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一、研究缘起
随着我校“课堂45分钟分段式模块教学”改革的不断深入，越来越多的数学教师确立了以学生为主体的教学观念，一改以往“一讲到底”“滔滔不绝”的做法，在课堂教学中“三缄其口”，不时保持缄默，尽量地将课堂还给学生，促使学生主动学习，数学课堂正发生着可喜的变化。
二、概念界定及理论支撑
1.“缄默”的涵义：文中的“缄默”，是指教师在对课堂透彻理解和把握的基础上，为学生创设安静的氛围，引发学生思考，激活学生思维的一种现象。它不是无可奈何的无语，而是一种技巧，一种艺术。
2.“课堂45分钟分段式模块教学”的涵义：简单地讲，是指将数学课堂教学目标进行分段、在教学每一段落中、在教师缄默情境下、如何组织学生进行自主学习的一种有效的教学新范式。其中，教师能否适时保持缄默，成了数学“课堂45分钟分段式模块教学”能否顺利推进的关键因素。该范式有三个特点：一是体现了“一个理念”，就是以“促进学生主动发展”为核心，通过尽量减少教师讲授时间来确保学生学习的时间，来着力体现学生的课堂主体地位；二是体现了“三讲三不讲”原则，“三讲”是指教师讲易混点、讲易错点、讲易漏点，“三不讲”是学生自己会了的不讲、学生自己能学会的不讲、老师讲了学生也学不会的不讲；三是体现了“四个还给”新课改精神，就是把学习时间、学习主动权、思考空间、参与过程还给学生，并通过生生互动、师生互动达成教学目标。
三、实践操作
1.课堂“缄默”时机的选择
（1）学生议论时，需要教师“缄默”。面对学生的议论，数学教师不应急于下结论，应保持智慧的沉默，耐心聆听学生关于该问题的不同看法和见解，这样有利于让学生的思维在激烈的争论中打开。
（2）学生探究时，需要教师“缄默”。数学课堂教学中，在面对学生一时无法快速做出回应或无法确切地表述的情况时，教师应保持适当的沉默，主动留给学生自由思考、探究的时间和空间。
（3）学生理解时，需要教师“缄默”。数学课堂教学中，不仅进行着师生、生生对话，同样也与教学内容进行交流。学生对内容的理解不同，导致其思考问题的切入点也各不相同。因此，在面对学生理解不一时，教师要机智地保持沉默，真诚地接纳它们，以便为后续探究作铺垫。
2.课堂“缄默”策略的运用
下面，笔者以“数学归纳法”第一课时为例，谈谈“缄默”策略在“课堂45分钟分段式模块教学”中的具体实践。
（1）第一时间段落：5分钟。
教学目标：95%以上的学生能识别完全归纳法和不完全归纳法，体会两者的不同后，举生活例子加以区分。
内容模块：引例1：明朝《应谐录》中财主二子学写字的故事。引例2：教师逐一统计单科成绩，得到结论“全都合格”。问题1：两个例子的推理在本质上有什么不同？能不能对应这两种归纳法，再各举生活中的一个例子。
教学过程与方法：①学生阅读引例1、引例2，结合问题1比较两个引例的推理过程，寻找完全归纳法和不完全归纳法的不同处（2分钟）。教师缄默：2分钟。缄默目的：学生在阅读，归纳推理比较时，教师应保持缄默，给学生充足的时间，促使学生积极思维，从而激发他们的学习积极性。②学生甲回答问题1，教师组织其他同学认真倾听、判断、分析后，如果有必要及时补充、纠正；最后达成共识，建构新知（2分钟）。教师缄默：1分钟。缄默目的：学生在回答问题、主动探讨、知识建构时，教师应保持缄默，以增强学生的主体意识。③教师板书点明本课时学习的主题——“数学归纳法”（1分钟）。
第一段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计3分钟。
（2）第二时间段落：18分钟。
教学目标：①80%以上的学生能发现多米诺骨牌全倒的两个条件，并概括其主要内容。②60%的学生能独立思考类比出例1的两个条件，剩下40%的学生，能在全体同学的交流合作后，也发现、认同这两个条件。③95%的学生能口述数学归纳法证明的一般步骤，通过口述提高数学语言表达能力。
