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【摘要】发现是人类对于自我的内在的、具体性的自然及其整体的认识或再创造.小学数学中的发现学习（简称“发现数学”）是从学生的认知水平和已有经验出发，创设适合学生主动发现的问题情境，提供利于学生主动发现的探究活动，通过观察比较、猜想实验、归纳内化等学习活动，促使学生主动获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的学习方式.本文以义务教育教科书苏教版三年级下册“长方形和正方形的面积计算”一课为例，浅析小学“发现数学”课堂教学的实施策略.
【关键词】发现数学;问题情境;自主探究;验证归纳;实践应用
数学课程标准指出：学生学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.正如美国教育心理学家布鲁纳所倡导的那样：学生要像数学家那样思考数学，亲自去发现问题的结论和规律，成为一个“发现者”.数学是研究数量关系和空间形式的科学，小学阶段的数学学习应提倡让学生主动去发现，因为发现是人类在实践行为中具有的两大核心能力（发现与创新）之一.
学习的本质在发现.小学数学中的发现学习（下文简称“发现数学”）是指从学生的认知水平和已有的经验出发，创设适合学生主动发现的问题情境，提供利于学生主动发现的探究活动，通过观察比较、猜想实验、归纳内化等学习活动促使学生主动获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的学习方式.它的基本特点不是把现成的结论告诉给学生，而是引导学生自己去发现问题和提出问题、分析问题和解决问题，从而培养学生的高阶思维能力，促进学生的可持续发展.基于“发现数学”的课堂教学，教师应创设问题情境，适度唤醒学生数学发现的内在需要，引导自主探究，探求数学知识的奥秘，强调验证归纳、厘清数学发现的本质内涵，注重实践应用，感悟数学发现的生活价值.本文以义务教育教科书苏教版小学数学三年级下册“长方形和正方形的面积计算”一课为例，从问题情境、自主探究、验证归纳、实践应用四个方面入手，浅析小学“发现数学”课堂教学的实施策略.
一、问题情境，唤醒数学发现的内在需要
布鲁纳的发现学习理论认为，学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西.数学问题情境是引发数学活动的环境，产生数学行为的条件.创设基于问题的教学情境，能有效地激活学生学习的主观能动性，让看似枯燥、抽象的数学知识充满吸引力，使数学发现成为学生主动成长的内在需要.
【片段一】 “长方形和正方形的面积计算”導入设计：
师：常用的面积单位有哪些？
生1：常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米.
师：（出示面积为6平方分米的长方形卡纸）卡纸的面积用哪个面积单位比较合适？可以怎么摆呢？
生2：这个长方形的面积是6平方分米.我们可以用1平方分米的小正方形去摆一摆，每排摆3个，摆2排，一共摆6个.6个1平方分米的正方形面积就是6平方分米.
师：是的，用面积单位去量一量可以知道图形的面积.
师：（出示篮球场的实景图）这个篮球场的面积，用面积单位去量合适吗？
生3： 1平方米的面积也就和教室的电视机屏幕面积差不多大，篮球场那么大，用面积单位去量太麻烦了！
生4：不合适，有没有其他简单一点的办法？
生5：有没有像乘法口诀那样的方法一下子计算出来的好办法呢？
师：今天这节课我们就一起来学习有关长方形和正方形面积计算的新方法.
问题情境是“发现数学”教学中常用的教学策略，它有利于化解数学的高度抽象性和学生思维的具体形象性之间的矛盾.在现实生活中，许多物体的面或大或小，或规则或不规则，教学时，教师唤醒学生的已有知识经验与生活经验，并基于经验适时提出“篮球场的面积，用面积单位去量是否合适”的问题，让学生学会主动思考，真正参与到发现数学的学习活动中来.
二、自主探究，探求数学发现的有效手段
探究，让学生在学习活动中不再成为现成知识的接受者，而成为一个发现者、研究者、探索者.自主探究旨在让学生在教师的引导下，发挥主观能动性，调用各种感觉器官，通过动手、动眼、动嘴、动脑，主动地获取知识.有效的自主探究活动，能促进学生主体意识的发展，创新精神与实践能力的充分培养，使数学发现贯穿于学生的数学成长过程中.
