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在解决某些数学问题时，由于问题所给对象不能统一处理，需要根据对象本质属性的相同点和不同点，按一定标准将对象分为不同种类，将整体问题转化为若干部分来解决，在各个部分得到解决之后，再综合归纳使整个问题得以解决，这样的方法称为分类整合思想方法。分类整合思想是高中最重要的数学思想方法之一，一方面它可以与高中众多知识相结合，有利于对知识的综合考查；另一方面它对思维能力要求较高，增加了考查的区分度。
1 考查要求与考点回顾
高考对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象与概括的考查，考查时必须与数学知识相结合，且以隐性考查的方式进行，考查学生对数学思想方法的掌握程度。
从2011年各省高考数学理科试题来看，涉及到分类讨论很多。从考查内容看，函数、数列、不等式、排列组合、解析几何是考查分类整合思想方法的常用知识载体。其中，含参数的函数与导数问题是热点。对分类整合思想方法考查的要求是：对常见的涉及分类的概念、知识和题型能直观判断与正确处理；对较复杂的实际问题或含参数的讨论应条理清晰，格式规范，合理分类，正确整合。
2 知识解析与典型例题解读
2.1 常见的分类问题
2.1.1 由数学概念引起的分类讨论
数学中有许多概念本身就是被分类定义的，典型的有子集、真子集的概念、直线倾斜角的定义、斜率的定义、绝对值的定义、指数函数、对数函数的定义、等等。因而在解决涉及此类概念的问题时，一般要进行分类讨论。
2.1.2 由数学运算要求引起的分类讨论
如除法运算中除数不为零；偶次方根为非负；对数中真数与底数的要求；不等式两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的不同影响等等。
2.1.3 由定理、公式、性质的限制引起的分类讨论
有些数学定理、公式、性质是分类给出的，不同条件下的结论是不一致的。如函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R），当a为0是一次函数或常函数，而a不为0是二次函数，函数类型的不同决定了下一步讨论问题的方法不同，故要分类讨论。又如应用等比数列求和公式时，公比q=1和q≠1是不同的。根据数列前n项和Sn求通项公式an时，n=1和n≥2时计算方法是不一样的。
2.1.4 由图形中元素之间的相对位置关系的不同引起的分类讨论
由图形的位置或形状变化引发的讨论一般包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像形状的变化；直线的斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化；三角函数值确定，但角的终边不确定等等。
2.1.5 由参数的变化引起的分类讨论
含参数的问题，由于参数取值不同会导致所得结果不同，或对于不同参数值要运用不同的求解或证明方法，必须对参数进行分类讨论，含参数不等式的分类讨论是最常见的。
例如：设函数f（x）=a21nx-x2+ax，a>0。（1）求f（x）的单调区间；（2）求所有的实数a，使e-1≤f（x） ≤e2对x∈［1，e］恒成立。注：e为自然对数的底数。（2011年浙江省数学高考文科试题）
分析：因为f′（x）= ，x>0，a>0，所以f（x）的递增区间为（0，a），递减区间为［a，+∞］。对于第（2）小题中的恒成立问题可转化为最值问题求解，而函数的最值一般得依据函数的单调性去求。f（x）在［1，e］上的单调性与a的取值范围有关，可以分以下三种情况进行讨论：①a≤1；②1 2.1.6 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论。如排列、组合问题，应用问题等等。
2.2 运用分类整合思想应注意解决三个问题
运用分类整合思想解决问题，必须解决好分类时机的选择、分类标准的确定、分类层次递进的自然合理这三个问题。解决问题时能不分类尽量不要分类，只有当统一的做法不能进行时，才考虑分类，所以分类时机应该是水到渠成的。当分类时机出现时，也是分类标准应运而生之时，根据前述有关引起分类的原因确定分类标准，注意分类时要不重不漏，而分类层次的递进也是一个顺势而为的过程。
2.3 正确整合是分类讨论后必不可少的环节
运用分类讨论解题特别要注意最后的整合，这是对题目各种情况的归纳与总结。从集合角度看，分类后的整合一般有三种形式：