内容模块：引例3：多米诺骨牌游戏PPT。问题2：要保证多米诺骨牌全倒的条件是什么？问题3：这两个条件是否可以去掉一个？为什么？例1：类比多米诺骨牌的原理，请尝试写出要证明首项为a1，公差为d等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d的两个条件。明确数学归纳法概念。（PPT）
教学过程与方法：①学生看了引例3后，教师播放flash动画观看骨牌推倒过程，并请几位学生结合生活经验，描述游戏的过程，使其他学生更能身临其境，从而活跃课堂气氛，激发求知欲（3分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在动手操作、实验、体验、经验交流的过程中，教师应保持缄默，使学生亲身体验到成功的喜悦或认识到其中的不足。②教师提问2，学生结合动画（注意动画要反复地放，以便学生能从动画中有发现，有感悟，揭示问题本质，克服难点），积极思考，各抒己见；教师敏锐捕捉学生的发言，抓住时机，画龙点睛，并请学生代表概括出两个关键条件，教师板书（4分钟）。教师缄默：2分钟。缄默目的：学生在动手操作、感悟思考之时教师应保持缄默，从而锻炼学生独立思考的能力。③集体斟酌问题3，体会两个条件的缺一不可（2分钟）。④学生通过思考、类比在纸上书写证明例1的两个条件；教师下班指导，对困难教大的学生给予启发，令其自悟。4分钟后，代表发言，集体讨论，确定答案后教师板书（6分钟）。教师缄默：4分钟。缄默目的：学生在思考、书写、自悟、同学讨论的过程中，教师应保持缄默，给学生思维的碰撞，让其有“兵教兵，兵带兵”的机会及“顿悟”的机会。⑤教师给出数学归纳法概念，学生集体分析要点，概括出证明的一般步骤，共同建构新知，并用1分钟时间体会、记忆（3分钟）。教师缄默：1分钟。缄默目的：学生在理解，体会记忆概念时，教师应保持缄默，给学生留下一个静心思考的时空，促其“顿悟”。 第二段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计10分钟。
（3）第三时间段落：22分钟。
教学目标：①90%以上学生会根据数学归纳法的一般步骤完整给出例1证明。②85%的学生能通过选择题1更深入地认识到数学归纳的递推原理，体会到数学逻辑的严密性。80%以上的学生能由选择题2后提高证明过程中从n=k递推到n=k+1的能力，准确找到增减的具体项。③70%以上的学生能独立猜想证明类似于练习1难度的恒等式，完整清晰地写出解答过程，还有20%以上的学生能在集体合作下完成解答，提高学生相互交流与合作的能力，体味合作共赢的乐趣。④能简要说出数学归纳法的一些要点和学后体会。
内容模块：①根据步骤完整证明例1。②选择题1、选择题2。（PPT）说明：选择题1是能让学生深入认识数学归纳法归纳递推的原理与逻辑关系，要点明假设必须用，并且要用好；选择题2要注意从n=k递推到n=k+1项数一般会增加，但有时也会减少。③练习1：先猜想前四项，再用数学归纳法证明。（见幻灯片）注意：在从n=k递推到n=k+1时可以先确定证明的目标，适时采用倒退分析法。④小结学习中的要点，说说本堂课学后体会。
教学过程与方法：①学生独立完成证明，3分钟后，教师给出答案，学生自行校对，保证解题格式完整，解答正确（4分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在自行校对、纠错理解时，教师应保持缄默，学生可以利用这些“间歇”来充分咀嚼、消化、吸收所学的知识。②练习选择题1、选择题2，教师下班巡视，关注学生的解答情况，发现存在的共性问题为讲评做准备，同时控制好做题时间。学生代表给出答案，并说明原因，其他同学仔细分析其说明，适时补充、纠正，共同提高，教师适时点评与评价。学生通过解题，体会运用数学归纳法的要点，思考1分钟以突破本课时的又一难点（4分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在解题、答题、析题、纠题的过程中，教师应适时保持缄默，以培养学生的自悟能力。