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[摘 要]“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念之一，它能帮助学生直观地理解数学知识，构建深刻的数学表象，使学生的形象感知提升到抽象思维；能解决儿童思维特点与数学抽象性之间的矛盾，使学生学得更容易、更轻松，为学生的后续学习打下坚实的基础。在小学数学“图形与几何”中有很多知识点是很难为学生提供良好的几何直观的，所以也使得这部分知识的表象无法深刻构建。几何画板的出现和不断发展，为这一问题的解决提供了一个很好的工具。
[关键词]几何画板；几何直观；图形与几何；表象
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-014
小学数学虽然不需要向学生呈现类似高等数学纷繁復杂的知识，但是在小学数学“图形与几何”中，有很多知识点很难为学生提供良好的几何直观，使得这部分知识的表象无法深刻构建。而教师也有着难以言语的尴尬，如用心制作的教具难以解决实质性问题；现代媒体软件PPT机械式的动画浮于表面。几何画板的出现和不断发展，为这一问题的解决提供了一个很好的工具。几何画板被称为“21世纪的动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、变化规律，可以有效解决儿童思维特点与数学抽象性之间的矛盾，尤其对几何直观的构建作用更是无可比拟。可以说，它是数学教师教学的一把“利剑” 。
一、追踪轨迹，“动”“静”心随我愿
在传统的数学教学中，对于包含动态变化的问题，只能通过教师的语言进行描述，而学生则根据一些静态图形对其进行抽象思维。而若利用课件也最多能为学生呈现一个动画的过程，并不能对图形的最本质的轨迹进行追踪和保留。因此，对于以形象思维为主的小学生来说，他们是很难对数学对象有深层次的认识的。 而几何画板的追踪轨迹功能，能形象直观地把图形运动的每一个时刻展现给学生，使学生更清楚地观察运动、变化中的数学现象，使隐形的、简缩的思维过程展现出来，为揭示数学本质提供有力的表象支撑。
1.追踪轨迹，动静结合直击数学本质
众所周知，学习舞蹈时总是先分开学习每一个动作，而后再把它们连贯起来进行练习。其实，无论是儿童还是成人，如果想要分析一种动态变化现象的本质，就要和学习舞蹈一样——先看清每个动作的特点，掌握好每个动作，然后再把它们连起来进行细致观察，从而发现其中的本质规律。而分解每个动作并保留每个动作的轨迹正是几何画板不同于其他软件的最大特点之一。
例如，学生仅利用圆的本质特征对“车轮为什么要做成圆的”这一问题进行解释是非常难的，这时教师可以利用几何画板制作“椭圆”和“圆”在直线上滚动的动画，并追踪“椭圆”的中心点和圆的圆心的运动轨迹（如图1），同时与学生一起进行分步分析。
这样利用几何画板进行分步分析，能使学生直观感受椭圆与圆两者的本质差别，为他们解释“车轮为什么要做成圆的”提供有力的表象支撑。
与其他课件制作软件（如PPT）相比，几何画板能使“动画的轨迹”得以保留，不仅为学生呈现出动态的变化过程，而且能把这个过程中最本质的东西保留下来，为学生的进一步思考留下有形的痕迹。
2.追踪轨迹，由局部到整体完善知识表象
在传统的数学教学中，由于受教学时间和教具形式等因素的影响，导致学生无法建立起完善的数学知识表象，进而无法真正理解数学思想。
极限思想是圆的教学的核心，是有关圆面积及圆柱体积计算等后续知识的生长点。因此，如何利用极限思想来感悟圆的本质特征——“一中同长”，是圆初始课中需要浓墨重彩刻画的重要环节。而利用几何画板就能很好地帮助我们实现这一目标。首先利用几何画板的“旋转”功能逐步展现圆上的一些动态点（如图2），然后让学生想象更多点的情况，再通过“追踪点的轨迹”验证学生的想象，最后为他们建立完整的知识表象。
3.追踪轨迹，由面到体现场印证想象