【片段二】 “长方形和正方形的面积计算”新授设计：
课件呈现“长方形长变、宽不变”“长不变、宽变”“长宽都变”所引起的长方形面积变化的过程.
师：长方形的长和宽不断变化，长方形的大小也在不断变化.你能猜一猜，长方形的面积可能与什么有关？
生：长方形的面积可能与长方形的长和宽有关.
师：长方形的面积是不是与长方形的长和宽有关呢？我们一起来做个实验.
呈现素材，四个大小不同的长方形：
（1）长3厘米、宽1厘米的长方形;
（2）长4厘米、宽1厘米的长方形;
（3）长3厘米、宽2厘米的长方形;
（4）长5厘米、宽3厘米的长方形.
学生活动：四人小组内分工合作，用边长1厘米的正方形测量出四个长方形的面积，2人测量，2人记录，从而发现规律.
师：长方形面积所含的平方厘米数和长方形的什么有关？具体是怎样的关系？
生1：长方形长不变，宽所含厘米数越多，面积越大;长方形宽不变，长所含厘米数越多，面积越大.
生2：长方形面积所含的平方厘米数=长所含厘米数×宽所含厘米数.
……
学生观察后得出结论：长方形的面积=长×宽. 自主探究是“发现数学”常用的教学策略，它能让学生参与学习的过程，既体现数学学科特点，又契合学生认知规律，是适合学生数学发现的教学策略.在探究发现过程中，学生动手动脑，经历数学知识发生、发展的过程，通过独立思考、动手操作、合作交流等探究形式，找到长方形面积的计算方法，学生的研究能力得到发展，也为后续学习其他平面图形的知识提供了学习方法.
三、验证归纳，厘清数学发现的本質内涵
数学验证是指学习者在已有发现的基础上，有针对性地进行数学证明，从而使数学发现更充分.验证是归纳的基础，通过数学归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学结构化.在验证归纳的过程中，学生经历从特殊到一般、从杂乱到系统的过程，不仅完整体验数学知识发现的过程，同时发展了高阶思维能力.
【片段三】 “长方形和正方形的面积计算”验证归纳设计：
师：刚才同学们通过自主探究发现了长方形的面积=长×宽，那么这个发现是否准确呢？是否对计算所有的长方形的面积都适用呢？我们可以怎么办？
生：我们可以找一些不同的长方形，量一量、算一算，看看这个方法是否正确.
出示预先准备的若干个大小不同的长方形.
师：请4人小组任选2—3个长方形用量一量、算一算的方法进行验证吧！
学生分组测量，验证后明确计算方法：长方形的面积=长×宽.
师：请同学们回顾一下，我们是怎样找到这个计算方法的？
小结：刚才，我们通过观察实验得到了一个重大发现——“长方形的面积=长×宽”，然后又通过归纳验证，证明了我们的发现是正确的.像这样“实验—发现—验证”的发现新知的方法对数学学习很有帮助，希望同学们用好方法，获得更多的数学发现.
验证归纳是提升学生数学发现深度性的教学策略.在小学数学学习中，常用不完全归纳的方法发现规律、验证规律.为了使学生的数学发现更具科学性，教师应注重让学生得到具有普遍性的规律，建立数学模型，也应让学生体验发现数学的学习方法，培养学生主动获取知识的能力.教学中，教师不仅让学生在变化的长方形中找到了不变的长方形面积的计算方法，更让学生掌握了“实验—发现—验证”的一般学习方法，促进了学生数学化的全面发展.
四、实践应用，感悟数学发现的生活价值
数学课程标准提出，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值.实践应用就是将数学发现活用于解决实际问题的全过程，让学生体会数学的应用价值.结合数学知识，教师可设计生活化问题，让学生在解决生活问题的过程中发现数学的生活价值，发展数学思维能力.
