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[摘 要]从“三角形的面积”的教学入手，思考如何发挥传统教具的作用。巧用钉子板和三角形教具，以小见大地展示面积计算方法的本质内涵，让学生在动手、动脑中产生思维冲突，获得丰富的数学活动经验。
[关键词]教具;三角形面积;转化
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）23-0072-02
在华东六省一市第十九届小学数学课堂教学观摩研讨会上，江苏省严兵老师执教了“三角形的面积”一课，现摘录教学片段如下，以飨读者。
【教学片段一】精心设计，借题发挥
师（出示钉板，用一根牛筋在钉距1分米的钉板上分别创造出一个长方形，一个平行四边形，引导学生观察思考并复习长方形和平行四边形的面积公式）：今天我们就利用这块钉板进行学习。每两个钉之间的距离是1分米，那么每四个能组成小正方形的钉围成的面积就是1平方分米。
师：长方形的面积公式是怎么样的？
生1：长方形面积=长[×]宽。
师：平行四边形的面积公式呢？
生2：平行四边形的面积是底乘以高。
师：怎么推导平行四边形的面积公式？
生3：将一个平行四边形沿着高剪成两部分，然后将这两部分重新拼凑成一个长方形，这个平行四边形的底就是这个长方形的长，这个平行四边形的高就是这个長方形的宽，所以平行四边形的面积就是底乘高。
师（利用牛筋围成一个三角形，如图1）：回到钉子板上，看看特殊的三角形。
师：谁来说说这个三角形的面积是多少？
生4：0.5。
师：现在我把这个三角形的底拉长，高拉长，这个三角形的面积是多少？（如图2）
生5：长乘高再除以2。
师：你是看到了什么才得到这个结论的？
生5：我看到了一个与三角形的底和高相等的正方形。
师（教师根据学生的回答，利用牛筋围成一个正方形，如图3）：除了原来的三角形和一个正方形，还变出了一个什么图形？
生6：变出了一个三角形。
师：这个三角形和原来的三角形有什么关系？
生7：一模一样。
师：现在我把这个三角形的底拉长，拉长，再拉长，你发现了什么？（如图4）
生8：面积在变大，变大，再变大。
师：如果继续把这个三角形的高拉长，拉长，再拉长，你发现了什么？
生9：面积也在变大，变大，再变大。
师：这时候是不是可以大胆地猜测三角形的面积与什么有关？
生10：三角形的面积与底和高有关。
师：那三角形的面积与底和高之间到底有什么关系呢？这就是我们这节课的学习重点。
“画清方能明理，联系更能促思。”在教学新知识之前，教师直接利用钉子板复习长方形和平行四边形面积公式的推导过程，唤起学生“转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法，为新知的探索做好思维、能力和兴趣方面的准备，提高了学习效率。
在教授新知环节，教师仍旧借助钉子板和牛筋演示三角形的变化过程，学生对比新旧图形，找到其中的关联，从而推测三角形的面积可能与底和高有关。帮助学生明确“变”不是盲目随意的变，不是为了变而变，而是在“变”的基础上能找到变化前后的关系，这是很关键的一步。钉子板的充分利用，为学生发现、理解图形转化前后线段长短变化与其对应关系，以及与面积变化的关系提供了直观的演示，同时为学生从具象思维向抽象思维的提升构筑了阶梯。
【教学片段二】推导公式，建立模型
师：这个大的三角形面积是多少？
生1：12平方分米。添加一个一模一样的三角形，得到一个长方形，这个长方形的面积是24平方米，除以2就是12平方米，也就是这个大的三角形的面积。
师：现在老师再变出一个三角形。怎么求这个三角形的面积呢？
生2：可以找一个一模一样的三角形跟它拼成一个平行四边形。
师（出示5个三角形，图略）：你会选择哪个三角形呢？
生2：我选5号，因为5号三角形和这个三角形完全一样，其他几个三角形不一样。
师：那怎么确定这个三角形与原来的三角形是一模一样的呢？
