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摘 要：本文首先从实体上建立了行星轮系的物理模型，根据力的平衡和能量守恒关系推导出行星轮系的运动方程；然后从理论上对2K-H（A）行星轮系建立了数学模型，结合数理分析，得出了同样的运动方程。这种“模型化”的分析方法揭示了行星轮系传递运动的内在规律性，为其他轮系的分析提供了新的方法。
关键词：2K-H（A）行星轮系 模型化 物理模型 数学模型
行星轮系属于非定轴轮系，它结构紧凑、重量轻，可以实现多个传动比，在传动、减速机构中多有应用。所谓2K-H（A）型行星轮系，就是两个中心轮和一个行星架组成的行星齿轮传动机构，结构示意图如图1所示，主要由四部分组成：中心太阳轮A、齿圈B、行星轮C和行星架H，其中A、B、H的转动轴在一条直线上，称为行星轮系的基本构件，且轴线固定，C可以绕该转动轴转动。设A、B、C的齿数分别为zA、zB和zC，它们的模数都相同，明显有zA 图1 2K-H（A）型行星轮系的结构示意图
一、2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设
1.假设
承受一定载荷的行星轮系在传动过程中传递运动和动力，为了便于分析，首先提出三点假设。
第一，若行星轮系中定轴主动件匀速转动，则其他各個定轴从动件都处于匀速转动——运动假设。
第二，若不考虑行星轮系各构件间的摩擦和制动带来的能量损失，则该轮系的输入功率等于输出功率——能量守恒假设。
第三，若主动件在啮合点的施力方向与速度方向一致，该主动件向轮系输入功率；反之，则吸收功率。从动件在啮合点的受力方向与速度方向总是一致，对外输出功率——能量分配假设。
2.特征
根据“模型化”假设，2K-H（A）型行星轮系具有如下特征。
第一，若行星轮系某一构件匀速转动，则其他各构件均处于转动平衡。
第二，行星轮系彼此相接触的构件间存在作用力和反作用力关系，且作用点在啮合点或转动中心上。
第三，若行星轮系某一构件在啮合点和转动中心上存在作用力，则它们在同一平面内，且彼此相互平行，并对该构件在这一平面内任意一点力矩的代数和为零。
二、2K-H（A）型行星轮系物理模型
根据2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设，将它的各个构件抽象为刚体，运用物理学中力与运动的关系，对构件进行受力分析和运动分析，下面分两种情况讨论。
为了便于分析，设定以下参数，
TA——输入给太阳轮A的动力矩，
TB——输入给齿圈B的动力矩，
TH——行星架H的输出动力矩，
rA——太阳轮A的分度圆半径，
rB——齿圈B的分度圆半径，
rH——行星轮与太阳轮转动中心之间的距离，且 ，
——齿圈与太阳轮半径之比。
1.单自由度物理模型
将2K-H（A）型行星轮系中某一基本构件固定后，该轮系变成有三个活动构件、三个低副和两个高副的轮系，由平面运动机构的自由度计算公式，可得
F=3n-2PL-PH （1）
这里，n、PL、PH分别为机构的活动件数、低副数和高副数。显然，该轮系的自由度为
F=3×3-3×2-2=1
我们称这种轮系为单自由度行星轮系。根据轮系的传动规律，单自由度行星轮系只需一个主动构件，该机构就有确定的运动规律，但计算它的传动比与定轴轮系大不相同。为了便于分析计算，先来分析受力，可分解为以下六种情况。
第一种情况：A为固定件，B为主动件，H为从动件。
第二种情况：A为固定件，H为主动件，B为从动件。
第三种情况：B为固定件，H为主动件，A为从动件。
第四种情况：B为固定件，A为主动件，H为从动件。
第五种情况：H为固定件，A为主动件，B为从动件。
第六种情况：H为固定件，B为主动件，A为从动件。
下面以第一种情况为例，分析轮系各构件间的受力情况，其受力图如图2所示。
图2 A为固定件，B为主动件，H为从动件
在图2中，假设中心太阳轮A为固定件，转速ωA=0，齿圈B为主动件，转速为ωB，行星架H为从动件，转速为ωH。对行星轮C的转动有影响的力是：受到中心太阳轮A、齿圈B和行星架H的力FAC、FBC、FHC分别作用在啮合点OA、OB和行星轮的中心OC上，主动件齿圈B的转向，显然有B对C的力FBC方向向右，且FBC的大小与主动件的输入转矩有关。现在来判断其他力的方向和大小。
行星轮C处于转动平衡状态，满足对啮合点OA的力矩平衡，即 M（OA）=0 （2）
由（2）式知，可以判断行星轮在转动中心 处受到的力 方向向左，且有 FHC=2FBC （3）
因为行星轮满足受力平衡，应有 ∑F（C）=0 （4）
由（4）式知，FAC的方向向右，且有 FAC+ FBC = FHC （5）
由（3）、（5）式，可得 FAC = FBC （6）