【片段四】 “长方形和正方形的面积计算”拓展应用设计：
出示生活问题：一块玻璃面积是24平方分米，不小心打破了，要配置大小相等的玻璃，它的长和宽分别是多少呢？
学生根据玻璃的面积24平方分米独立思考后得出猜想：
生1：玻璃的长可能是8分米，宽可能是3分米.
生2：玻璃的长可能是6分米，宽可能是4分米.
生3：玻璃的长可能是12分米，宽可能是2分米.
……
（出示打碎玻璃示意图）玻璃的面积不光要相等，而且形状也要相同，它的长和宽究竟是多少呢？
学生观察破碎的玻璃图，在破碎中发现长方形玻璃的宽是4分米，从而求出玻璃的长是6分米.
师：当给出的条件比较宽泛时，我们可以找到多种答案;当条件越来越聚焦，我们就可以找出唯一的答案，从而解决问题.
有坡度的实践应用是“发现数学”中的有效教学策略，它不仅能使学生应用发现的数学知识解决数学问题，更能使学生发现新的数学问题，从而使知识得到优化.应用中，面积是24平方分米的长方形很多，但满足具体条件的只有一个，只要用尺测量出打破后玻璃的宽，就能求得玻璃的长.实际生活问题的解决，可以提升学生解决问题的能力，更能促进学生数学价值的再发现.
数学学习就是让学生通过一系列的数学行为（问题情境、自主探究、验证归纳、实践应用等）去发现并掌握数学知识的过程.“发现数学”的学习方式打破了固有接受学习的学习方式，让学生更深刻地经历知识的发生、发展的过程.我们要给学生一个数学成长的路径，让学生在“发现数学”的场域中发现知识、提高能力、解决问题，从而使学生更好地学会学习.
【参考文献】
[1]顾万春，钱慧.小学数学发现学习的实践与探究[J].江苏教育研究，2014（17）：44-46.
[2]林晓.发现学习，让学生向数学更深处漫溯[J].小学教学参考，2019（29）：33-34.
[3]林晓.发现学习场域，让数学核心素养生根——浅谈小学数学发现学习中学生数学核心素养的内涵及其培养策略[J].数学学习与研究，2018（2）：73-74.
[4]顾万春，钱慧.基于问题意识的数学发现学习[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（8）：85-86.
【关键词】发现数学;问题情境;自主探究;验证归纳;实践应用
数学课程标准指出：学生学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.正如美国教育心理学家布鲁纳所倡导的那样：学生要像数学家那样思考数学，亲自去发现问题的结论和规律，成为一个“发现者”.数学是研究数量关系和空间形式的科学，小学阶段的数学学习应提倡让学生主动去发现，因为发现是人类在实践行为中具有的两大核心能力（发现与创新）之一.
学习的本质在发现.小学数学中的发现学习（下文简称“发现数学”）是指从学生的认知水平和已有的经验出发，创设适合学生主动发现的问题情境，提供利于学生主动发现的探究活动，通过观察比较、猜想实验、归纳内化等学习活动促使学生主动获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的学习方式.它的基本特点不是把现成的结论告诉给学生，而是引导学生自己去发现问题和提出问题、分析问题和解决问题，从而培养学生的高阶思维能力，促进学生的可持续发展.基于“发现数学”的课堂教学，教师应创设问题情境，适度唤醒学生数学发现的内在需要，引导自主探究，探求数学知识的奥秘，强调验证归纳、厘清数学发现的本质内涵，注重实践应用，感悟数学发现的生活价值.本文以义务教育教科书苏教版小学数学三年级下册“长方形和正方形的面积计算”一课为例，从问题情境、自主探究、验证归纳、实践应用四个方面入手，浅析小学“发现数学”课堂教学的实施策略.
一、问题情境，唤醒数学发现的内在需要
布鲁纳的发现学习理论认为，学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西.数学问题情境是引发数学活动的环境，产生数学行为的条件.创设基于问题的教学情境，能有效地激活学生学习的主观能动性，让看似枯燥、抽象的数学知识充满吸引力，使数学发现成为学生主动成长的内在需要.