对于立体图形与平面图形转化的问题，如果只靠教师运用语言来描述，学生很难构建出正确的图形表象；如果运用传统的教学工具，如粉笔、黑板、模型等，又很难直观演示；而利用传统的课件又不能体现互相转化的过程。因此，当遇到这样的情况时，很多教师会说“空间想象力的差距太大”。诚然，这个是不可忽视的问题，但是如果利用几何画板直观形象地演示这一过程，就能较好地帮助空间想象力较弱的学生构建起空间转化的表象，而对于空间想象力较强的学生，也有助于加深他们对问题的理解。
笔者曾听过“圆柱的认识”的一堂课，整个课堂非常精彩，但有一点却让笔者“耿耿于怀”——当教师提出“用一张纸，你能创造出一个圆柱吗”这一问题时，有一个学生提到：“如果这张纸是圆形的话，就能通过上下平移得到圆柱（确切地说应该是平移过程中通过的空间大小）。”多么精彩的回答啊！然而，面对如此独到的见解，这位教师却犯难了，因为任凭他如何用语言来解释，大部分学生都无法深刻理解；而实物操作不仅缺乏连贯性，而且也无法呈现出所创造的“圆柱”。其实，只要利用几何画板就能很好地解决这个问题（如图3）。
对于学生来说，这样的表象一看就能明白，并能轻易理解其中的关系。这样动态教学，为学生后续学习柱体的体积公式（底面积乘高）积累了有益的经验。同样的，在教材提到的关于“长方形纸旋转得到圆柱的操作”的问题上，如果也能利用几何画板（如图4），亦可以收到事半功倍的教学效果。
通过几何画板直观演示，立体图形清晰地呈现在学生面前，这不仅使学生掌握了平面图形与立体图形之间的区别与联系，还帮助学生构建了深刻的表象。在学生有了这样的表象依托后，我们可以进一步让他们对比不同旋转后所得圆柱的特点，从而深刻理解圆柱的粗细、高矮与什么有关等知识（课件上的三张长方形纸是完全一样的，因此学生可以非常直观地感受到这一点），为后续的圆的表面积和体积的学习打好基础。 二、即时演示，“多”“少”变在我手
现在的课堂瞬息万变，而以往课件的交互性与即时性相对较弱，很多时候只能按照教师预先设计好的顺序进行反馈，一旦教师的预设不全面，就会留下很多遗憾。几何画板不但具有良好的交互性，而且有很强大的即时性。在教学过程中，利用几何画板，教师可以随时根据学生的实际情况或即时变化课件预设，或边授课边制作，或由学生小组亲自动手。这样，学生不但可以独立制作一些简单的数学课件，而且还可以从中学会计算机软件的使用方法，体会到信息技术的优势。这也正是几何画板的另一大优点。
1. 即时演示，亲眼见证奇妙变化
在一些数学知识的研究中，我们往往需多次操作才能得出正确的结论，而这个“多次操作”有时候既费时又费力。如果利用一般的课件，又会出现和学生的提问无法一致的现象，从而缺失交互性。利用几何画板能很好地解决这一难题，利用它强大的参数功能可以实现学生要什么数据就有什么数据。
例如，在“圆的面积”一课中，我们在推导圆面积公式时，如果单纯的用剪拼的操作来推导的话太过麻烦，而且效果也不一定好，若用一般课件其预设又太单一（只能预先做好固定的等份，不能根据课堂生成随意改动）。而如果在适当剪拼的基础上利用几何画板，就可以生成任意等份的圆，而且圆的大小等都可以随意改变（如图5所示）。
[其中n是半圆的等份次数（可以随时填入），R代表圆的半径大小（可以随意改变），虚线表示整个剪拼过程（可以随意拉动并保持在任何位置，也可以动画演示）。]
几何画板利用一个预设课件就可以“以一图应万变”，这是其他教学软件所无法比拟的，“几何画板”的优越性显而易见。
2.即时演示，实时感受“变中不变”
在数学的学习过程中，我们总希望学生掌握“分析现象，抓住本质，得出结论”的学习方法，但有时候又爱莫能助——没有足够的时间或没有办法提供给学生更多、更全的现象，从而不能使他们建立全面、深刻的表象，构建几何直观，所以很多时候只能是教师“代劳”分析与总结。几何画板的作图是利用“几何关系不变”这规律来进行的，所以利用它完全可以帮助我们解决这一问题。
例如，“垂直与平行”这一课中，学生在研究了这两个现象后，对于两条直线在正常位置（水平、竖直等）的判断大都没有问题，但是有部分学生对非正常位置的判断却存在问题。究其原因是，他们这方面的表象建立得不够。倘若在其中花1分钟利用几何画板展现平行和垂直（如图6所示），然后隨意拖动，不仅可在数秒钟之内让学生观察到足够多的现象，建立比较全面的平行和垂直的表象，而且能让学生更好地体会“变中不变”的思想。