一是按参数分类，再对各类结果求交集。如解决“mx2-2x+1-m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。”这一问题时，先按-2≤m<0，m=0，0 二是对各类结果先求交集再求并集。在解形如
|x-5|+|x+3|≥10的不等式，按x≤-3，-3 三是按分类参数分列各类结果。如例4中按参数a的不同取值分类，得到的结果中函数的单调区间与a的值密切相关，只能分类列出各种不同结果。
2.4 常用的回避和简化分类讨论的策略
尽管分类讨论能简化对复杂问题的处理，但过程一般较为冗长，叙述较为繁琐，且易造成遗漏，因此它并非一定是解决问题的最佳方法。在熟悉和掌握分类整合思想的同时，要注意克服思维定势，尽可能回避或简化分类讨论。这并不是对分类整合思想的否定，而是对分类整合思想的再认识，再升华；同时也可培养处理问题的求简意识，杜绝解决问题的随意性和盲目性。
2.4.1 等价转化，回避讨论
如：设抛物线y2=2x与过焦点的直线l相交于A，B两点，求OA?OB的值。如果设直线的点斜式方程必然需要对斜率存在与否进行讨论，又易知当l得斜率为0时不满足题意，因此可以设直线l方程为：x- =ky，可回避斜率不存在时的讨论。
2.4.2 变换主元，回避讨论
对于有两个或两个以上未知量的数学问题，若能突破字母（符号）的思维定势，将已知范围的变量作为主元，以“参数”反串“主元”，常常能回避讨论。如在“设不等式mx2-2x+1- m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。”的问题中，已知m的范围，求x的范围，可将m作为变量，令f（m）=（x2-1）m+1-2x，则它是关于m的一次函数或常数。利用数形结合转化为线段在横轴下方的问题，可回避对m的讨论。
2.4.3 抓住内在本质，简化讨论
如：已知f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）（a，b，c∈R）。记S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}。试讨论集合S，T中元素个数的可能情况。在解答过程中若能注意到g（x）=x3（ +a）［（ ）2+b（ ）+c］，说明f（x）=0和g（x）=0的根互为倒数，则可简化为对x=0和x≠0的讨论。
2.4.4 挖掘隐含条件，简化讨论
参数的限制范围有时隐含于问题之中，充分挖掘题目中的隐含条件，可简化讨论。在例3中，若注意到e-1≤f（x） ≤e2对x∈［1，e］恒成立，则e-1≤f （1）=a-1≤e2，有a≥e，就可回避a 参考文献
［1］ 浙江省普通高中新课程试验.数学.学科教学指导意见. 2009版
［2］ 浙江省普通高考考试说明.数学.2011
1 考查要求与考点回顾
高考对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象与概括的考查，考查时必须与数学知识相结合，且以隐性考查的方式进行，考查学生对数学思想方法的掌握程度。
从2011年各省高考数学理科试题来看，涉及到分类讨论很多。从考查内容看，函数、数列、不等式、排列组合、解析几何是考查分类整合思想方法的常用知识载体。其中，含参数的函数与导数问题是热点。对分类整合思想方法考查的要求是：对常见的涉及分类的概念、知识和题型能直观判断与正确处理；对较复杂的实际问题或含参数的讨论应条理清晰，格式规范，合理分类，正确整合。
2 知识解析与典型例题解读
2.1 常见的分类问题
2.1.1 由数学概念引起的分类讨论
数学中有许多概念本身就是被分类定义的，典型的有子集、真子集的概念、直线倾斜角的定义、斜率的定义、绝对值的定义、指数函数、对数函数的定义、等等。因而在解决涉及此类概念的问题时，一般要进行分类讨论。
2.1.2 由数学运算要求引起的分类讨论
如除法运算中除数不为零；偶次方根为非负；对数中真数与底数的要求；不等式两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的不同影响等等。
2.1.3 由定理、公式、性质的限制引起的分类讨论
有些数学定理、公式、性质是分类给出的，不同条件下的结论是不一致的。如函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R），当a为0是一次函数或常函数，而a不为0是二次函数，函数类型的不同决定了下一步讨论问题的方法不同，故要分类讨论。又如应用等比数列求和公式时，公比q=1和q≠1是不同的。根据数列前n项和Sn求通项公式an时，n=1和n≥2时计算方法是不一样的。