【片段一】 “长方形和正方形的面积计算”導入设计：
师：常用的面积单位有哪些？
生1：常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米.
师：（出示面积为6平方分米的长方形卡纸）卡纸的面积用哪个面积单位比较合适？可以怎么摆呢？
生2：这个长方形的面积是6平方分米.我们可以用1平方分米的小正方形去摆一摆，每排摆3个，摆2排，一共摆6个.6个1平方分米的正方形面积就是6平方分米.
师：是的，用面积单位去量一量可以知道图形的面积.
师：（出示篮球场的实景图）这个篮球场的面积，用面积单位去量合适吗？
生3： 1平方米的面积也就和教室的电视机屏幕面积差不多大，篮球场那么大，用面积单位去量太麻烦了！
生4：不合适，有没有其他简单一点的办法？
生5：有没有像乘法口诀那样的方法一下子计算出来的好办法呢？
师：今天这节课我们就一起来学习有关长方形和正方形面积计算的新方法.
问题情境是“发现数学”教学中常用的教学策略，它有利于化解数学的高度抽象性和学生思维的具体形象性之间的矛盾.在现实生活中，许多物体的面或大或小，或规则或不规则，教学时，教师唤醒学生的已有知识经验与生活经验，并基于经验适时提出“篮球场的面积，用面积单位去量是否合适”的问题，让学生学会主动思考，真正参与到发现数学的学习活动中来.
二、自主探究，探求数学发现的有效手段
探究，让学生在学习活动中不再成为现成知识的接受者，而成为一个发现者、研究者、探索者.自主探究旨在让学生在教师的引导下，发挥主观能动性，调用各种感觉器官，通过动手、动眼、动嘴、动脑，主动地获取知识.有效的自主探究活动，能促进学生主体意识的发展，创新精神与实践能力的充分培养，使数学发现贯穿于学生的数学成长过程中.
【片段二】 “长方形和正方形的面积计算”新授设计：
课件呈现“长方形长变、宽不变”“长不变、宽变”“长宽都变”所引起的长方形面积变化的过程.
师：长方形的长和宽不断变化，长方形的大小也在不断变化.你能猜一猜，长方形的面积可能与什么有关？
生：长方形的面积可能与长方形的长和宽有关.
师：长方形的面积是不是与长方形的长和宽有关呢？我们一起来做个实验.
呈现素材，四个大小不同的长方形：
（1）长3厘米、宽1厘米的长方形;
（2）长4厘米、宽1厘米的长方形;
（3）长3厘米、宽2厘米的长方形;
（4）长5厘米、宽3厘米的长方形.
学生活动：四人小组内分工合作，用边长1厘米的正方形测量出四个长方形的面积，2人测量，2人记录，从而发现规律.
师：长方形面积所含的平方厘米数和长方形的什么有关？具体是怎样的关系？
生1：长方形长不变，宽所含厘米数越多，面积越大;长方形宽不变，长所含厘米数越多，面积越大.
生2：长方形面积所含的平方厘米数=长所含厘米数×宽所含厘米数.
……
学生观察后得出结论：长方形的面积=长×宽. 自主探究是“发现数学”常用的教学策略，它能让学生参与学习的过程，既体现数学学科特点，又契合学生认知规律，是适合学生数学发现的教学策略.在探究发现过程中，学生动手动脑，经历数学知识发生、发展的过程，通过独立思考、动手操作、合作交流等探究形式，找到长方形面积的计算方法，学生的研究能力得到发展，也为后续学习其他平面图形的知识提供了学习方法.
三、验证归纳，厘清数学发现的本質内涵
数学验证是指学习者在已有发现的基础上，有针对性地进行数学证明，从而使数学发现更充分.验证是归纳的基础，通过数学归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学结构化.在验证归纳的过程中，学生经历从特殊到一般、从杂乱到系统的过程，不仅完整体验数学知识发现的过程，同时发展了高阶思维能力.