3.即时演示，直观分析知识联系
在数学学习中，有些内容之间有着紧密的联系，因此需要通过大量的观察和对比，以发现其中的奥秘。但是只凭“空对空”的讲解、对话，是无法使那些原本就弄不清楚的学生，特别是潜能生走出“云里雾里”的模糊状态，即使用几个静态图来说明，也会让人感觉“缺乏联系”，从而不能使课堂教学效果最大化，浪费大量的课堂教学时间。这时，如果我们利用几何画板来进行即时动态操作演示，在演示的过程中引导学生进行观察、讨论，那么其效果是不言而喻的。
例如，在学生学完平行四边形、三角形和梯形的面积计算之后，我们往往会让学生进一步理解三个面积计算公式，这就需要和学生探讨这三个面积计算公式之间的关系，得到平行四边形和三角形其实是梯形的两种“特殊情况”（平行四边形是上底和下底相等的“特殊”梯形，三角形是上底为0的“特殊”梯形）。此时，如果利用几何画板强大的交互性和即时性制作一个平行四边形、三角形和梯形相互转化的动态课件（如图7），可收到事半功倍的教学效果。
（在图7中，拖动右上的点即可在平行四边形、三角形和梯形之间随意转化，也可制作成连续的动画。而且在“高”方面也能帮助学生深刻理解“点到直线的距离”的本质。）
4.即时演示，现场弥补操作不足
在数学学习中，有部分知识是需要学生在实践操作中慢慢发现的，但是这些实践操作往往如同“鸡肋”一般“食之无味，弃之可惜”——学生操作时的“量”不够多，“质”不够高。
例如，在“圆的周长”一课中，学生用线操作后发现要找出圆的周长与直径的联系比较困难，甚至有一部分学生根本不知道“为什么而做”。因此，我们可以在学生操作的基础上再通过几何画板演示（如图8），以弥补他们操作时的不足。
（如图8，我们可以用圆心随意调节圆的大小，拖动下面的点可以反复拉直与还原圆的周长，并且在比较的过程中，3条直径也会随圆大小的变化而变化，能让学生清楚地感受到3倍多一点的关系，最后显示圆的周长与直径的数据，让学生总结得出π，效果相当好。）
综上可知，如何利用几何画板来帮助学生深刻构建数学表象是非常值得研究的课题。笔者通过上述的举例说明，提出了一些具有实际可行性的操作点，希望能引起大家的更多思考。
（责编 黄春香）
[关键词]几何画板；几何直观；图形与几何；表象
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-014
小学数学虽然不需要向学生呈现类似高等数学纷繁復杂的知识，但是在小学数学“图形与几何”中，有很多知识点很难为学生提供良好的几何直观，使得这部分知识的表象无法深刻构建。而教师也有着难以言语的尴尬，如用心制作的教具难以解决实质性问题；现代媒体软件PPT机械式的动画浮于表面。几何画板的出现和不断发展，为这一问题的解决提供了一个很好的工具。几何画板被称为“21世纪的动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、变化规律，可以有效解决儿童思维特点与数学抽象性之间的矛盾，尤其对几何直观的构建作用更是无可比拟。可以说，它是数学教师教学的一把“利剑” 。
一、追踪轨迹，“动”“静”心随我愿
在传统的数学教学中，对于包含动态变化的问题，只能通过教师的语言进行描述，而学生则根据一些静态图形对其进行抽象思维。而若利用课件也最多能为学生呈现一个动画的过程，并不能对图形的最本质的轨迹进行追踪和保留。因此，对于以形象思维为主的小学生来说，他们是很难对数学对象有深层次的认识的。 而几何画板的追踪轨迹功能，能形象直观地把图形运动的每一个时刻展现给学生，使学生更清楚地观察运动、变化中的数学现象，使隐形的、简缩的思维过程展现出来，为揭示数学本质提供有力的表象支撑。
1.追踪轨迹，动静结合直击数学本质
