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建构主义认为，所有知识都是被建构的，主体只有作用于客体才能获得知识，儿童必须通过外部动作或活动才能使概念内化。当前，大多数幼儿园教师已经接纳了这一理念并努力实践着。但有时候教师由于对幼儿学习过程缺乏了解，因此提供的操作材料不能很好地顺应并促进幼儿数学思维的发展。在行动研究过程中，我们不断帮助教师厘清数学概念及其相互之间的复杂关系、幼儿学习这些概念的过程及思维发展特点。在此基础上，教师提供给幼儿的操作材料跟原有的也有所不同了。在此，呈现两组教师在行动研究前后提供的操作材料。
一、关于“数的分解”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于“数的分解”方面的操作材料如图1、图2所示，如要把8分解成两个数，幼儿就摆出6个点子和2个点子的叶子，或者5个点子和3个点子的叶子。类似材料可能很多幼儿园教师都制作过。这样的材料与纸质练习单相比有所进步，可供幼儿摆弄。但我们发现，幼儿操作几次之后便再也没有兴趣了，而且幼儿并没有“做中学”，而是头脑中先有答案再摆出来的。这样的操作材料对于那些尚没有掌握数的分解的幼儿并无太大益处，也有悖于“通过让幼儿操作材料达到运算的逐步内化和对运算过程反省抽象”的初衷。
（二）调整后的操作材料
1.“玩转保龄球”
如图3，地上摆好10个瓶子，幼儿站在离瓶子一定距离处“打保龄球”，之后数一数自己打倒了几个瓶子，站着的还有几个瓶子。然后取出相应的小木棍插入图表下方的口袋里，并写出相应的分解式和加法算式。比如，打倒了6个瓶子，就在“瓶子倒了”图表下的口袋里插入6根小木棍，在“站立瓶子”图表下的口袋里插入4根小木棍，然后写出“4 6=10”。对于那些还没有接触过加法算式的幼儿，教师可以改用数的分解式。
2.“打滑梯”
如图4，幼儿根据纸上显示的3个点子，将3个小球从“滑梯”上撒下来，3个小球就自然地被分到两个小盒子里。幼儿可以在记录单上记录每次“打滑梯”的结果。
3.“分球”
如图5，幼儿晃动3个球，这3个球会被随机分到两个格子里，幼儿记录分配的结果。
（三）调整后的操作材料的优点
数的分解这一概念涉及“整体与部分”“集合比较”“加减法”等概念。首先，幼儿应知道被分解的数量与分解后的两个数量之间是整体与部分的关系，且被分解的数量比较大；其次，幼儿需要更加精确地知道哪两个集合的数量相加等于被分解的数量。这个概念对于幼儿来说是非常抽象的，而实物和行动过程演示有助于幼儿的理解。我们可以看出，幼儿在运用调整后的操作材料时可以把数的分解过程完全显现出来。比如“10可以分成6和4”，完全可以用“打倒了6个瓶子，站立着4个瓶子”这一动作和形象表征出来。由于学前儿童处于具体形象思维阶段，所以把内部运算过程外显化，有助于幼儿理解抽象的概念。
另外，多种感知觉结合起来能更好地促进幼儿概念的获得。列乌申娜通过让儿童一边沿着几何形状的边缘触摸、一边看、一边说出几何形状的名字（触觉、运动觉、视觉、听觉结合起来），来提高儿童对几何形状的认识（转引自陈帼眉，1993）。调整后的操作材料主要就是将幼儿的数学学习与运动觉联系起来，以促进幼儿对抽象的数量关系的理解。其实，数学教育中还有很多把不同感知觉联系起来促进幼儿数学概念获得的做法，比如利用音乐或乐器让幼儿获得模式的概念（听觉、运动觉），提供不同粗糙程度的材料让幼儿分类（触觉、视觉），等等。
二、关于“加减法”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于加减运算的操作材料如图6～9所示：教师转动滚筒出现不同的加减题目，让幼儿口头说出总数；把算术题和得数拼在一起；把得数正确的算式套在相应的手指头上；变换瓶盖列出正确的加减运算题目。这是教师利用各种废旧材料制作的自认为生动有趣的操作材料，但是投放到区角后，教师发现很少有幼儿光顾。即便有时教师“揪”几个孩子过来玩，他们也表现不出太大的热情。经过观察和研讨，我们达成了共识：（1）这些操作材料跟纸质练习单并无本质差别，幼儿只是心算完题目之后摆出正确答案而已。这些材料显然没有给幼儿任何思维上的支持。（2）四种材料中有三种材料都涉及进位加法，这对于大班幼儿来说有一定难度。当然，对那些数概念发展较好的幼儿，教师可以采取个别化教学，让其接触一些进位加法，但教师仍需给予一定的支持。
