐标系上点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
① 能从任意一点（a,b)，跳到点（2a,b)或(a,2b)；
② 对于点(a,b)，如果a＞b，则能从(a,b)跳到(a-b,b)；如果a＜b，则能从（a,b)跳到(a,b-a)。
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）。
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由。
解：（1） 能到达点（3，5）和点（200，6）。
从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）。
从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）。
（2） 不能到达点（12，60）和（200，5）。
理由如下：
因为 a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，
所以 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数。
因为如果a＞b，a和b的最大公约数=(a-b)和b的最大公约数，
如果a＜b，a和b的最大公约数=(b-a)和b的最大公约数，
所以由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数。
从而规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数。
因为1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5。
所以从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）。
反思：点坐标有关的规律性探索问题与其它规律性问题一样可以从最简单的情况入手，或画图示意，或枚举一些结论，从中寻找问题的一般规律。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”