③学生先独立思考解答练习1，答完后同桌相互交流，帮助对方共同提高；教师下班巡视，参与交流，适时指导，促其自悟；对于共同问题，准备好集中讲评（8分钟）。教师缄默：4分钟。缄默目的：学生在独立解题、思考时，教师应保持缄默，学生在讨论、交流时，教师应作为一个聆听者，不应打断学生的思路，应突显学生的主体地位。④教师将一些具有代表性的解答投影出来，让学生对比自己的解题过程，自行改进，并鼓励对投影出来的解答有疑惑的地方进行提问，集体讨论，在相互合作中发现问题，改进解答，解决难点。教师在板书中标出证明时的关键和学生代表中的闪光点，指导学生获得经验和解题技巧。这是本课时教学的重点，也是难点（5分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在对比自己的解答，提出疑问，开展讨论，改进解答的过程，是一个自我提高的过程，教师应保持缄默，做一个合作者。⑤学生说说数学归纳法的一般步骤，解题注意点，方法运用技巧。教师布置作业，若课堂上有时间可再加一个补充练习（见PPT）。（1分钟）
第三段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计约13分钟。
课后反思：本课时的重点是让学生能理解数学归纳法证明的原理，并用数学归纳法的一般步骤证明一些与正整数有关的恒等式。难点有三（见上），由于教师缄默时间适当（约26分钟），使学生自主学习时间高出教师讲解时间，学生思考探究得充分，因而，本课在教学中重点突出，难点也迎刃而解。
教师适时的缄默，能尽量把课堂还给学生，不仅唤醒了学生的主体意识，还让其养成了主动思考、主动实践的良好习惯，从而大大提高了数学学习的效率。当然，教师缄默的时间不是越长越好，应根据学生学习难易程度适时点拨，让学生的思维得以持续，这样教师合作者、引领者的地位才不至于缺失。
（作者单位：浙江杭州市萧山区第三高级中学）
随着我校“课堂45分钟分段式模块教学”改革的不断深入，越来越多的数学教师确立了以学生为主体的教学观念，一改以往“一讲到底”“滔滔不绝”的做法，在课堂教学中“三缄其口”，不时保持缄默，尽量地将课堂还给学生，促使学生主动学习，数学课堂正发生着可喜的变化。
二、概念界定及理论支撑
1.“缄默”的涵义：文中的“缄默”，是指教师在对课堂透彻理解和把握的基础上，为学生创设安静的氛围，引发学生思考，激活学生思维的一种现象。它不是无可奈何的无语，而是一种技巧，一种艺术。
2.“课堂45分钟分段式模块教学”的涵义：简单地讲，是指将数学课堂教学目标进行分段、在教学每一段落中、在教师缄默情境下、如何组织学生进行自主学习的一种有效的教学新范式。其中，教师能否适时保持缄默，成了数学“课堂45分钟分段式模块教学”能否顺利推进的关键因素。该范式有三个特点：一是体现了“一个理念”，就是以“促进学生主动发展”为核心，通过尽量减少教师讲授时间来确保学生学习的时间，来着力体现学生的课堂主体地位；二是体现了“三讲三不讲”原则，“三讲”是指教师讲易混点、讲易错点、讲易漏点，“三不讲”是学生自己会了的不讲、学生自己能学会的不讲、老师讲了学生也学不会的不讲；三是体现了“四个还给”新课改精神，就是把学习时间、学习主动权、思考空间、参与过程还给学生，并通过生生互动、师生互动达成教学目标。
三、实践操作
1.课堂“缄默”时机的选择
（1）学生议论时，需要教师“缄默”。面对学生的议论，数学教师不应急于下结论，应保持智慧的沉默，耐心聆听学生关于该问题的不同看法和见解，这样有利于让学生的思维在激烈的争论中打开。
（2）学生探究时，需要教师“缄默”。数学课堂教学中，在面对学生一时无法快速做出回应或无法确切地表述的情况时，教师应保持适当的沉默，主动留给学生自由思考、探究的时间和空间。