同理，可以分析第二种情况至第六种情况中行星轮的受力情况，从中可以看出，即使主动件不同，但它们都有相同的受力情况。在FAC、FBC、FHC中，必有一个为主动件产生的力，称为主动力；另外两个分别为从动件和固定件产生的力，称为被动力，且都满足（3）式和（6）式。
关键词：2K-H（A）行星轮系 模型化 物理模型 数学模型
行星轮系属于非定轴轮系，它结构紧凑、重量轻，可以实现多个传动比，在传动、减速机构中多有应用。所谓2K-H（A）型行星轮系，就是两个中心轮和一个行星架组成的行星齿轮传动机构，结构示意图如图1所示，主要由四部分组成：中心太阳轮A、齿圈B、行星轮C和行星架H，其中A、B、H的转动轴在一条直线上，称为行星轮系的基本构件，且轴线固定，C可以绕该转动轴转动。设A、B、C的齿数分别为zA、zB和zC，它们的模数都相同，明显有zA
一、2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设
1.假设
承受一定载荷的行星轮系在传动过程中传递运动和动力，为了便于分析，首先提出三点假设。
第一，若行星轮系中定轴主动件匀速转动，则其他各個定轴从动件都处于匀速转动——运动假设。
第二，若不考虑行星轮系各构件间的摩擦和制动带来的能量损失，则该轮系的输入功率等于输出功率——能量守恒假设。
第三，若主动件在啮合点的施力方向与速度方向一致，该主动件向轮系输入功率；反之，则吸收功率。从动件在啮合点的受力方向与速度方向总是一致，对外输出功率——能量分配假设。
2.特征
根据“模型化”假设，2K-H（A）型行星轮系具有如下特征。
第一，若行星轮系某一构件匀速转动，则其他各构件均处于转动平衡。
第二，行星轮系彼此相接触的构件间存在作用力和反作用力关系，且作用点在啮合点或转动中心上。
第三，若行星轮系某一构件在啮合点和转动中心上存在作用力，则它们在同一平面内，且彼此相互平行，并对该构件在这一平面内任意一点力矩的代数和为零。
二、2K-H（A）型行星轮系物理模型
根据2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设，将它的各个构件抽象为刚体，运用物理学中力与运动的关系，对构件进行受力分析和运动分析，下面分两种情况讨论。
为了便于分析，设定以下参数，
TA——输入给太阳轮A的动力矩，
TB——输入给齿圈B的动力矩，
TH——行星架H的输出动力矩，
rA——太阳轮A的分度圆半径，
rB——齿圈B的分度圆半径，
rH——行星轮与太阳轮转动中心之间的距离，且 ，
——齿圈与太阳轮半径之比。
1.单自由度物理模型
将2K-H（A）型行星轮系中某一基本构件固定后，该轮系变成有三个活动构件、三个低副和两个高副的轮系，由平面运动机构的自由度计算公式，可得
F=3n-2PL-PH （1）
这里，n、PL、PH分别为机构的活动件数、低副数和高副数。显然，该轮系的自由度为
F=3×3-3×2-2=1
我们称这种轮系为单自由度行星轮系。根据轮系的传动规律，单自由度行星轮系只需一个主动构件，该机构就有确定的运动规律，但计算它的传动比与定轴轮系大不相同。为了便于分析计算，先来分析受力，可分解为以下六种情况。
第一种情况：A为固定件，B为主动件，H为从动件。
第二种情况：A为固定件，H为主动件，B为从动件。
第三种情况：B为固定件，H为主动件，A为从动件。
第四种情况：B为固定件，A为主动件，H为从动件。
第五种情况：H为固定件，A为主动件，B为从动件。
第六种情况：H为固定件，B为主动件，A为从动件。
下面以第一种情况为例，分析轮系各构件间的受力情况，其受力图如图2所示。
图2 A为固定件，B为主动件，H为从动件
在图2中，假设中心太阳轮A为固定件，转速ωA=0，齿圈B为主动件，转速为ωB，行星架H为从动件，转速为ωH。对行星轮C的转动有影响的力是：受到中心太阳轮A、齿圈B和行星架H的力FAC、FBC、FHC分别作用在啮合点OA、OB和行星轮的中心OC上，主动件齿圈B的转向，显然有B对C的力FBC方向向右，且FBC的大小与主动件的输入转矩有关。现在来判断其他力的方向和大小。
行星轮C处于转动平衡状态，满足对啮合点OA的力矩平衡，即 M（OA）=0 （2）
由（2）式知，可以判断行星轮在转动中心 处受到的力 方向向左，且有 FHC=2FBC （3）
因为行星轮满足受力平衡，应有 ∑F（C）=0 （4）
由（4）式知，FAC的方向向右，且有 FAC+ FBC = FHC （5）
由（3）、（5）式，可得 FAC = FBC （6）
同理，可以分析第二种情况至第六种情况中行星轮的受力情况，从中可以看出，即使主动件不同，但它们都有相同的受力情况。在FAC、FBC、FHC中，必有一个为主动件产生的力，称为主动力；另外两个分别为从动件和固定件产生的力，称为被动力，且都满足（3）式和（6）式。