众所周知，学习舞蹈时总是先分开学习每一个动作，而后再把它们连贯起来进行练习。其实，无论是儿童还是成人，如果想要分析一种动态变化现象的本质，就要和学习舞蹈一样——先看清每个动作的特点，掌握好每个动作，然后再把它们连起来进行细致观察，从而发现其中的本质规律。而分解每个动作并保留每个动作的轨迹正是几何画板不同于其他软件的最大特点之一。
例如，学生仅利用圆的本质特征对“车轮为什么要做成圆的”这一问题进行解释是非常难的，这时教师可以利用几何画板制作“椭圆”和“圆”在直线上滚动的动画，并追踪“椭圆”的中心点和圆的圆心的运动轨迹（如图1），同时与学生一起进行分步分析。
这样利用几何画板进行分步分析，能使学生直观感受椭圆与圆两者的本质差别，为他们解释“车轮为什么要做成圆的”提供有力的表象支撑。
与其他课件制作软件（如PPT）相比，几何画板能使“动画的轨迹”得以保留，不仅为学生呈现出动态的变化过程，而且能把这个过程中最本质的东西保留下来，为学生的进一步思考留下有形的痕迹。
2.追踪轨迹，由局部到整体完善知识表象
在传统的数学教学中，由于受教学时间和教具形式等因素的影响，导致学生无法建立起完善的数学知识表象，进而无法真正理解数学思想。
极限思想是圆的教学的核心，是有关圆面积及圆柱体积计算等后续知识的生长点。因此，如何利用极限思想来感悟圆的本质特征——“一中同长”，是圆初始课中需要浓墨重彩刻画的重要环节。而利用几何画板就能很好地帮助我们实现这一目标。首先利用几何画板的“旋转”功能逐步展现圆上的一些动态点（如图2），然后让学生想象更多点的情况，再通过“追踪点的轨迹”验证学生的想象，最后为他们建立完整的知识表象。
3.追踪轨迹，由面到体现场印证想象
对于立体图形与平面图形转化的问题，如果只靠教师运用语言来描述，学生很难构建出正确的图形表象；如果运用传统的教学工具，如粉笔、黑板、模型等，又很难直观演示；而利用传统的课件又不能体现互相转化的过程。因此，当遇到这样的情况时，很多教师会说“空间想象力的差距太大”。诚然，这个是不可忽视的问题，但是如果利用几何画板直观形象地演示这一过程，就能较好地帮助空间想象力较弱的学生构建起空间转化的表象，而对于空间想象力较强的学生，也有助于加深他们对问题的理解。
笔者曾听过“圆柱的认识”的一堂课，整个课堂非常精彩，但有一点却让笔者“耿耿于怀”——当教师提出“用一张纸，你能创造出一个圆柱吗”这一问题时，有一个学生提到：“如果这张纸是圆形的话，就能通过上下平移得到圆柱（确切地说应该是平移过程中通过的空间大小）。”多么精彩的回答啊！然而，面对如此独到的见解，这位教师却犯难了，因为任凭他如何用语言来解释，大部分学生都无法深刻理解；而实物操作不仅缺乏连贯性，而且也无法呈现出所创造的“圆柱”。其实，只要利用几何画板就能很好地解决这个问题（如图3）。
对于学生来说，这样的表象一看就能明白，并能轻易理解其中的关系。这样动态教学，为学生后续学习柱体的体积公式（底面积乘高）积累了有益的经验。同样的，在教材提到的关于“长方形纸旋转得到圆柱的操作”的问题上，如果也能利用几何画板（如图4），亦可以收到事半功倍的教学效果。
通过几何画板直观演示，立体图形清晰地呈现在学生面前，这不仅使学生掌握了平面图形与立体图形之间的区别与联系，还帮助学生构建了深刻的表象。在学生有了这样的表象依托后，我们可以进一步让他们对比不同旋转后所得圆柱的特点，从而深刻理解圆柱的粗细、高矮与什么有关等知识（课件上的三张长方形纸是完全一样的，因此学生可以非常直观地感受到这一点），为后续的圆的表面积和体积的学习打好基础。 二、即时演示，“多”“少”变在我手
现在的课堂瞬息万变，而以往课件的交互性与即时性相对较弱，很多时候只能按照教师预先设计好的顺序进行反馈，一旦教师的预设不全面，就会留下很多遗憾。几何画板不但具有良好的交互性，而且有很强大的即时性。在教学过程中，利用几何画板，教师可以随时根据学生的实际情况或即时变化课件预设，或边授课边制作，或由学生小组亲自动手。这样，学生不但可以独立制作一些简单的数学课件，而且还可以从中学会计算机软件的使用方法，体会到信息技术的优势。这也正是几何画板的另一大优点。
1. 即时演示，亲眼见证奇妙变化