（3）学生理解时，需要教师“缄默”。数学课堂教学中，不仅进行着师生、生生对话，同样也与教学内容进行交流。学生对内容的理解不同，导致其思考问题的切入点也各不相同。因此，在面对学生理解不一时，教师要机智地保持沉默，真诚地接纳它们，以便为后续探究作铺垫。
2.课堂“缄默”策略的运用
下面，笔者以“数学归纳法”第一课时为例，谈谈“缄默”策略在“课堂45分钟分段式模块教学”中的具体实践。
（1）第一时间段落：5分钟。
教学目标：95%以上的学生能识别完全归纳法和不完全归纳法，体会两者的不同后，举生活例子加以区分。
内容模块：引例1：明朝《应谐录》中财主二子学写字的故事。引例2：教师逐一统计单科成绩，得到结论“全都合格”。问题1：两个例子的推理在本质上有什么不同？能不能对应这两种归纳法，再各举生活中的一个例子。
教学过程与方法：①学生阅读引例1、引例2，结合问题1比较两个引例的推理过程，寻找完全归纳法和不完全归纳法的不同处（2分钟）。教师缄默：2分钟。缄默目的：学生在阅读，归纳推理比较时，教师应保持缄默，给学生充足的时间，促使学生积极思维，从而激发他们的学习积极性。②学生甲回答问题1，教师组织其他同学认真倾听、判断、分析后，如果有必要及时补充、纠正；最后达成共识，建构新知（2分钟）。教师缄默：1分钟。缄默目的：学生在回答问题、主动探讨、知识建构时，教师应保持缄默，以增强学生的主体意识。③教师板书点明本课时学习的主题——“数学归纳法”（1分钟）。
第一段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计3分钟。
（2）第二时间段落：18分钟。
教学目标：①80%以上的学生能发现多米诺骨牌全倒的两个条件，并概括其主要内容。②60%的学生能独立思考类比出例1的两个条件，剩下40%的学生，能在全体同学的交流合作后，也发现、认同这两个条件。③95%的学生能口述数学归纳法证明的一般步骤，通过口述提高数学语言表达能力。
内容模块：引例3：多米诺骨牌游戏PPT。问题2：要保证多米诺骨牌全倒的条件是什么？问题3：这两个条件是否可以去掉一个？为什么？例1：类比多米诺骨牌的原理，请尝试写出要证明首项为a1，公差为d等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d的两个条件。明确数学归纳法概念。（PPT）
教学过程与方法：①学生看了引例3后，教师播放flash动画观看骨牌推倒过程，并请几位学生结合生活经验，描述游戏的过程，使其他学生更能身临其境，从而活跃课堂气氛，激发求知欲（3分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在动手操作、实验、体验、经验交流的过程中，教师应保持缄默，使学生亲身体验到成功的喜悦或认识到其中的不足。②教师提问2，学生结合动画（注意动画要反复地放，以便学生能从动画中有发现，有感悟，揭示问题本质，克服难点），积极思考，各抒己见；教师敏锐捕捉学生的发言，抓住时机，画龙点睛，并请学生代表概括出两个关键条件，教师板书（4分钟）。教师缄默：2分钟。缄默目的：学生在动手操作、感悟思考之时教师应保持缄默，从而锻炼学生独立思考的能力。③集体斟酌问题3，体会两个条件的缺一不可（2分钟）。④学生通过思考、类比在纸上书写证明例1的两个条件；教师下班指导，对困难教大的学生给予启发，令其自悟。4分钟后，代表发言，集体讨论，确定答案后教师板书（6分钟）。教师缄默：4分钟。缄默目的：学生在思考、书写、自悟、同学讨论的过程中，教师应保持缄默，给学生思维的碰撞，让其有“兵教兵，兵带兵”的机会及“顿悟”的机会。⑤教师给出数学归纳法概念，学生集体分析要点，概括出证明的一般步骤，共同建构新知，并用1分钟时间体会、记忆（3分钟）。教师缄默：1分钟。缄默目的：学生在理解，体会记忆概念时，教师应保持缄默，给学生留下一个静心思考的时空，促其“顿悟”。 第二段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计10分钟。