（二）调整后的操作材料
1.“好长的毛毛虫”
加减运算的过程与位值概念的发展是不可分割的，尤其是在遇到包含进位和借位的加减运算时。有研究证实，儿童对位值的理解与儿童在进行加减运算时所使用的策略存在相关。当儿童的位值概念有所发展时，他们会从使用基本的策略（如口头数数、数手指）向使用高级的策略转化（如凑十法）。〔1〕
位值（place value）是指在一个多位数中单个数字的值是根据它所处的位置决定的。我们所使用的位值制，是以“十”作为基底的，也就是十进制位值制。〔2〕比如“11”中第一个“1”代表“1个10”，第二个“1”代表一个“1”，虽然幼儿不会这样绕口地表达，但是幼儿对此有自己的感知。比如，教师提供捆在一起的10支铅笔，还有一些散落的铅笔，然后让幼儿拿出11支铅笔。有位值概念的幼儿会很快拿一捆（10支）铅笔，再拿1支铅笔。位值概念没建立起来的幼儿则会直接拿11支散落的铅笔。
那么如何促进儿童位值概念的发展呢？有研究者指出，“部分—整体概念”（如上述10支铅笔捆在一起就变成了一个更大的单位：1个10）、“分群”（以不同的群来计数：大班点名时，有的幼儿2个2个数，有的幼儿5个5个数）是幼儿理解位值的关键。〔3〕所以，我们制作了有利于幼儿获得这两个概念的操作材料。
如图10所示，我们提供不同长度的单位（分别是：1个圈为一个单位，2个圈为一个单位，5个圈为一个单位，10个圈为一个单位），第一行的毛毛虫由那些10个圈为一个单位的长度组成。第二行中，让幼儿用其他单位长度与第一行的毛毛虫对应。在摆弄中，幼儿可以获得“部分与整体”及“分群”的概念，从而慢慢获得位值的概念。 2.“雪花条”
沃建中对5～10岁儿童加法策略运用的研究表明，我国儿童运用的加法策略主要有：从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略。〔4〕我们通过对班上幼儿的观察发现，在进行加减运算时大部分幼儿会选择从大数数策略，有些幼儿会用凑十法。我们在之前的教学中非常希望幼儿会用凑十法这种“更高级一点”的策略，所以会让幼儿背诵“口诀”，比如“8 3”的口诀是“8说，我多么想变成10啊，3说，我借给你2，3就剩1个了，最后得11”。但是，幼儿在背诵“凑十”口诀时是凭空想的，靠的是头脑里的表象，所以往往比较困难。于是，我们在区域投放材料（见图11）供数概念发展较好的幼儿操作。
我们把10个黄色雪花片用透明胶带粘成一长条（作为一个单位），摆在第一排作为参照。把其他超过5的雪花片也粘成长条，再提供给幼儿一些散落的雪花片。比如，幼儿操作“8 3”时，第一步，拿出一整条黄色的10个雪花片放在第一排作为参照，然后拿出一整条红色的8个雪花片，把两条雪花片的左端对齐；第二步，拿出散落的3个雪花片，接着往后摆8个雪花片，然后会发现与第一排的10个雪花片相比，第二排多出了1个雪花片，从而得出“8 3=11”。其实，这个操作材料就是把凭空背诵的“凑十法口诀”视觉化。
在幼儿操作这个材料时，我们并不要求幼儿心里想着“凑十法”或一定要运用“凑十法”。有些幼儿在操作时，只是在8个雪花片后面接着再数3个雪花片，这是完全可以的。因为幼儿的发展水平不一，选择的策略也不一。但是，幼儿即便是在运用“大数接着数”的策略，也会在视觉上感知位值，感知加数、被加数、得数与10的关系。
这里需要指出的是，《3～6岁儿童学习与发展指南》只提出了“学前儿童掌握10以内加减法”的要求，但《指南》是针对全国大多数幼儿的发展水平而言的。对于那些对数概念较为敏感、发展水平较高的幼儿来说，我们也应该为他们提供一些具有挑战性的学习内容，与此同时一定要提供帮助他们发展思维的脚手架，不然很容易造成“小学化”。
（三）调整后的操作材料的优点
调整后的操作材料虽然不那么花哨，却是真正从幼儿数学概念获得的过程出发，为幼儿数学概念的发展作铺垫的。位值与幼儿加减法尤其是与涉及进位和借位的加减法关系密切，位值概念的获得会影响幼儿加减法策略的选择。所以，我们首先提供材料让幼儿了解“部分与整体”“分群”，以促进幼儿位值概念的获得。然后提供“雪花条”，为幼儿理解十进位和凑十法提供视觉上的提示。这两种操作材料是在教师真正理解了加减法、位值、部分与整体、分群等概念及其相互之间关系的基础上设计出来的，更加符合幼儿学习加减法概念的思维特点。