2.1.4 由图形中元素之间的相对位置关系的不同引起的分类讨论
由图形的位置或形状变化引发的讨论一般包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像形状的变化；直线的斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化；三角函数值确定，但角的终边不确定等等。
2.1.5 由参数的变化引起的分类讨论
含参数的问题，由于参数取值不同会导致所得结果不同，或对于不同参数值要运用不同的求解或证明方法，必须对参数进行分类讨论，含参数不等式的分类讨论是最常见的。
例如：设函数f（x）=a21nx-x2+ax，a>0。（1）求f（x）的单调区间；（2）求所有的实数a，使e-1≤f（x） ≤e2对x∈［1，e］恒成立。注：e为自然对数的底数。（2011年浙江省数学高考文科试题）
分析：因为f′（x）= ，x>0，a>0，所以f（x）的递增区间为（0，a），递减区间为［a，+∞］。对于第（2）小题中的恒成立问题可转化为最值问题求解，而函数的最值一般得依据函数的单调性去求。f（x）在［1，e］上的单调性与a的取值范围有关，可以分以下三种情况进行讨论：①a≤1；②1
2.2 运用分类整合思想应注意解决三个问题
运用分类整合思想解决问题，必须解决好分类时机的选择、分类标准的确定、分类层次递进的自然合理这三个问题。解决问题时能不分类尽量不要分类，只有当统一的做法不能进行时，才考虑分类，所以分类时机应该是水到渠成的。当分类时机出现时，也是分类标准应运而生之时，根据前述有关引起分类的原因确定分类标准，注意分类时要不重不漏，而分类层次的递进也是一个顺势而为的过程。
2.3 正确整合是分类讨论后必不可少的环节
运用分类讨论解题特别要注意最后的整合，这是对题目各种情况的归纳与总结。从集合角度看，分类后的整合一般有三种形式：
一是按参数分类，再对各类结果求交集。如解决“mx2-2x+1-m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。”这一问题时，先按-2≤m<0，m=0，0
|x-5|+|x+3|≥10的不等式，按x≤-3，-3
2.4 常用的回避和简化分类讨论的策略
尽管分类讨论能简化对复杂问题的处理，但过程一般较为冗长，叙述较为繁琐，且易造成遗漏，因此它并非一定是解决问题的最佳方法。在熟悉和掌握分类整合思想的同时，要注意克服思维定势，尽可能回避或简化分类讨论。这并不是对分类整合思想的否定，而是对分类整合思想的再认识，再升华；同时也可培养处理问题的求简意识，杜绝解决问题的随意性和盲目性。
2.4.1 等价转化，回避讨论
如：设抛物线y2=2x与过焦点的直线l相交于A，B两点，求OA?OB的值。如果设直线的点斜式方程必然需要对斜率存在与否进行讨论，又易知当l得斜率为0时不满足题意，因此可以设直线l方程为：x- =ky，可回避斜率不存在时的讨论。
2.4.2 变换主元，回避讨论
对于有两个或两个以上未知量的数学问题，若能突破字母（符号）的思维定势，将已知范围的变量作为主元，以“参数”反串“主元”，常常能回避讨论。如在“设不等式mx2-2x+1- m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。”的问题中，已知m的范围，求x的范围，可将m作为变量，令f（m）=（x2-1）m+1-2x，则它是关于m的一次函数或常数。利用数形结合转化为线段在横轴下方的问题，可回避对m的讨论。
2.4.3 抓住内在本质，简化讨论
如：已知f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）（a，b，c∈R）。记S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}。试讨论集合S，T中元素个数的可能情况。在解答过程中若能注意到g（x）=x3（ +a）［（ ）2+b（ ）+c］，说明f（x）=0和g（x）=0的根互为倒数，则可简化为对x=0和x≠0的讨论。
2.4.4 挖掘隐含条件，简化讨论
参数的限制范围有时隐含于问题之中，充分挖掘题目中的隐含条件，可简化讨论。在例3中，若注意到e-1≤f（x） ≤e2对x∈［1，e］恒成立，则e-1≤f （1）=a-1≤e2，有a≥e，就可回避a
［1］ 浙江省普通高中新课程试验.数学.学科教学指导意见. 2009版
［2］ 浙江省普通高考考试说明.数学.2011