（3）第三时间段落：22分钟。
教学目标：①90%以上学生会根据数学归纳法的一般步骤完整给出例1证明。②85%的学生能通过选择题1更深入地认识到数学归纳的递推原理，体会到数学逻辑的严密性。80%以上的学生能由选择题2后提高证明过程中从n=k递推到n=k+1的能力，准确找到增减的具体项。③70%以上的学生能独立猜想证明类似于练习1难度的恒等式，完整清晰地写出解答过程，还有20%以上的学生能在集体合作下完成解答，提高学生相互交流与合作的能力，体味合作共赢的乐趣。④能简要说出数学归纳法的一些要点和学后体会。
内容模块：①根据步骤完整证明例1。②选择题1、选择题2。（PPT）说明：选择题1是能让学生深入认识数学归纳法归纳递推的原理与逻辑关系，要点明假设必须用，并且要用好；选择题2要注意从n=k递推到n=k+1项数一般会增加，但有时也会减少。③练习1：先猜想前四项，再用数学归纳法证明。（见幻灯片）注意：在从n=k递推到n=k+1时可以先确定证明的目标，适时采用倒退分析法。④小结学习中的要点，说说本堂课学后体会。
教学过程与方法：①学生独立完成证明，3分钟后，教师给出答案，学生自行校对，保证解题格式完整，解答正确（4分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在自行校对、纠错理解时，教师应保持缄默，学生可以利用这些“间歇”来充分咀嚼、消化、吸收所学的知识。②练习选择题1、选择题2，教师下班巡视，关注学生的解答情况，发现存在的共性问题为讲评做准备，同时控制好做题时间。学生代表给出答案，并说明原因，其他同学仔细分析其说明，适时补充、纠正，共同提高，教师适时点评与评价。学生通过解题，体会运用数学归纳法的要点，思考1分钟以突破本课时的又一难点（4分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在解题、答题、析题、纠题的过程中，教师应适时保持缄默，以培养学生的自悟能力。③学生先独立思考解答练习1，答完后同桌相互交流，帮助对方共同提高；教师下班巡视，参与交流，适时指导，促其自悟；对于共同问题，准备好集中讲评（8分钟）。教师缄默：4分钟。缄默目的：学生在独立解题、思考时，教师应保持缄默，学生在讨论、交流时，教师应作为一个聆听者，不应打断学生的思路，应突显学生的主体地位。④教师将一些具有代表性的解答投影出来，让学生对比自己的解题过程，自行改进，并鼓励对投影出来的解答有疑惑的地方进行提问，集体讨论，在相互合作中发现问题，改进解答，解决难点。教师在板书中标出证明时的关键和学生代表中的闪光点，指导学生获得经验和解题技巧。这是本课时教学的重点，也是难点（5分钟）。教师缄默：3分钟。缄默目的：学生在对比自己的解答，提出疑问，开展讨论，改进解答的过程，是一个自我提高的过程，教师应保持缄默，做一个合作者。⑤学生说说数学归纳法的一般步骤，解题注意点，方法运用技巧。教师布置作业，若课堂上有时间可再加一个补充练习（见PPT）。（1分钟）
第三段中，在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间共计约13分钟。
课后反思：本课时的重点是让学生能理解数学归纳法证明的原理，并用数学归纳法的一般步骤证明一些与正整数有关的恒等式。难点有三（见上），由于教师缄默时间适当（约26分钟），使学生自主学习时间高出教师讲解时间，学生思考探究得充分，因而，本课在教学中重点突出，难点也迎刃而解。
教师适时的缄默，能尽量把课堂还给学生，不仅唤醒了学生的主体意识，还让其养成了主动思考、主动实践的良好习惯，从而大大提高了数学学习的效率。当然，教师缄默的时间不是越长越好，应根据学生学习难易程度适时点拨，让学生的思维得以持续，这样教师合作者、引领者的地位才不至于缺失。
（作者单位：浙江杭州市萧山区第三高级中学）