生3：可以将5号三角形先与原来三角形重合，然后进行旋转、平移，就可以与原来的三角形拼成一个平行四边形。
师：你能想办法求出1号、3号和4号这三个三角形的面积吗？小组合作活动要求：
（1）选一选，拼一拼。从信封里取出2个三角形纸片拼一拼。
（2）填一填，算一算。根据操作填表，算出拼成的平行四边形和每个三角形的面积。
[拼成的平行四边形 三角形 底（厘米） 高（厘米） 面积（平方厘米） 底（厘米） 高（厘米） 面积（平方厘米） ]
（3）想一想，议一议：你有什么发现？
师：经过操作可再次明确什么样的三角形才能拼成一个平行四边形。
生4：两个完全一样的三角形。
师：拼成的平行四边形与原来的三角形有什么关系？
生5：等底等高。
生6：完全一样
师：有什么不一样吗？
生7：等底等高的三角形不一定完全一样，但是完全一样的三角形肯定等底等高。
师：三角形的面积怎么求？为什么？
生8：因为两个三角形可以拼成一个平行四边形。一个三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半，所以三角形的面积=底[×]高÷2。
生9：我补充一下，应该是两个完全一样的三角形。
教师顺向组织多层次的体验活动，为学生探索三角形的面积计算方法提供了丰富的感性材料;然后借助动手操作、小组合作、沟通提高等几个层次的活动，沟通直观材料与数学概念之间的关系，激发学生自主提炼数学模型的兴趣。学生对三角形的面积计算公式是对应的平行四边形的面积的一半的关系越来越清晰，对三角形面积公式的理解自然水到渠成。这是渗透数学模型思想，发展学生逻辑思维的重要过程。
整个教学过程，就借助了几个普通的锐角、钝角、直角三角形学具，虽然朴实无华，但以小见大地展示了面积计算方法的本质内涵。
这节课没有华丽的教学素材，没有高科技的教学课件，仅仅用小小的钉子板和普通的三角形教具，就完成了核心的学习任务，同时还使学习过程的深刻性与学习材料的生动性、学习活动的具体性有效结合起来。这样的教学告诉我们，教学实践研究的并不是简单的设计与尝试，它更应该是一个教师已有的教学经验的展现，是经验基础上的创新，而这也正是我们一线教师在专业成长过程中必须重视的问题。
（责编 金 铃）
[关键词]教具;三角形面积;转化
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）23-0072-02
在华东六省一市第十九届小学数学课堂教学观摩研讨会上，江苏省严兵老师执教了“三角形的面积”一课，现摘录教学片段如下，以飨读者。
【教学片段一】精心设计，借题发挥
师（出示钉板，用一根牛筋在钉距1分米的钉板上分别创造出一个长方形，一个平行四边形，引导学生观察思考并复习长方形和平行四边形的面积公式）：今天我们就利用这块钉板进行学习。每两个钉之间的距离是1分米，那么每四个能组成小正方形的钉围成的面积就是1平方分米。
师：长方形的面积公式是怎么样的？
生1：长方形面积=长[×]宽。
师：平行四边形的面积公式呢？
生2：平行四边形的面积是底乘以高。
师：怎么推导平行四边形的面积公式？
生3：将一个平行四边形沿着高剪成两部分，然后将这两部分重新拼凑成一个长方形，这个平行四边形的底就是这个长方形的长，这个平行四边形的高就是这个長方形的宽，所以平行四边形的面积就是底乘高。
师（利用牛筋围成一个三角形，如图1）：回到钉子板上，看看特殊的三角形。
师：谁来说说这个三角形的面积是多少？
生4：0.5。
师：现在我把这个三角形的底拉长，高拉长，这个三角形的面积是多少？（如图2）
生5：长乘高再除以2。
师：你是看到了什么才得到这个结论的？
生5：我看到了一个与三角形的底和高相等的正方形。
师（教师根据学生的回答，利用牛筋围成一个正方形，如图3）：除了原来的三角形和一个正方形，还变出了一个什么图形？
生6：变出了一个三角形。
师：这个三角形和原来的三角形有什么关系？
生7：一模一样。
师：现在我把这个三角形的底拉长，拉长，再拉长，你发现了什么？（如图4）
生8：面积在变大，变大，再变大。