三、启示
（一）以幼儿数学学习过程为出发点
以往，我们在制作操作材料时，首先想到的要么是“好玩”“有趣”，要么是“达到练习的目的”。但是，这样的操作材料有时候却不那么受幼儿欢迎，因为那些不符合幼儿思维发展特点、花哨的操作材料对幼儿并没有持久的吸引力。
操作材料的确要“好玩”“有趣”，但仅仅如此还不够。我们更应该从专业的角度去思考以下问题：“我要制作的操作材料是想让幼儿获得哪些关键经验？”“想让幼儿获得的这个关键经验与其他数学概念有何关系？”“幼儿在获得这个概念的过程中会有哪些不同的阶段？”“应该针对幼儿思维发展的不同阶段制作哪些不同的操作材料？”“制作的操作材料是否有助于外显那些抽象的数量关系？”
（二）提高自身的“幼儿园数学学科教学知识”水平
我们大体能说出“幼儿加减运算时应该是从具体到抽象”，但不能详细指出“从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略”，也并不清楚加减运算与其他数学概念之间的关系，比如与位值之间的关系，这就急需补充“幼儿数学学科教学知识”。厘清幼儿数学学习过程、思维发展特点、数学概念及其相互之间的复杂关系等问题，有助于我们制作符合幼儿学习特点并吸引幼儿的操作材料。
参考文献：
〔1〕刘易.4～6岁儿童数表征和位值概念的发展研究〔D〕.上海：华东师范大学，2006.
〔2〕MIURA I T，OKAMOTO Y.Comparisons of U.S and Japanese first grader’s cognitive representation of number and understanding of place value〔J〕.Journal of Education Psychology，1989，81（1）：109-113.
〔3〕JONES G A，THORNTON C A.Children’s understanding of place value：A framework for curriculum development and assessment〔J〕.Young Children，1993，48（5）：12-18.
〔4〕沃建中，李峰，张宏.5～10岁儿童策略优越性及策略选择的个体差异的研究〔J〕.心理科学，2004，27（1）.
一、关于“数的分解”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于“数的分解”方面的操作材料如图1、图2所示，如要把8分解成两个数，幼儿就摆出6个点子和2个点子的叶子，或者5个点子和3个点子的叶子。类似材料可能很多幼儿园教师都制作过。这样的材料与纸质练习单相比有所进步，可供幼儿摆弄。但我们发现，幼儿操作几次之后便再也没有兴趣了，而且幼儿并没有“做中学”，而是头脑中先有答案再摆出来的。这样的操作材料对于那些尚没有掌握数的分解的幼儿并无太大益处，也有悖于“通过让幼儿操作材料达到运算的逐步内化和对运算过程反省抽象”的初衷。
（二）调整后的操作材料
1.“玩转保龄球”
如图3，地上摆好10个瓶子，幼儿站在离瓶子一定距离处“打保龄球”，之后数一数自己打倒了几个瓶子，站着的还有几个瓶子。然后取出相应的小木棍插入图表下方的口袋里，并写出相应的分解式和加法算式。比如，打倒了6个瓶子，就在“瓶子倒了”图表下的口袋里插入6根小木棍，在“站立瓶子”图表下的口袋里插入4根小木棍，然后写出“4 6=10”。对于那些还没有接触过加法算式的幼儿，教师可以改用数的分解式。
2.“打滑梯”
如图4，幼儿根据纸上显示的3个点子，将3个小球从“滑梯”上撒下来，3个小球就自然地被分到两个小盒子里。幼儿可以在记录单上记录每次“打滑梯”的结果。
3.“分球”
如图5，幼儿晃动3个球，这3个球会被随机分到两个格子里，幼儿记录分配的结果。
（三）调整后的操作材料的优点