【片段三】 “长方形和正方形的面积计算”验证归纳设计：
师：刚才同学们通过自主探究发现了长方形的面积=长×宽，那么这个发现是否准确呢？是否对计算所有的长方形的面积都适用呢？我们可以怎么办？
生：我们可以找一些不同的长方形，量一量、算一算，看看这个方法是否正确.
出示预先准备的若干个大小不同的长方形.
师：请4人小组任选2—3个长方形用量一量、算一算的方法进行验证吧！
学生分组测量，验证后明确计算方法：长方形的面积=长×宽.
师：请同学们回顾一下，我们是怎样找到这个计算方法的？
小结：刚才，我们通过观察实验得到了一个重大发现——“长方形的面积=长×宽”，然后又通过归纳验证，证明了我们的发现是正确的.像这样“实验—发现—验证”的发现新知的方法对数学学习很有帮助，希望同学们用好方法，获得更多的数学发现.
验证归纳是提升学生数学发现深度性的教学策略.在小学数学学习中，常用不完全归纳的方法发现规律、验证规律.为了使学生的数学发现更具科学性，教师应注重让学生得到具有普遍性的规律，建立数学模型，也应让学生体验发现数学的学习方法，培养学生主动获取知识的能力.教学中，教师不仅让学生在变化的长方形中找到了不变的长方形面积的计算方法，更让学生掌握了“实验—发现—验证”的一般学习方法，促进了学生数学化的全面发展.
四、实践应用，感悟数学发现的生活价值
数学课程标准提出，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值.实践应用就是将数学发现活用于解决实际问题的全过程，让学生体会数学的应用价值.结合数学知识，教师可设计生活化问题，让学生在解决生活问题的过程中发现数学的生活价值，发展数学思维能力.
【片段四】 “长方形和正方形的面积计算”拓展应用设计：
出示生活问题：一块玻璃面积是24平方分米，不小心打破了，要配置大小相等的玻璃，它的长和宽分别是多少呢？
学生根据玻璃的面积24平方分米独立思考后得出猜想：
生1：玻璃的长可能是8分米，宽可能是3分米.
生2：玻璃的长可能是6分米，宽可能是4分米.
生3：玻璃的长可能是12分米，宽可能是2分米.
……
（出示打碎玻璃示意图）玻璃的面积不光要相等，而且形状也要相同，它的长和宽究竟是多少呢？
学生观察破碎的玻璃图，在破碎中发现长方形玻璃的宽是4分米，从而求出玻璃的长是6分米.
师：当给出的条件比较宽泛时，我们可以找到多种答案;当条件越来越聚焦，我们就可以找出唯一的答案，从而解决问题.
有坡度的实践应用是“发现数学”中的有效教学策略，它不仅能使学生应用发现的数学知识解决数学问题，更能使学生发现新的数学问题，从而使知识得到优化.应用中，面积是24平方分米的长方形很多，但满足具体条件的只有一个，只要用尺测量出打破后玻璃的宽，就能求得玻璃的长.实际生活问题的解决，可以提升学生解决问题的能力，更能促进学生数学价值的再发现.
数学学习就是让学生通过一系列的数学行为（问题情境、自主探究、验证归纳、实践应用等）去发现并掌握数学知识的过程.“发现数学”的学习方式打破了固有接受学习的学习方式，让学生更深刻地经历知识的发生、发展的过程.我们要给学生一个数学成长的路径，让学生在“发现数学”的场域中发现知识、提高能力、解决问题，从而使学生更好地学会学习.
【参考文献】
[1]顾万春，钱慧.小学数学发现学习的实践与探究[J].江苏教育研究，2014（17）：44-46.
[2]林晓.发现学习，让学生向数学更深处漫溯[J].小学教学参考，2019（29）：33-34.
[3]林晓.发现学习场域，让数学核心素养生根——浅谈小学数学发现学习中学生数学核心素养的内涵及其培养策略[J].数学学习与研究，2018（2）：73-74.
[4]顾万春，钱慧.基于问题意识的数学发现学习[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（8）：85-86.