师：如果继续把这个三角形的高拉长，拉长，再拉长，你发现了什么？
生9：面积也在变大，变大，再变大。
师：这时候是不是可以大胆地猜测三角形的面积与什么有关？
生10：三角形的面积与底和高有关。
师：那三角形的面积与底和高之间到底有什么关系呢？这就是我们这节课的学习重点。
“画清方能明理，联系更能促思。”在教学新知识之前，教师直接利用钉子板复习长方形和平行四边形面积公式的推导过程，唤起学生“转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法，为新知的探索做好思维、能力和兴趣方面的准备，提高了学习效率。
在教授新知环节，教师仍旧借助钉子板和牛筋演示三角形的变化过程，学生对比新旧图形，找到其中的关联，从而推测三角形的面积可能与底和高有关。帮助学生明确“变”不是盲目随意的变，不是为了变而变，而是在“变”的基础上能找到变化前后的关系，这是很关键的一步。钉子板的充分利用，为学生发现、理解图形转化前后线段长短变化与其对应关系，以及与面积变化的关系提供了直观的演示，同时为学生从具象思维向抽象思维的提升构筑了阶梯。
【教学片段二】推导公式，建立模型
师：这个大的三角形面积是多少？
生1：12平方分米。添加一个一模一样的三角形，得到一个长方形，这个长方形的面积是24平方米，除以2就是12平方米，也就是这个大的三角形的面积。
师：现在老师再变出一个三角形。怎么求这个三角形的面积呢？
生2：可以找一个一模一样的三角形跟它拼成一个平行四边形。
师（出示5个三角形，图略）：你会选择哪个三角形呢？
生2：我选5号，因为5号三角形和这个三角形完全一样，其他几个三角形不一样。
师：那怎么确定这个三角形与原来的三角形是一模一样的呢？
生3：可以将5号三角形先与原来三角形重合，然后进行旋转、平移，就可以与原来的三角形拼成一个平行四边形。
师：你能想办法求出1号、3号和4号这三个三角形的面积吗？小组合作活动要求：
（1）选一选，拼一拼。从信封里取出2个三角形纸片拼一拼。
（2）填一填，算一算。根据操作填表，算出拼成的平行四边形和每个三角形的面积。
[拼成的平行四边形 三角形 底（厘米） 高（厘米） 面积（平方厘米） 底（厘米） 高（厘米） 面积（平方厘米） ]
（3）想一想，议一议：你有什么发现？
师：经过操作可再次明确什么样的三角形才能拼成一个平行四边形。
生4：两个完全一样的三角形。
师：拼成的平行四边形与原来的三角形有什么关系？
生5：等底等高。
生6：完全一样
师：有什么不一样吗？
生7：等底等高的三角形不一定完全一样，但是完全一样的三角形肯定等底等高。
师：三角形的面积怎么求？为什么？
生8：因为两个三角形可以拼成一个平行四边形。一个三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半，所以三角形的面积=底[×]高÷2。
生9：我补充一下，应该是两个完全一样的三角形。
教师顺向组织多层次的体验活动，为学生探索三角形的面积计算方法提供了丰富的感性材料;然后借助动手操作、小组合作、沟通提高等几个层次的活动，沟通直观材料与数学概念之间的关系，激发学生自主提炼数学模型的兴趣。学生对三角形的面积计算公式是对应的平行四边形的面积的一半的关系越来越清晰，对三角形面积公式的理解自然水到渠成。这是渗透数学模型思想，发展学生逻辑思维的重要过程。
整个教学过程，就借助了几个普通的锐角、钝角、直角三角形学具，虽然朴实无华，但以小见大地展示了面积计算方法的本质内涵。
这节课没有华丽的教学素材，没有高科技的教学课件，仅仅用小小的钉子板和普通的三角形教具，就完成了核心的学习任务，同时还使学习过程的深刻性与学习材料的生动性、学习活动的具体性有效结合起来。这样的教学告诉我们，教学实践研究的并不是简单的设计与尝试，它更应该是一个教师已有的教学经验的展现，是经验基础上的创新，而这也正是我们一线教师在专业成长过程中必须重视的问题。
（责编 金 铃）