数的分解这一概念涉及“整体与部分”“集合比较”“加减法”等概念。首先，幼儿应知道被分解的数量与分解后的两个数量之间是整体与部分的关系，且被分解的数量比较大；其次，幼儿需要更加精确地知道哪两个集合的数量相加等于被分解的数量。这个概念对于幼儿来说是非常抽象的，而实物和行动过程演示有助于幼儿的理解。我们可以看出，幼儿在运用调整后的操作材料时可以把数的分解过程完全显现出来。比如“10可以分成6和4”，完全可以用“打倒了6个瓶子，站立着4个瓶子”这一动作和形象表征出来。由于学前儿童处于具体形象思维阶段，所以把内部运算过程外显化，有助于幼儿理解抽象的概念。
另外，多种感知觉结合起来能更好地促进幼儿概念的获得。列乌申娜通过让儿童一边沿着几何形状的边缘触摸、一边看、一边说出几何形状的名字（触觉、运动觉、视觉、听觉结合起来），来提高儿童对几何形状的认识（转引自陈帼眉，1993）。调整后的操作材料主要就是将幼儿的数学学习与运动觉联系起来，以促进幼儿对抽象的数量关系的理解。其实，数学教育中还有很多把不同感知觉联系起来促进幼儿数学概念获得的做法，比如利用音乐或乐器让幼儿获得模式的概念（听觉、运动觉），提供不同粗糙程度的材料让幼儿分类（触觉、视觉），等等。
二、关于“加减法”的操作材料
（一）原有的操作材料
在行动研究前，教师提供的关于加减运算的操作材料如图6～9所示：教师转动滚筒出现不同的加减题目，让幼儿口头说出总数；把算术题和得数拼在一起；把得数正确的算式套在相应的手指头上；变换瓶盖列出正确的加减运算题目。这是教师利用各种废旧材料制作的自认为生动有趣的操作材料，但是投放到区角后，教师发现很少有幼儿光顾。即便有时教师“揪”几个孩子过来玩，他们也表现不出太大的热情。经过观察和研讨，我们达成了共识：（1）这些操作材料跟纸质练习单并无本质差别，幼儿只是心算完题目之后摆出正确答案而已。这些材料显然没有给幼儿任何思维上的支持。（2）四种材料中有三种材料都涉及进位加法，这对于大班幼儿来说有一定难度。当然，对那些数概念发展较好的幼儿，教师可以采取个别化教学，让其接触一些进位加法，但教师仍需给予一定的支持。
（二）调整后的操作材料
1.“好长的毛毛虫”
加减运算的过程与位值概念的发展是不可分割的，尤其是在遇到包含进位和借位的加减运算时。有研究证实，儿童对位值的理解与儿童在进行加减运算时所使用的策略存在相关。当儿童的位值概念有所发展时，他们会从使用基本的策略（如口头数数、数手指）向使用高级的策略转化（如凑十法）。〔1〕
位值（place value）是指在一个多位数中单个数字的值是根据它所处的位置决定的。我们所使用的位值制，是以“十”作为基底的，也就是十进制位值制。〔2〕比如“11”中第一个“1”代表“1个10”，第二个“1”代表一个“1”，虽然幼儿不会这样绕口地表达，但是幼儿对此有自己的感知。比如，教师提供捆在一起的10支铅笔，还有一些散落的铅笔，然后让幼儿拿出11支铅笔。有位值概念的幼儿会很快拿一捆（10支）铅笔，再拿1支铅笔。位值概念没建立起来的幼儿则会直接拿11支散落的铅笔。
那么如何促进儿童位值概念的发展呢？有研究者指出，“部分—整体概念”（如上述10支铅笔捆在一起就变成了一个更大的单位：1个10）、“分群”（以不同的群来计数：大班点名时，有的幼儿2个2个数，有的幼儿5个5个数）是幼儿理解位值的关键。〔3〕所以，我们制作了有利于幼儿获得这两个概念的操作材料。
如图10所示，我们提供不同长度的单位（分别是：1个圈为一个单位，2个圈为一个单位，5个圈为一个单位，10个圈为一个单位），第一行的毛毛虫由那些10个圈为一个单位的长度组成。第二行中，让幼儿用其他单位长度与第一行的毛毛虫对应。在摆弄中，幼儿可以获得“部分与整体”及“分群”的概念，从而慢慢获得位值的概念。 2.“雪花条”
沃建中对5～10岁儿童加法策略运用的研究表明，我国儿童运用的加法策略主要有：从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略。〔4〕我们通过对班上幼儿的观察发现，在进行加减运算时大部分幼儿会选择从大数数策略，有些幼儿会用凑十法。我们在之前的教学中非常希望幼儿会用凑十法这种“更高级一点”的策略，所以会让幼儿背诵“口诀”，比如“8 3”的口诀是“8说，我多么想变成10啊，3说，我借给你2，3就剩1个了，最后得11”。但是，幼儿在背诵“凑十”口诀时是凭空想的，靠的是头脑里的表象，所以往往比较困难。于是，我们在区域投放材料（见图11）供数概念发展较好的幼儿操作。