在一些数学知识的研究中，我们往往需多次操作才能得出正确的结论，而这个“多次操作”有时候既费时又费力。如果利用一般的课件，又会出现和学生的提问无法一致的现象，从而缺失交互性。利用几何画板能很好地解决这一难题，利用它强大的参数功能可以实现学生要什么数据就有什么数据。
例如，在“圆的面积”一课中，我们在推导圆面积公式时，如果单纯的用剪拼的操作来推导的话太过麻烦，而且效果也不一定好，若用一般课件其预设又太单一（只能预先做好固定的等份，不能根据课堂生成随意改动）。而如果在适当剪拼的基础上利用几何画板，就可以生成任意等份的圆，而且圆的大小等都可以随意改变（如图5所示）。
[其中n是半圆的等份次数（可以随时填入），R代表圆的半径大小（可以随意改变），虚线表示整个剪拼过程（可以随意拉动并保持在任何位置，也可以动画演示）。]
几何画板利用一个预设课件就可以“以一图应万变”，这是其他教学软件所无法比拟的，“几何画板”的优越性显而易见。
2.即时演示，实时感受“变中不变”
在数学的学习过程中，我们总希望学生掌握“分析现象，抓住本质，得出结论”的学习方法，但有时候又爱莫能助——没有足够的时间或没有办法提供给学生更多、更全的现象，从而不能使他们建立全面、深刻的表象，构建几何直观，所以很多时候只能是教师“代劳”分析与总结。几何画板的作图是利用“几何关系不变”这规律来进行的，所以利用它完全可以帮助我们解决这一问题。
例如，“垂直与平行”这一课中，学生在研究了这两个现象后，对于两条直线在正常位置（水平、竖直等）的判断大都没有问题，但是有部分学生对非正常位置的判断却存在问题。究其原因是，他们这方面的表象建立得不够。倘若在其中花1分钟利用几何画板展现平行和垂直（如图6所示），然后隨意拖动，不仅可在数秒钟之内让学生观察到足够多的现象，建立比较全面的平行和垂直的表象，而且能让学生更好地体会“变中不变”的思想。
3.即时演示，直观分析知识联系
在数学学习中，有些内容之间有着紧密的联系，因此需要通过大量的观察和对比，以发现其中的奥秘。但是只凭“空对空”的讲解、对话，是无法使那些原本就弄不清楚的学生，特别是潜能生走出“云里雾里”的模糊状态，即使用几个静态图来说明，也会让人感觉“缺乏联系”，从而不能使课堂教学效果最大化，浪费大量的课堂教学时间。这时，如果我们利用几何画板来进行即时动态操作演示，在演示的过程中引导学生进行观察、讨论，那么其效果是不言而喻的。
例如，在学生学完平行四边形、三角形和梯形的面积计算之后，我们往往会让学生进一步理解三个面积计算公式，这就需要和学生探讨这三个面积计算公式之间的关系，得到平行四边形和三角形其实是梯形的两种“特殊情况”（平行四边形是上底和下底相等的“特殊”梯形，三角形是上底为0的“特殊”梯形）。此时，如果利用几何画板强大的交互性和即时性制作一个平行四边形、三角形和梯形相互转化的动态课件（如图7），可收到事半功倍的教学效果。
（在图7中，拖动右上的点即可在平行四边形、三角形和梯形之间随意转化，也可制作成连续的动画。而且在“高”方面也能帮助学生深刻理解“点到直线的距离”的本质。）
4.即时演示，现场弥补操作不足
在数学学习中，有部分知识是需要学生在实践操作中慢慢发现的，但是这些实践操作往往如同“鸡肋”一般“食之无味，弃之可惜”——学生操作时的“量”不够多，“质”不够高。
例如，在“圆的周长”一课中，学生用线操作后发现要找出圆的周长与直径的联系比较困难，甚至有一部分学生根本不知道“为什么而做”。因此，我们可以在学生操作的基础上再通过几何画板演示（如图8），以弥补他们操作时的不足。
（如图8，我们可以用圆心随意调节圆的大小，拖动下面的点可以反复拉直与还原圆的周长，并且在比较的过程中，3条直径也会随圆大小的变化而变化，能让学生清楚地感受到3倍多一点的关系，最后显示圆的周长与直径的数据，让学生总结得出π，效果相当好。）
综上可知，如何利用几何画板来帮助学生深刻构建数学表象是非常值得研究的课题。笔者通过上述的举例说明，提出了一些具有实际可行性的操作点，希望能引起大家的更多思考。
（责编 黄春香）