我们把10个黄色雪花片用透明胶带粘成一长条（作为一个单位），摆在第一排作为参照。把其他超过5的雪花片也粘成长条，再提供给幼儿一些散落的雪花片。比如，幼儿操作“8 3”时，第一步，拿出一整条黄色的10个雪花片放在第一排作为参照，然后拿出一整条红色的8个雪花片，把两条雪花片的左端对齐；第二步，拿出散落的3个雪花片，接着往后摆8个雪花片，然后会发现与第一排的10个雪花片相比，第二排多出了1个雪花片，从而得出“8 3=11”。其实，这个操作材料就是把凭空背诵的“凑十法口诀”视觉化。
在幼儿操作这个材料时，我们并不要求幼儿心里想着“凑十法”或一定要运用“凑十法”。有些幼儿在操作时，只是在8个雪花片后面接着再数3个雪花片，这是完全可以的。因为幼儿的发展水平不一，选择的策略也不一。但是，幼儿即便是在运用“大数接着数”的策略，也会在视觉上感知位值，感知加数、被加数、得数与10的关系。
这里需要指出的是，《3～6岁儿童学习与发展指南》只提出了“学前儿童掌握10以内加减法”的要求，但《指南》是针对全国大多数幼儿的发展水平而言的。对于那些对数概念较为敏感、发展水平较高的幼儿来说，我们也应该为他们提供一些具有挑战性的学习内容，与此同时一定要提供帮助他们发展思维的脚手架，不然很容易造成“小学化”。
（三）调整后的操作材料的优点
调整后的操作材料虽然不那么花哨，却是真正从幼儿数学概念获得的过程出发，为幼儿数学概念的发展作铺垫的。位值与幼儿加减法尤其是与涉及进位和借位的加减法关系密切，位值概念的获得会影响幼儿加减法策略的选择。所以，我们首先提供材料让幼儿了解“部分与整体”“分群”，以促进幼儿位值概念的获得。然后提供“雪花条”，为幼儿理解十进位和凑十法提供视觉上的提示。这两种操作材料是在教师真正理解了加减法、位值、部分与整体、分群等概念及其相互之间关系的基础上设计出来的，更加符合幼儿学习加减法概念的思维特点。
三、启示
（一）以幼儿数学学习过程为出发点
以往，我们在制作操作材料时，首先想到的要么是“好玩”“有趣”，要么是“达到练习的目的”。但是，这样的操作材料有时候却不那么受幼儿欢迎，因为那些不符合幼儿思维发展特点、花哨的操作材料对幼儿并没有持久的吸引力。
操作材料的确要“好玩”“有趣”，但仅仅如此还不够。我们更应该从专业的角度去思考以下问题：“我要制作的操作材料是想让幼儿获得哪些关键经验？”“想让幼儿获得的这个关键经验与其他数学概念有何关系？”“幼儿在获得这个概念的过程中会有哪些不同的阶段？”“应该针对幼儿思维发展的不同阶段制作哪些不同的操作材料？”“制作的操作材料是否有助于外显那些抽象的数量关系？”
（二）提高自身的“幼儿园数学学科教学知识”水平
我们大体能说出“幼儿加减运算时应该是从具体到抽象”，但不能详细指出“从头开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略和心里盘算策略”，也并不清楚加减运算与其他数学概念之间的关系，比如与位值之间的关系，这就急需补充“幼儿数学学科教学知识”。厘清幼儿数学学习过程、思维发展特点、数学概念及其相互之间的复杂关系等问题，有助于我们制作符合幼儿学习特点并吸引幼儿的操作材料。
参考文献：
〔1〕刘易.4～6岁儿童数表征和位值概念的发展研究〔D〕.上海：华东师范大学，2006.
〔2〕MIURA I T，OKAMOTO Y.Comparisons of U.S and Japanese first grader’s cognitive representation of number and understanding of place value〔J〕.Journal of Education Psychology，1989，81（1）：109-113.
〔3〕JONES G A，THORNTON C A.Children’s understanding of place value：A framework for curriculum development and assessment〔J〕.Young Children，1993，48（5）：12-18.
〔4〕沃建中，李峰，张宏.5～10岁儿童策略优越性及策略选择的个体差异的研究〔J〕.心理科学，2004，27（1）.